22.2.5一元二次方程的根与系数的关系 教案2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

*5.一元二次方程的根与系数的关系 1.理解一元二次方程的根与系数的关系.(重点) 2.能利用根与系数的关系解决一些简单的问题.(难点) 一、情境导入 同学们,老师这里有一手绝活,你只要给出两个数,我立即就能说出以这两个数为根的一元二次方程,同学们若不信,咱们就试一试! (此情境可以有效地吊起学生的胃口,激发起学生的好奇心和求知欲,从而有效地引领学生展开探究活动) 举例如下:(1)两根为x1=3,x2=5的一元二次方程为x2-8x+15=0; (2)两根为x1=2,x2=-7的一元二次方程为x2+5x-14=0; (3)两根为x1=-6,x2=-4的一元二次方程为x2+10x+24=0. 二、探索新知 观察、计算x1+x2和x1 x2的值与相应方程中的系数a、b、c之间的关系,你能发现什么规律? 1.一元二次方程的根与系数的关系: 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则x1+x2=-,x1 x2=. 2.结论证明: 当b2-4ac≥0时,由公式法可得一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为 x1=,x2=. 所以x1+x2=+=-,x1 x2= =. 说明:这个性质称为韦达定理,利用这个性质可以不解一元二次方程直接求出方程的两根之和与两根之积.使用这个定理时需要注意两点:一是方程必须是一元二次方程;二是方程必须有两个实数根. 例1 不解方程,求出下列方程的两根之和与两根之积: (1)x2+3x-5=0;(2)2x2-3x-5=0. 解:(1)设两根为x1、x2,由一元二次方程的根与系数的关系,可得 x1+x2=-3,x1 x2=-5. (2)设两根为x1、x2,由一元二次方程的根与系数的关系,可得 x1+x2=-=,x1 x2=-. 例2 已知方程x2-3x+m=0的一个根为-1,求另一个根以及m的值. 分析:由于方程中的二次项系数和一次项系数已知,并且知道了方程的一个根,故可利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根,进而再求出m. 解:设另一个根为x2,则x1=-1.由根与系数的关系,可得 即解得 所以,另一个根为4,m的值为-4. 三、巩固练习 1.不解方程,判断下列方程是否有实数根,如果有实数根的话,求出方程的两根之和与两根之积: (1)x2+4x-3=0;(2)=x. 2.试解答下列问题,并和同学讨论一下,有哪些不同的解法: (1)已知关于x的方程x2+mx+2n=0的两个根是1和-3,求m和n的值; (2)已知关于x的方程x2+mx-20=0的一个根是-4,求它的另一个根和m的值. 答案:1.(1)方程有两个不相等的实数根. x1+x2=-4,x1 x2=-3. (2)方程没有实数根. 2.(1)m=2,n=-. (2)另一个根为5,m=-1. 四、应用拓展 例3 若方程2x2-x-6=0的两根分别为x1、x2,试求下列代数式的值: (1)+;(2)+. 分析:本题若采用先求出x1和x2的值再代入求值的方法,其运算就比较繁琐,故可利用一元二次方程的根与系数的关系来做. 解:由一元二次方程的根与系数的关系,可得 x1+x2=,x1 x2=-3. (1)+=(x1+x2)2-2x1 x2=-2 (-3)=6. (2)+===-. 【点拨】把x1+x2和x1 x2作为整体,想办法将所求代数式转化成用x1+x2和x1 x2去表示,是解决这类问题的基本方法. 五、归纳小结 利用一元二次方程的根与系数的关系的注意点: 1.方程要化成一般式ax2+bx+c=0(a≠0); 2.方程要有两个实数根; 3.正确确定a、b、c的值并注意符号. 六、课后作业 1.教材第35页练习第2题中选取. 2.教材习题22.2第10、11题. 本节课充分以学生为主体进行教学,采用“实践—观察—发现—猜想—证明”的过程教学.让学生多实践,从实践中反思过程,经历一元二次方程的根与系数的关系的发生发展过程,并从中体验成功的乐趣.引导学生发现问题,师生共同解决问题.指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径,并将应用问题和规律归类. 教学过程中,强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的,在利用此关系确定字母的取值时,一定要记住 ≥0这个前提条件. 学科网(北京)股份有限公司 $$