22.2.4一元二次方程根的判别式 教案 2024-2025学年华东师大版数学九年级上册

4.一元二次方程根的判别式 1.经历一元二次方程根的情况的探究过程，归纳出一元二次方程根的判别式. 2.理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况.（重点、难点） 一、复习引入 1.用公式法解下列方程： （1）2x2＋x＝1；（2）3x2－2x＋1＝0；（3）2x（x－1）＋1＝0. 答案：（1）x1＝，x2＝－1；（2）x1＝x2＝； （3）无解. 2.探究一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根. （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根： x1＝，x2＝； （2）当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根：x1＝x2＝－； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根. 二、探索新知 这里的b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根的情况： 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ＜0时，方程没有实数根. 例1　不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2＝5x－2；（2）4x2－2x＋＝0；（3）4（y2＋1）－y＝0. 解：（1）原方程可变形为3x2－5x＋2＝0. 因为Δ＝（－5）2－4×3×2＝1＞0， 所以方程有两个不相等的实数根. （2）因为Δ＝（－2）2－4×4×＝0， 所以方程有两个相等的实数根. （3）原方程可变形为4y2－y＋4＝0. 因为Δ＝（－1）2－4×4×4＝－63＜0， 所以方程没有实数根. 三、巩固练习 不解方程，判断下列方程的根的情况： （1）3x2＋5x＝4；（2）2x－x2－2＝0；（3）4（y2－y）＋1＝0；（4）2（x＋1）2＝5x. 答案：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程没有实数根；（3）方程有两个相等的实数根；（4）方程没有实数根. 四、应用拓展 例2　已知关于x的方程2x2－（3＋4k）x＋2k2＋k＝0. （1）当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）当k取何值时，方程有两个相等的实数根？ （3）当k取何值时，方程没有实数根？ 分析：已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况，反过来可以确定根的判别式的值的符号： 当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0； 当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac＝0； 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac＜0. 解：因为a＝2，b＝－（3＋4k），c＝2k2＋k， 所以Δ＝b2－4ac＝[－（3＋4k）]2－4×2×（2k2＋k）＝16k＋9. （1）若方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0， 即16k＋9＞0，所以k＞－； （2）若方程有两个相等的实数根，则Δ＝0， 即16k＋9＝0，所以k＝－； （3）若方程没有实数根，则Δ＜0， 即16k＋9＜0，所以k＜－. 五、归纳小结 利用一元二次方程的根的判别式来解题的一般步骤： 1.将方程化成ax2＋bx＋c＝0的形式； 2.判断a的值是否为零； 3.若a≠0，再考虑b2－4ac的取值. 六、课后作业 1.教材习题22.2第7、8、9题. 本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用.学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调. 在教学过程中，学生通过观察、分析、讨论与交流等活动，进一步增强自主探究以及与他人交流的能力.体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$