第15章 第08讲 整数指数幂及其性质-2024-2025学年人教版八年级数学上册点拨训练

2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第15章 第08讲 整数指数幂及其性质 学习目标 1.类比正整数指数幂，探究负指数整数幂的运算性质. 2.会用整数指数幂的运算性质进行计算. 3.理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题． 4.会用科学计数法表示较小的数 重点：理解负整数指数幕的意义，掌握运算性质. 难点：理解负整数指数幕的产生过程和意义. 老师告诉你 求负整数指数幂的方法 1.负整数指数幂的变形= =(a≠0,n是正整数） 2.底数为正数的任何次幂都是正数，底数为负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。 3.运算结果要化为正整数指数幂。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 、负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 【新知导学】 例1-1．下列运算结果是正数的是( ) A. B. C. D. 例1-2．如果,,,那么a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 【对应导练】 1．计算：. 2．计算： 3．若，则_______. 4．计算：______. 知识点2 、整数指数幂的性质 1. 整数指数幂的运算性质： 同底数幂的乘法 同底数幂的除法 幂的乘方 积的乘方 分式的乘方 0指数幂 【新知导学】 例2-1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）. . 例2-2．我们规定：完成下列问题： （1）已知，则x的取值范围是__________； （2）已知，求x的值. 【对应导练】 1．计算：. 2．化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂. （1）； （2）. 3．计算下列各式： （1）； （2）. 知识点3 、科学记数法 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【新知导学】 例3-1．下列各数用科学记数法可表示为的是( ) A.108000 B. C.0.0000108 D. 例3-2．华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 【对应导练】 1．石墨烯是2004年科学家从石墨中分离出的单层石墨片，这是目前世界上人工制得的最薄的材料，仅为米，数据用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 2．5G是第五代移动通信技术的简称,5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上,这意味着下载一部高清电影只需要1秒.将1300000用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 3．中国人民解放军海军福建舰(舷号：18,简称福建舰),是中国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰,采用平直通长飞行甲板,配置电磁弹射和阻拦装置,满载排水量8万余吨.将数字8万用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 4．用科学记数法表示下列数： ，，，. 二、题型训练 1.利用整数指数幂计算 1 .计算：2024﹣1＝（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 2 .计算：（﹣2）﹣3﹣2﹣3+（）﹣3﹣（﹣）﹣3． 3 .计算： (1) (2)． 2.利用整数指数幂化简 4 .化简 (1) (2) (3) (4) (5) 5 .化简： (1)； (2) (3) (4) 6 .计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． （1）a2b3（2a﹣1b3）； （2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3； （3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2． 3.利用整数指数幂求待定系数的值 7. 已知am＝5，an＝2，求a﹣2m﹣2n的值． 8 .已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值． 9 .已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　　． 4.科学记数法表示较小的数 10 .祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为____________平方公里．（   ） A． B． C． D． 11 .芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据测，一粒芝麻的质量约为，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 12 .嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要秒．将数据用小数表示为（    ） A． B． C． D． 5.根据式子有无意义的条件求值 13 .若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3 14 .若没有意义，则x﹣2的值为（　　） A． B．﹣4 C．4 D． 15 .已知（x﹣1）x+2＝1，则整数x＝__________ 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为的原生动物，它的最长直径才0.0000003米，数据0.0000003用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 2．下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3．若有意义，则x的取值范围是( ) A. B.且 C.或 D. 4．下列各式中，正确的是( ) A. B. C. D. 5．已知：，，，则a，b，c大小关系是( ) A. B. C. D. 6．下列四个数中,值最大的是( ) A. B. C. D. 7．已知，下列关于a的叙述中，正确的是( ) A. B. C. D. 8．若有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C.或 D.且 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．_______. 10．将代数式写成只含有正整数指数幂的形式：_________. 11． 若x满足，则整数x的值为__________. 12．已知，，，用“<”连接a，b，c为___________. 13．计算：__________. 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14．计算： （1）； （2）. 15．用科学记数法表示下列数： ，，，. 16．计算： （1）. （2）. （3）. . 17．与的大小，我们可以采用“从特殊到一般”的思想方法： （1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“>”“<“=”） ①___； ②____； ③____； ④____. （2）由（1）可以猜测与（n为正整数）的大小关系：当n______时，；当n______时，. （3）根据上面的猜想，则有_______（填“>”“<”或“=”）. 18．根据如图所示的程序，求输出D的化简结果；已知x的立方根是它本身，选取一个合适的x的值代入，求D的值. 19．在初一，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：am与an（a≠0，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an． 运算法则如下： am÷an＝． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： （1）填空：＝　　，23÷27＝　　； （2）如果，求出x的值； （3）如果（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，请直接写出x的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025人教版八年级数学上 点拨*训练 第15章 第08讲 整数指数幂及其性质（解析版） 学习目标 1.类比正整数指数幂，探究负指数整数幂的运算性质. 2.会用整数指数幂的运算性质进行计算. 3.理解负整数指数幂的性质并应用其解决实际问题． 4.会用科学计数法表示较小的数 重点：理解负整数指数幕的意义，掌握运算性质. 难点：理解负整数指数幕的产生过程和意义. 老师告诉你 求负整数指数幂的方法 1.负整数指数幂的变形= =(a≠0,n是正整数） 2.底数为正数的任何次幂都是正数，底数为负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数。 3.运算结果要化为正整数指数幂。 1、 知识点拨 1.知识点导航 2.知识点梳理 知识点1 、负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 注意：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 【新知导学】 例1-1．下列运算结果是正数的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：A、是正数，符合题意； B、是负数，不符合题意； C、是负数，不符合题意； D、是负数，不符合题意； 故选：A. 例1-2．如果,,,那么a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：,,, 所以, 故选：B. 【对应导练】 1．计算：. 答案： 解析： . 2．计算： 答案： 解析：原式 . 3．若，则_______. 答案：-3 解析：∵， ∴， ∴. 故答案为：-3. 4．计算：______. 答案：3 解析： . 故答案为：3. 知识点2 、整数指数幂的性质 1. 整数指数幂的运算性质： 同底数幂的乘法 同底数幂的除法 幂的乘方 积的乘方 分式的乘方 0指数幂 【新知导学】 例2-1．计算： （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：（1） （2） （3） （4） 解析：（1）原式. （2）原式. （3）原式. （4）原式. 例2-2．我们规定：完成下列问题： （1）已知，则x的取值范围是__________； （2）已知，求x的值. 答案：（1） （2），， 解析：（1）由题意得：， 解得：， x的取值范围是：， 故答案为：； （2）， 或且为偶数或时，， 解得：或或， x的值为，，. 【对应导练】 1．计算：. 答案： . 解析： 2．化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂. （1）； （2）. 答案：（1） . （2） . 解析： 3．计算下列各式： （1）； （2）. 答案：（1） . （2） . 解析： 知识点3 、科学记数法 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【新知导学】 例3-1．下列各数用科学记数法可表示为的是( ) A.108000 B. C.0.0000108 D. 答案：C 解析：A: 108000=1.08x105 B; -108000=-1.08x105 C : 0.0000108=1.08x10-5 D: -0.0000108=-1.08x10-5 故选C 例3-2．华为手机使用了自主研发的海思麒麟芯片，目前最新的型号是麒麟990.芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求是体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗，而麒麟990的晶体管栅极的宽度达到了毫米，将数据用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：. 故选：B. 【对应导练】 1．石墨烯是2004年科学家从石墨中分离出的单层石墨片，这是目前世界上人工制得的最薄的材料，仅为米，数据用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：， 故选：B 2．5G是第五代移动通信技术的简称,5G网络理论下载速度可以达到每秒1300000KB以上,这意味着下载一部高清电影只需要1秒.将1300000用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：科学记数法的表示形式为,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,n是正数；当原数绝对值时,n是负数.将1300000转变为大于等于1,小于10的数字,即,小数点向左移动了6位,所以,用科学记数法表示为, 答案选B. 3．中国人民解放军海军福建舰(舷号：18,简称福建舰),是中国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰,采用平直通长飞行甲板,配置电磁弹射和阻拦装置,满载排水量8万余吨.将数字8万用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：8万用科学记数法表示为, 故选C. 4．用科学记数法表示下列数： ，，，. 答案：见解析 解析：， ， ， . 二、题型训练 1.利用整数指数幂计算 1 .计算：2024﹣1＝（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【分析】根据负整数指数幂的意义进行计算，即可解答． 【解答】解：2024﹣1＝， 故选：D． 2 .计算：（﹣2）﹣3﹣2﹣3+（）﹣3﹣（﹣）﹣3． 【分析】直接根据负整数指数幂的运算法则求解即可． 【解答】解：原式＝﹣﹣+8+8＝． 3 .计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了绝对值化简，零指数幂，负整数指数幂，整数指数幂，以及实数的混合运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据负整数指数幂，整数指数幂，以及实数的混合运算法则计算即可； （2）根据绝对值化简，零指数幂，负整数指数幂，整数指数幂，以及实数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式，，； （2）解：原式，，． 2.利用整数指数幂化简 4 .化简 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)8 【分析】本题考查分式的运算： （1）根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）除法变乘法，约分化简即可； （3）先乘方，再进行乘除运算； （4）先乘方，再进行乘除运算； （5）除法变乘法，约分化简即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； 5 .化简： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的运算、有理数的混合运算： （1）先进行积的乘方，再进行同底数幂的乘法计算即可； （2）先进行零指数幂，负整数指数幂，乘方计算，再进行加减运算即可； （3）先进行积的乘方，再进行单项式乘以单项式的运算，再进行加减运算即可； （4）利用同底数幂的除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）解：． ． 6 .计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． （1）a2b3（2a﹣1b3）； （2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3； （3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2． 【分析】（1）根据单项式的乘法进行计算即可； （2）根据幂的乘方的性质进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答； （3）先根据积的乘方的性质与单项式的除法进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答． 【解答】解：（1）a2b3（2a﹣1b3）＝2a2﹣1b3+3＝2ab6； （2）（a﹣2）﹣3（bc﹣1）3， ＝a6b3c﹣3， ＝； （3）2（2ab2c﹣3）2÷（ab）﹣2， ＝2（4a2b4c﹣6）÷（a﹣2b﹣2）， ＝8a4b6c﹣6， ＝． 3.利用整数指数幂求待定系数的值 7. 已知am＝5，an＝2，求a﹣2m﹣2n的值． 【分析】根据负整数指数幂的性质解答即可． 【解答】解：a﹣2m﹣2n＝＝＝， ∵am＝5，an＝2， ∴a﹣2m﹣2n＝＝． 8 .已知am+an＝4，am+n＝2，求a﹣2m+a﹣2n的值． 【分析】根据负整数指数幂的性质及完全平方公式对原式进行化简，然后代入即可得出答案． 【解答】解：由已知，， ∴a﹣2m+a﹣2n＝（a﹣m+a﹣n）2﹣2a﹣ma﹣n＝3． 9 .已知xm＝3，yn＝2，求（x2myn）﹣1的值　　． 【分析】根据幂的乘方，可得负整数指数幂，再根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案． 【解答】解：x﹣2m＝（xm）﹣2＝3﹣2＝， y﹣n＝（yn）﹣1＝． （x2myn）﹣1＝x﹣2my﹣n＝×＝， 故答案为：． 4.科学记数法表示较小的数 10 .祖国主权，寸土不让．钓鱼岛列岛是我国固有领土，共由个岛屿组成，其中最小的岛是飞濑岛，面积约为平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为____________平方公里．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．据此解答即可． 【详解】解：用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里． 故选：B． 11 .芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．据测，一粒芝麻的质量约为，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂． 【详解】解：将数用科学记数法表示为， 故答案为：． 12 .嫦娥五号返回器携带月球样品安全着陆，标志着中国航天业向前又迈出了一大步．嫦娥五号返回器在接近大气层时，飞行大约需要秒．将数据用小数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将数据用小数表示为． 故选：B． 5.根据式子有无意义的条件求值 13 .若（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义，则x的取值范围是（　　） A．x＞4 B．x＜3 C．x≠4或x≠3 D．x≠4且x≠3 【分析】根据零指数幂及负整数指数幂有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可． 【解答】解：∵（x﹣4）0﹣（2x﹣6）﹣2有意义， ∴， 解得x≠4且x≠3． 故选：D． 14 .若没有意义，则x﹣2的值为（　　） A． B．﹣4 C．4 D． 【分析】根据零指数幂的意义即可求出x的值． 【解答】解：由题意可知：， ∴， ∴， 故选：C． 15 .已知（x﹣1）x+2＝1，则整数x＝__________ 【答案】2、0、﹣2 【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则计算得出答案． 解：∵（x﹣1）x+2＝1， ∴x+2＝0且x﹣1≠0或x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1且x+2为偶数， 解得：x＝﹣2、x＝2或x＝0， 故x＝﹣2或2或0． 故答案为：2、0、﹣2． 【点拨】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算，正确分类讨论是解题关键． 三、课堂达标 一、单选题（每小题4分，共32分） 1．世界上体积最小的动物要比蚂蚁小很多倍，它是被命名为的原生动物，它的最长直径才0.0000003米，数据0.0000003用科学记数法表示为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：， 故选：C. 2．下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意， 故选：D. 3．若有意义，则x的取值范围是( ) A. B.且 C.或 D. 答案：B 解析：由题意得且， 解得且. 故选B 4．下列各式中，正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：，，不是同类项，不能合并，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选：D. 5．已知：，，，则a，b，c大小关系是( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：∵，，， ∵， ∴， 故选：A. 6．下列四个数中,值最大的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：A、； B、； C、； D、. ∴ 故选：C. 7．已知，下列关于a的叙述中，正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：已知， 则， 故选：B. 8．若有意义，则x的取值范围是( ) A. B. C.或 D.且 答案：D 解析：有意义， ， 解得且. 故选：D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．_______. 答案： 解析：, 故答案为：. 10．将代数式写成只含有正整数指数幂的形式：_________. 答案： 11． 若x满足，则整数x的值为__________. 答案：-1或3或1 解析：分三种情况讨论： ①，且，解得. ②，解得. ③，为偶数，解得，符合题意. 综上，x的值为-1或3或1. 12．已知，，，用“<”连接a，b，c为___________. 答案： 解析：因为，，，所以.故答案为. 13．计算：__________. 答案：3 解析： 故答案为:3. 三、解答题（共6小题，每小题8分，共48分） 14．计算： （1）； （2）. 答案：（1） （2） 解析：（1）原式. （2）原式. 15．用科学记数法表示下列数： ，，，. 答案：见解析 解析：， ， ， . 16．计算： （1）. （2）. （3）. 答案：（1） （2） （3） 解析：（1）原式. （2）原式. （3）原式. 17．与的大小，我们可以采用“从特殊到一般”的思想方法： （1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“>”“<“=”） ①___； ②____； ③____； ④____. （2）由（1）可以猜测与（n为正整数）的大小关系：当n______时，；当n______时，. （3）根据上面的猜想，则有_______（填“>”“<”或“=”）. 答案：（1）①> ②> ③< ④< （2）； （3）< 解析：（1）①因为，，所以.故答案为>. ②因为，，所以.故答案为>. ③因为，，所以.故答案为<. ④因为，，所以.故答案为<. （2）由（1）可以猜测n为正整数时，当时，； 当时，.故答案为，. （3）由（2）得，则.故答案为<. 18．根据如图所示的程序，求输出D的化简结果；已知x的立方根是它本身，选取一个合适的x的值代入，求D的值. 答案：（答案不唯一） 解析：. . . 由题意可知或， 由分式有意义的条件可知x不能取0， 当时，.（答案不唯一） 19．在初一，我们学习了“有理数的乘方”运算，知道乘方的结果叫做“幂”，下面介绍一种有关“幂”的新运算，定义：am与an（a≠0，m、n都是正整数）叫做同底数幂，同底数幂除法记作am÷an． 运算法则如下： am÷an＝． 解决问题 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： （1）填空：＝　　，23÷27＝　　； （2）如果，求出x的值； （3）如果（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1，请直接写出x的值． 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则进行计算即可； （2）先把81化为34的形式，再进行计算即可； （3）根据同底数幂的除法法则进行计算即可． 【解答】解：（1）＝（）4﹣2＝（）2＝，23÷27＝＝＝． 故答案为：，； （2）∵＝， ∴3x+4﹣1＝4， 解得x＝； （3）∵（5﹣2x）3x﹣1÷（5﹣2x）x+7＝1， ∴3x﹣1＝x+7或5﹣2x＝1或5﹣2x＝﹣1， 解得x＝4或2或3． 学科网（北京）股份有限公司 $$