第七单元 图形的变化-提分微课（十三）PA_kPB型最值问题课件2025年中考数学一轮复习（安徽专版）

提分微课（十三） 型最值问题 1 知识储备 类型 胡不归问题 阿氏圆问题 问题 如图，点，在直线 上，点在直线 外， 求 的最小值 如图所示，的半径为，点， 都在外，为 上一动点，已 知,连接， ，则当 “”的值最小时， 点的位置如何确定 图形 2 类型 胡不归问题 阿氏圆问题 解题 方法 如图，构造射线 ,使 ，过点 作 于点 ，则 . 当，， 三点共线时， 最小，即 的值最小 如图①,在线段上截取 ， 则,故 ,于是 .由于， 为定 点，为动点，故当，， 三点共 线时（如图②）， 的值最小 续表 3 类型 胡不归问题 阿氏圆问题 原理 化“折”为“直”，垂线段最短 结论 在求形如“”的式子的最值问题中，关键是构造与 相等的线段，将“”型问题转化为“ ”型问题 胡不归问题是利用三角函 数的正弦值转化 值 阿氏圆问题是构造子母型相似转化 异同 点 共性：带系数的线段之和（差）最值问题 区别：动点在直线上运动则是“胡不归”问题，动点在圆周上运 动则是“阿氏圆”问题 说明 若求的最小值，可以变形为 ,然 后先求 的最值，再得结果 续表 4 分类精析 类型一 胡不归问题 图W13-1 例1 |一题多变| 如图W13-1，已知 ，是的平分线， ，是射线 上的动点，是射线上的动点，则 的最小值为___. 3 5 [解析] 如图，是定点，，分别是射线， 上的动点,连接，过点作于点 . 由题意，得 , 故的长即为 的最小值. 在 中， . 故 的最小值为3. 6 图W13-2 变式1 如图W13-2，已知 ， 是射线上的动点， 则 的最小值为___. ［提示］ 将转化为两条线段的和 求最值，即将转化为是解题的关键.由 联想到 ，因此需构造 角.如图，在射线 下方作 ，过点作于点，过点作于点 ，则 ，即的最小值为 . 7 变式2 如图W13-3，已知 ，，是射线 上的 动点，则 的最小值为___. 图W13-3 ［提示］ 仿照变式1，由联想到 ，因此构造 ， 如图，过点作于点，于点 ，则 ，即的最小值为 . 8 思考 在变式2的条件下，你能解答下面的问题吗？ 的最小值为_____； 的最小值为____. 图W13-3 9 类型二 阿氏圆问题 图W13-4 例2 |一题多变| 如图W13-4，四边形 为边长为4的正方形， 的半径为2，为 上一动点，则 的最小值为( ) B A.6 B.5 C.4 D. 10 ［思路分析］ 11 [解析] 如图，连接，在上取一点 ，使得 ，连接，， ， ， . . .即当D,,三点共线且在线段 上时， 取得最小值，最小值为 的长. 而 , 的最小值为5. 12 图W13-5 变式1 如图W13-5，已知菱形 的边长为4， ，的 半径为2，是 上的一个动点，则 的最小值为_____. 13 [解析] 如图，在上取点，使 ，连接 ，， .， ， . . . 当点，，共线时，取得最小值，最小值为 的长. 过点作,交的延长线于点 . 在中，, ,, . 在中，, . 的最小值是 . 14 图W13-6 变式2 如图W13-6，点，在 上，，且， 是的中点，点 在上，，动点在上，则 的最小值为______. 思路分析：如何将 转化为其他线段呢？ 不难发现本题出现了中点，即2倍关系， 就可以套用“阿氏圆”模型： 构造共边共角相似， 半径的平方 原有线段×构造线段. 15 [解析] 如图，连接,在射线上截取 ，连 接，交于点，此时 最小. . 又, . . . . 在 中， , 即的最小值为 . 16 巩固训练 图W13-7 1. 如图W13-7，在矩形中， ， ，为边上任意一点，连接 ，则 的最小值为( ) C A. B.2 C. D. [解析] 如图，连接，易得 ，过点 作 ，垂足为，则，作点B关于 的对称 点，过点作于点，当点与点 重合时， 的值最小，最小值为的长，易求 . 17 图W13-8 2. 如图W13-8，在正方形中，， 是正方形内部的一点，且满足 ， 则 的最小值为( ) C A.6 B.8 C.10 D.12 [解析] 如图，在边上取一点，使 ，连接 ，易证， ， （当D，， 三点共线时，等号成立）， 故的最小值为 . 18 3. 如图W13-9，在中， ，，， 为 边上的一动点，则 的最小值为( ) C 图W13-9 A. B.3 C. D. 19 [解析] 如图，过点作，交的延长线于点 . ， . . . 的长. 当B，，三点共线时，有最小值，即最小值为 的长. ， . 20 图W13-10 4. 如图W13-10，中， ，，于点， 是线段 上的一个动点，则 的最小值是( ) B A. B. C. D.10 21 [解析] 如图，作于点，于点 . ， . ， 设， ，则有 . .或（舍去），即， . ，，， . 在和中， ， . . 由图可得 ， . 的最小值为 . 22 5. [2024广元] 如图W13-11，在中，， ，则 的最大值为______. 图W13-11 23 [解析] 过点作，垂足为 ，如图①所示： ， . 设，则.由勾股定理可得 . ，即 . 延长到点，使，连接 ，如图②所示： . ，， 是等腰直角三角形， 则 . 24 由圆周角定理可知，点在上运动，是 的 弦，求的最大值就是求弦 的最大值， 根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是 的直径时， 的长最大，如图④所示： 是的直径， . 又 ， 是等腰直角三角形. ，， 即 的最大值为 . 在中，， ，作 的外接圆 ，如图③所示： 25 图W13-12 6. 如图W13-12，在中， ，，， 以点 为圆心，6为半径的圆上有一个动点，连接，， ，则 的最小值为( ) B A. B. C. D. 26 [解析] 如图，在上截取，使 ，连接 ，，易得 ， 所以，即 所以 . 在中，由勾股定理得，所以当点 ， D，B在同一直线上时，取得最小值，最小值为 . 27 图W13-13 7. 如图W13-13，在中， ， ，以点为圆心作与相切， 为 上一动点，则 的最小值为____. [解析] 在上截取,连接,.易得 的半径为，故. .又 , , . . 当,,三点共线即线段与交于点 时取等号 （如图）.故的最小值为 . 28 8. [2022十堰月考] 如图W13-14，在扇形中， ， ，是的中点，，是上一点，则 的最小 值为_______. 图W13-14 29 [解析] 如图，连接，延长至点，使得 ， 则，. . 又， . ，即 . . 当，，三点共线时， 最小. 的最小值为 . 30 图W13-15 9. 如图W13-15，在平面直角坐标系中，二次函数的 图象经过点 ，，，其中对称轴与轴交于点 . （1）求抛物线的解析式； （2）若为轴上的一个动点， 连接 ，求 的最小值. 31 （1）求抛物线的解析式； 解：由题意知抛物线的解析式为 ， 代入的坐标得 , . . 抛物线的解析式为 . 图W13-15 32 （2）若为轴上的一个动点，连接，求 的最小值. 解：如图，连接,作于点，交 于点 . , , . . . . 当，，共线时，取得最小值，最小值为 的长. 在中， ,, , ..的最小值为 . 33 $$