第七单元 图形的变化-提分微课（十四） 主从联动问题课件2025年中考数学一轮复习（安徽专版）

提分微课（十四） 主从联动问题 1 分类精析 类型一 运动轨迹为直线 问题 如图，为定点，是直线 上一动点，连接，取 的 中点，当点在直线 上运 动时，点 的运动轨迹是？ 如图，为定点，， 为动点， ，且 为定值，当 点在直线上运动时，点 的 运动轨迹是？ 图形 _______________________________________________________ ____________________________________________________ 2 轨迹 当点在直线 上运动时，点 的运动轨迹是一条直线 当点在直线上运动时，点 的运动轨迹是一条直线 理由 分别过，向 作垂线，垂 足分别为， .因为 ，所以，即点到 的距离是定值，故点 的运动轨迹是一条直线（图中直线 ） 当与 的夹角固定，且 时，易知 ，则，故可知点 的运动轨迹为一条直线（图中直线 ） 续表 3 图W14-1 例1 如图W14-1，在平面直角坐标系中， ，是轴上一动点. 以为边在 的下方作等边三角形，当点在轴上运动时， 的最小值为__. 4 [解析] 求的最小值需先作出点的运动轨迹，根据 是等边三 角形且点在直线上运动，故可知点 的运动轨迹也是直线. 取两特殊时刻：如图，①当点与点 重合时，作出 点位置；②当点在轴上方且与 轴的夹角为 时，作出点位置.连接，点在直线 上. 根据题意易知 ，作于点 ， 所得长度即为最小值，易知，所以 . 5 变式1 如图W14-2，在等边三角形中，， 是 边上的高所在直线上的点，以为边作等边三角形 ，连接 ，则 的最小值为__. 图W14-2 6 [解析] 如图，连接 . 和 是等边三角形， ，， . . ， . 是等边三角形， ， ， . . 点在与成 角的直线 上运动. 当时， 有最小值. ， ， . 7 图W14-3 变式2 如图W14-3，已知点， ， ，动点在线段上，点，， 按逆时 针顺序排列，且 ，，当点 从点运动到点时，点 运动的路径长为___. 6 [解析] ，， . ，动点在线段上， ， ， ，为主动点，为从动点， 为定点. 由“主从联动”得点的运动路径与点的运动路径之比等于 ， 点运动的路径长为 . 8 类型二 运动轨迹为圆 问题 如图，为定点，是圆 上一 个动点，连接，为 的中 点.当点在圆上运动时，点 的运动轨迹是？ 如图，为定点，是圆 上一 个动点， 且 ，当点在圆 上运 动时，点 的运动轨迹是？ 图形 _________________________________________ ______________________________________________ 轨迹 点 的运动轨迹是一个圆 点 的运动轨迹是一个圆 9 理由 为的中点，连接 ，取 的中点 ，则 ， . 故点的运动轨迹为以 为圆 心， 为半径的 圆 作 ， ，则 ，.故点 的运动轨迹是以 为圆心， 为半径的圆 续表 10 图W14-4 例2 如图W14-4，点，圆 的半径为2，，，是 圆上的动点，是 的中点，求 的最小值. 11 解：由题意可知点为主动点，点为从动点， 点为定点. 连接，由是的中点，可知 点轨迹为（取的中点，连接 以为圆心， 为半径的圆，如图所示. 连接，由题中数据可知 . ，分别是，的中点， 是 的中位线. . 当点运动到，，三点共线且点在，之间时， 的值最小， 此时，，三点共线， . 12 例3 已知：在正方形 中，，点在边上，且 ， 以点为圆心，长为半径画 ，点在上移动，连接 . W14-5 （1）如图W14-5①，在点移动过程中， 长度的最小值是___； （2）如图②，将绕点逆时针旋转 至，连接，在点 移 动过程中， 长度的最小值是_________. （1）如图W14-5①，在点移动过程中， 长度的最小值是___； 3 [解析] 点在 上移动， 当点在线段上时， 的长度有最小值， 最小值 . W14-5 14 （2）如图②，将绕点逆时针旋转 至，连接，在点 移 动过程中， 长度的最小值是_________. [解析] 连接， ，由旋转得：， . 四边形 为正方形，， . . . 点在以点 为圆心，1为半径的圆上. 当点在对角线上时， 最小，如图. 在中， ， . ， 即长度的最小值为 . 15 巩固训练 1. 如图W14-6，的直径，为上的动点，连接， 为 的中点，若点在圆上运动一周，则点 经过的路径长是____. 图W14-6 [解析] 如图，连接 . ， 为 的中点， . . 点在以 为直径的圆上运动. 点经过的路径长为 . 16 变式 如图W14-7，在等腰直角三角形中，，点 在以斜边为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点 运动 至点时，点 运动的路径长为___. 图W14-7 17 [解析] 如图，当点位于弧的中点时，为 的中点. ，， . 设,分别为，的中点， 连接交于点 ，如图所示. 易知， , 当点沿半圆从点运动至点时，点的运动路径是以 为圆心，1 为半径的半圆. 点运动的路径长为 . 18 2. [2024连云港] 如图W14-8，在中， ， ， .点在边上，过点作，垂足为，过点 作 ，垂足为.连接，取的中点.在点从点到点 的运动 过程中，点 所经过的路径长为_ ___. 图W14-8 19 ， . ， . . . ， .， . ，， ， 四边形 为矩形. .， . 为 的中点，， . [解析] 以点为原点，建立坐标系，过点 作于点 . 设，则 ， . 20 令，，则 . 点在直线上运动， 当点 与点重合时，，此时 ， 当点与点重合时，，此时， ， 点所经过的路径长为 . 图W14-9 3. 如图W14-9，已知点 是第一象限内的一个定点，点是以 为圆心、 1个单位长度为半径的圆上的一个动点，连接，以为边在 右侧 作等边三角形.当点在上运动一周时，点 运动的路径长是 ____. 22 [解析] 如图，连接，，将绕点 逆 时针旋转 ，得线段，连接， . ， ， 为等边三角形. 为等边三角形， ， . . . . .即为动点 运动的路径. 当点在上运动一周时，点运动的路径长是 . 23 4. 如图W14-10，在中， ，， ，点 是平面内一个动点，且，为的中点，在 点运动过程中， 设线段的长度为，则 的取值范围是___________. 图W14-10 24 在中， ，，， . 是的中点， . 是的中点，是 的中点， 是 的中位线. . 在中， ， . 点，点是定点，点是动点，且点在以点为圆心， 长为半 径的圆上运动， 当，，三点共线，且点在线段上时，取得 最小值 ，当，，三点共线，且点在线段的延长线上时，取 得最大值 .综上，的取值范围为 . [解析] 如图，取的中点，连接， . 25 5. 如图W14-11，在矩形中，， ， 是对角线 上的一个动点，连接，以为斜边作 的直角三角形 ，使点和点位于两侧，点从点到点的运动过程中，点 的运动路径长是_ ____. 图W14-11 26 [解析] 作出两临界位置的图形，如图，连接 ， 可知点的运动路径是线段 . ， ， . 当点与点重合时，在 中， ， ， ， ， . 当点与点重合时， ， ， ， ， 在中， . 27 图W14-12 6. [2024泰安] 如图W14-12，在菱形 中， ，是边上 的点， ，，是上的一点，是以点 为直角顶点， 为 角的直角三角形，连接 .当点在直线上运动时，线段 的最小值是( ) C A.2 B. C. D.4 28 [解析] 如图，过点作于点，过点作于点， 连接 ，过点A作交的延长线于点 . ， 点，，， 四点共圆. . ， . 点在和 平行的直线上运动. 当，即点和点重合时， 取得最小值. 可知四边形 是矩形， . ， . .的最小值是 . 29 图W14-13 7. 如图W14-13，在中， ，，是 边的中点，是 边上一个动点，连接，以为边在 的下方作 等边三角形，连接，则 的最小值是( ) B A. B.1 C. D. 30 ，， ， . . [解析] 如图，在的下方作等边三角形，作射线 . . . . 点在射线上运动（点是定点， 是定值）， 当时， 的值最小， 最小值 . 31 $$