7.4.2超几何分布限时训练-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

超几何分布 (分值：100分) 单选题每小题5分，共20分；多选题每小题6分，共18分. 一、基础巩固 1.(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　) 在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记取的2台彩电中甲型彩电的台数为X 一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到的红灯个数为X 从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是(　　) 3.(多选)10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a的值为(　　) 2 4 6 8 4.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　) 5.学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二(1)班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到，若X表示选到高二(1)班的候选人的人数，则E(X)等于(　　) 6.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则P(X≥8)＝________. 7.一口袋中有大小完全相同的黑球、白球共7个(白球不少于2个)，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为________. 8.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8道试题中随机挑选4道进行作答，至少答对3道才能通过初试.记在这8道试题中甲能答对6道，甲答对试题的个数为X，则甲通过自主招生初试的概率为________，E(X)＝________. 9.(13分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率. 10.(13分)一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中随机摸出2个球，至少得到1个白球的概率是. (1)求白球的个数； (2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列. 二、综合运用 11.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) 10% 20% 30% 40% 12.袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________；E(ξ)＝________. 13.(16分)根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效. (1)如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及均值； (2)如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性. (参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件) 三、创新拓展 14.(多选)为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示. 若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则(　　) X的取值范围为{0，1，2，3} P(X＝0)＝ P(X＝1)＝ E(X)＝ 超几何分布 1.ABD　[依据超几何分布的定义可知，试验必须是不放回地抽取n次，A，B，D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布.] 2.D　[设所选3人中的女生人数为X，则X服从参数为N＝6，M＝2，n＝3的超几何分布，且P(X＝k)＝(k＝0，1，2)， 故所求概率为P(X≥1) ＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＝.] 3.AD　[根据题意，得＝， 解得a＝2或a＝8.] 4.A　[事件“X＝4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X＝4)＝＝.] 5.D　[法一(公式法)　由题意得随机变量X服从超几何分布n＝2，M＝4，N＝10， 则E(X)＝＝2×＝. 法二　由题意知，X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝＝， P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝. 则X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝1×＋2×＝.] 6.　[由题意知P(X≥8) ＝1－P(X＝6)－P(X＝4) ＝1－－＝.] 7.3　[设口袋中有白球x个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ服从超几何分布， 由超几何分布的均值公式得，E(ξ)＝＝， 解得x＝3.] 8.　3　[依题意，知甲能通过自主招生初试的概率为 P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝＋＝. 由于X的可能取值为2，3，4， P(X＝2)＝＝， 故E(X)＝2×＋3×＋4×＝3.] 9.解　(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X， X的可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)他能及格的概率为 P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 10.解　(1)记“从袋中随机摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x. 则P(A)＝1－P()＝1－＝， 解得x＝5(x＝14舍去)， 因此白球的个数是5. (2)由题知，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3， 则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3. 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 因此随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 11.B　[设10件产品中有x件次品， 则P(ξ＝1)＝＝＝， 解得x＝2或8. 因为次品率不超过40%，所以x＝2， 所以次品率为＝20%.] 12.1　　[由题意可得，P(ξ＝2)＝ ＝＝， 化简得(m＋n)2＋7(m＋n)－60＝0， 得m＋n＝5(m＋n＝－12舍去). 又取出的两个球为一红一黄的概率 P＝＝＝， 解得m＝3，故n＝2. 所以m－n＝1. 易知ξ的所有可能取值为0，1，2，且P(ξ＝2)＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝0)＝＝， 所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.] 13.解　(1)X的所有可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 或E(X)＝n×＝2×＝1. (2)新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈， ∴p＝C×＋C×＝≈0.01<0.05. 故实验方案合理. 14.BC　[由X的取值为0，1，2，知A错误. 又了解冰壶的人数在30人以上的学校有4所， ∴P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， 因此E(X)＝0×＋1×＋2×＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $$