类型三 与圆有关的综合问题课件2025年九年级中考数学一轮复习（安徽专版）

类型三 与圆有关的综合问题 1 知识储备 在与圆有关的几何证明问题中，经常融合垂径定理、圆内接四边 形的性质、圆内接三角形的性质、等腰（等边）三角形“三线合一”的性 质、角平分线的性质、圆周角、弦切角、相似三角形的性质以及切线 的判定方法等知识点进行综合考查.考查的知识点很多，综合性很强， 对学生的综合能力考查目的性很强. 2 典题精讲 图Z5-18 例5 [2024福建] 如图Z5-18，在 中， ，，以为直径的交 于点 ，，垂足为，的延长线交于点 . （1）求 的值； （2）求证： ； （3）求证：与 互相平分. 3 （1）求 的值； 解：，且是的直径， . ， 在中， . ， 在中， ， ， . 图Z5-18 4 （2）求证： ； 证明：过点作，交的延长线于点 ， 如图，则， . 又， ， ， . ， ， ， ， ， . ， ， ，， ，， . 5 （3）求证：与 互相平分. 证明：连接， ，如图. 是 的直径， ， . 又， ， ， . 由（2）知 ， . 又 ， ， ， ，， . 由（2）知 ， . ，， ， 四边形 是平行四边形，与 互相平分. 6 题型精练 图Z5-19 1. [2024浙江] 如图Z5-19，在圆内接四边形 中，， ，延长 至点，使，延长至点 ，连结 ，使 . （1）若 ，为直径，求 的 度数. （2）求证： ① ； ② . 7 （1）若 ，为直径，求 的度数. 解：为直径， . ， ， ， ， . 图Z5-19 8 （2）求证： ① ； 证明： 四边形 是圆内接四边形， . 又 ， ， . 图Z5-19 9 ② . 证明：如图，过点作交圆于点，连结， . ， ， . 四边形 是圆内接四边形， . 又 ， . ， ，， ， . ， ， . 又， ，， . 10 2. [2024湖南] 【问题背景】 已知是半径为的上的定点，连接，将线段绕点 按逆时针 方向旋转得到，连接，过点作的切线 ，在 直线上取点，使得 为锐角. 【初步感知】 （1）如图Z5-20，当 时， ________ . 图Z5-20 11 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点，连接 ，对 角线，相交于点 . 图Z5-21 图Z5-22 ①如图Z5-21，当时，求证：无论 在给定的范围内如何变 化， 总成立； ②如图Z5-22，当，时，请补全图形，并求 及 的值. 12 （1）如图Z5-20，当 时，____ . 30 图Z5-20 [解析] ， ， 是等边三角形， . 与相切于点， ， . 故答案为30. 13 ①如图Z5-21，当时，求证：无论 在给定的范围内如何变 化， 总成立； 证明： 四边形是矩形， ， ，， . 与相切于点 ， ， ， . 图Z5-21 14 又， ， . 在和 中， ， . ， ， ， 即无论 在给定的范围内如何变化， 总成立. ②如图Z5-22，当，时，请补全图形，并求 及 的值. 解：连接 .设，则 ， . ， ， ， ，即点在线段 上， 补全图形如图： . 如图，过点作，垂足为 ，则 . 16 ， ， ， . 设，则 ， . 在中，由勾股定理， 得 . 在中，由勾股定理，得 ， ， ， ， ， . $$