第七单元 图形的变化-提分微课（十二）PA±PB型最值问题课件2025年中考数学一轮复习（安徽专版）

提分微课（十二） 型最值问题 1 分类精析 类型一 两点之间线段最短（两定一动、一定两动、两定两动） 一、“两定一动”（即“一线两点”）型 类型 直接连两定点 先作其中一点的对称点再连线 线段和 最小 _____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 线段差 最大 _______________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________ 2 图W12-1 例1 如图W12-1，正方形的边长为8，点 在上，且， 是 上一动点，则 的最小值为____. 10 3 在中，， ， 则 . [解析] 如图，由条件易知，，关于直线对称，连接，则 的 长为 的最小值. 4 变式1 如图W12-2，是半圆（半径为1）上靠近点的三等分点， 是 的中点，是直径上一动点，则 的最小值为____. 图W12-2 5 [解析] 如图，作点关于的对称点，则点在圆上.连接， ， 则的长就是 的最小值. ， 是等腰直角三角形. ，即的最小值是 . 6 变式2 [2023泸州] 如图W12-3，，是正方形的边 的三等分 点，是对角线上的动点，当取得最小值时， 的值是__. 图W12-3 7 [解析] 作点关于的对称点，连接交 于点，连接 ， 则 ，故当点位于点处时， 取得最小值. 求当取得最小值时， 的值，只要求出 的值即可. 正方形关于直线 成轴对称， 点关于的对称点在上，且， 过点作 交于点，则 . 8 四边形 是正方形， ， . ， . ，是正方形的边 的三等分点， . ， . ， . . . . 例2 如图W12-4，在正方形中，,与交于点,是 的中点，点在边上，且为对角线 上一点，则 的最大值为___. 2 图W12-4 10 [解析] 如图①，作点关于的对称点 ,根据 对称性可知点在上且,连接 , ，则 , . 如图②,当，，共线时， ,取得最大值. , , ,即 是等腰直角三角形. . 的最大值为2. 11 变式 如图W12-5，在菱形中， ，对角线， 交 于点，，为的中点，为上一点，且， 为 上一动点，连接，，则 的最大值为___. 1 图W12-5 12 [解析] 如图，取的中点，连接 ，作射线交于点， 则 ，，当，， 三点在同一直线 上时， 有最大值，即为 的长. 在菱形中， ， ， . 为等边三角形. . 为的中点， ，， . 又 ， 为等边三角形. .故 的最大值为1. 13 二、“一定两动”（即“一点两线”）型 如图W12-6，是的内部一定点，在上找一点，在 上找一 点，使得 的周长最小. 图W12-6 14 图W12-7 例3 [2024绥化] 如图W12-7，已知 ，为内部一 点，, 分别为射线，上的两个动点，当 的周长最小时， ____. 15 [解析] 作点关于的对称点，连接，， ，则， ， . 作点关于的对称点，连接， ，则， ， . ， 当 ，，，四点共线时， 的周长最短，如图. ， ， . 在中， ， . ， ， ，即 . 16 三、“两定两动”型 问题 ，是 内部的两个 定点，在上找点 ，在 上找点 ，使得四边形 的周长最小 已知直线，点， 分别位于 直线的上方和直线的下方， ， 为直线， 上的动点，且，求 的最小值 方法 _________ _________ 结论：利用“两点之间，线段最短” 可得 的最小值为 的值 17 图W12-8 例4 如图W12-8，在矩形中， ，，，， ， 分别是边，上的动点，则四边形 周长的最小值为_____. 18 [解析] 如图，作点关于的对称点 ，作点关于的对称点， 连接交于点 ，交于点 ，， ， 四边形 的周长 ，当，，，四点共线时，四边形 的周长有最小值. ，，， . ，， . . 在中， ， 在中， ， 四边形周长的最小值为 . 19 例5 [2022自贡] 如图W12-9,矩形中，，，是 的中点，线段在边上左右滑动.若，则 的最小值为 _____. 图W12-9 20 [解析] 如图，作点关于的对称点，在 上 截取，连接交于点 ，此时 的值最小，最小值为 的长. ，，是 的中点， ， .又 ， 在中，由勾股定理得 ， 即的最小值为 . 21 图W12-10 变式 [2024新疆生产建设兵团] 如图W12-10，抛物线 与轴交于点，与 轴交于点，线段在抛物线的对称轴上移动（点 在点 下方），且.当的值最小时，点 的坐标为______. 22 [解析] 作点关于抛物线对称轴的对称点 ，将点 向下平移3个单位长度，得点，连接 ，交对 称轴于点，此时 的值最小， . 由知， ，抛物线的对 称轴为直线， . 可求直线的解析式为 . 在中，当时，， . 23 类型二 垂线段最短（一定两动） 一、“一定两动”（即“一点两线”）型 问题 如图，是平面内一定点， ， 分别是， 上的动点，求 的最小值 _______________________________________________________________ 方法 作点关于的对称点 ，过 点作的垂线，分别交 ， 于点，，则 的最 小值即为 的长 二、胡不归问题（详见P听166提分微课（十三）PA+kPB型最值 问题） 24 图W12-11 例6 |一题多变| 如图W12-11，在锐角三角形 中，， ， 的平分线交于点，，分别是和 上的动点，则 的最小值为___. 4 25 [解析] 如图，作点关于的对称点，作于点 . 易得， ， 的长就是 的最小值. ， 是等腰直角三角形. . 26 图W12-12 变式1 如图W12-12，在等边三角形 中，，，是 上的一点，是 上的一点，且，则 的最小值为 ( ) C A. B. C. D. 27 [解析] 如图，点B关于直线 的对称点是点C，连接，交于点， 此时 的值最小，最小值为 的长. 过点C作于点 ，此时 , 则 ， . 在 中， ， 即的最小值为 . 28 变式2 如图W12-13，在中，， ， ，为上一点且，是上的动点，连接 ，， 则 的最小值是______. 图W12-13 ［提示］ 对称点并不一定总是在 已知图形上，补出图形如图，可得 的最小值为 . 29 类型三 逆等线模型 定义 如图，在中，，分别是 ， 上的动点，且 ，即逆向相 等，则称为 的逆等线. 一般情况下题目中有两个没有首尾相连 的线段相等，也归为逆等线问题. ____________________________________________________ 问题 （不共点两条线段）如图，在 中，，分别是， 上的动点，且 ，求 的最小值. __________________________________________ 30 问题 （有共点两条线段）如图，在 中， ，，， 是线段上的动点，且满足 ，连接，，求 的最小值. ___________________________ 方法 以两条等线段中的一条线段为边，构造与另一条等线段为边的全等三角形，并将两条求和的线段“拼接到一条直线上”，再根据“两点之间线段最短”求最值.上面两个问题的转化思路如图： ______________________________________________________________________ 续表 31 图W12-14 例7 如图W12-14，在中， ，点，分别在，上， 且 .若，，则 的最小值为_____. 思路分析：利用，构造，把转移到 ，则 ，则,,三点共线时， 取得最小值. [解析] 如图，过点作 ，且，连接， ，则 . 又 ， . ，且， 都是定点. ， 当点，，三点共线时， 取得最小值， 最小值为 的长. 过点作，交的延长线于点 . ， . ，，. . 在中， ， ，即的最小值是 . 33 变式 [2024宜宾] 如图W12-15，在中，， ， ，分别是边，上的动点，且.当 的值最小时， ___. 图W12-15 34 [解析] 如图，延长至点，使，连接 . 四边形 是平行四边形， ，，， . ， . 又，， . . 当点，，共线时， 取得最小值. ， .，即，解得 . 35 例8 如图W12-16，在中， ，，是 边上的动点， 且.若，则 的最小值为___. 5 图W12-16 36 [解析] 如图，过点作， ，连接 ，，则 . 又 ， . . 在和中， . ，即 的最小值是5. 37 变式1 如图W12-17，在中， ， ， ， 为边上的两个动点，且，连接，.若 ，则 的最小值为___. 4 图W12-17 38 [解析] 如图，构造矩形，连接， ，交于点 ， 则，， . ， . 四边形为平行四边形. ， . 在中， ， ， . . 故 的最小值为4. 39 变式2 如图W12-18，在矩形中，，，， 分 别是对角线和边上的动点，且，则 的最小值是 _____. 图W12-18 40 [解析] 过点作，使，过点 作 ，交的延长线于点，连接 ， ，交于点 ，则 . 在矩形中，， ， . . ， 是等边三角形. ，， . 在和中， . 41 ，当，，三点共线时，取“ ”号，此 时有最小值，最小值是线段 的长. 在中， ， ， ， . . . 在 中， . 的最小值是 . 巩固训练 图W12-19 1. |一题多变| 如图W12-19， 是边长为2的菱形对角线上的一 个动点，， 分别是，边的中点，则 的最小值是 ( ) B A.1 B.2 C. D.4 43 [解析] 如图，作点关于的对称点，连接 交 于点，连接 ，此时 . 当点与点重合时，有最小值，最小值为 的长. 菱形关于对称，是边的中点， 是的中点.又是边的中点， ， . 四边形是平行四边形. ，即的最小值为2. 44 图W12-20 变式 如图W12-20，菱形 的边长为2， ，为的 中点，点在对角线 上，则 的周长的最小值为________. 45 如图，连接，则，且点与点 关于对称，连接，交 于点 ，此时最小，最小值为 （两点之间线段最短）的长. ， . , 是等边三角形. 又是的中点，， . ，即 .的周长的最小值是 . [解析] 菱形的边长为2， . 为的中点， . 的周长为 . 要使的周长最小，则 最小， 46 图W12-21 2. 如图W12-21，在中， ，，， 以点 为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于 点， 是边上的动点.当最小时， 的长为( ) B A. B. C.1 D. 47 [解析] 如图，延长交于点，连接，交 于 点，此时 的值最小. ， . 又 ， . . ，，.解得 . ，，即.解得 . 48 图W12-22 3. 如图W12-22，正比例函数 的图象与反比例函数在第一象限 的图象交于点 ， 为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重 合），且点的横坐标为1， 为轴上一点，当的值最小时，点 的 坐标为_______. ， 49 [解析] 联立得 解得或 （舍去）. . 连接交轴于点,此时 的值最小，如图所示. 设点关于轴的对称点为，则点 的坐标为 . 设直线的解析式为 . 易知点的坐标为 ， 将点和点的坐标代入得解得 直线的解析式为 . 当时，， 点的坐标为， . 50 图W12-23 4. 如图W12-23，在矩形中， ， ，点，分别在， 上，则 的最小值是______. [解析] 如图，作点关于直线的对称点， 当 , ,三点共线，且时， 最小， 易得， ， ，所以 . 51 图W12-24 5. 如图W12-24，在矩形中， ，，矩形内部有一 动点 满足，则点到, 两点的距离之和 的最小值为______. 52 动点在与平行且与 的距离 是2的线段（线段的长度为4,且点不在线段 与 的交点上）上.如图，作点关于 的对称点 ，连接交于点,则 即为所求的最短距离. 在中，, , ，即 的最小值为 . [解析] 如图，设中边上的高是 ， ， . 53 6. [2022内江] 如图W12-25，在矩形中，，， ， 分别是，上的动点，，则 的最小值是____. 10 图W12-25 54 [解析] 如图，延长到点，使 ，连接 ，，， 四边形 是平行四边形. 当点 ， ，三点共线时，的值最小，为的长. 在 中，由勾股定理，得 . 的最小值为10. 55 7. [2024新乡二模] 如图W12-26，在矩形中，， ， 是边上一动点，是对角线上一动点，且，则 的最小值为_____. 图W12-26 56 [解析] 如图，延长到点，使，连接， . 四边形 是矩形， ，，， . . 又，， . . 当点，，共线时，最小，最小值为 的长. 的最小值为 的长. ， . 在中，， ， . 的最小值为 . 57 8. （加权逆等线）如图W12-27，在矩形中，， ， 是的中点，，分别是，边上的动点，且 ，则 的最小值为_____. 图W12-27 思路分析：此题给的是线段的2倍关系，不能构造全等，但是可以构造 相似.利用，构造，把转移到 ，利用三 点共线时取最小值求解. 58 [解析] 如图，延长至点 ，使 ，连接， ，则可证 ， . .当， ， ，， ，即 的最小值为 . 三点共线时取等号，即 取得最小值. 59 9. [2024天津T25改编] 已知抛物线，， 为常数， ，且，对称轴与轴相交于点，点 在抛物线 上，，为坐标原点.若是抛物线上的点，且点 在第四象限， ，，点在线段上，点在线段 上， ，当取得最小值为时，求 的值. 解：， ， , 抛物线的对称轴为直线 ， . 60 如图①，过点作轴，垂足为，过点 作轴，垂足为 ， 则 ， ，， ， . 在中， . ， . ， ， . 61 在和 中， ， ， ， ， 点的坐标为 . 在中， ， ， ， ， ，即 . ， . 在的外部作 ，且 ， 连接 ，如图②，则， ， ， 当点落在线段上时， 取得最小值， 即 . ， ， . 63 在 中，由勾股定理，得 ， ， ， 即 ， 解得， （不合题意，舍去）， 点的坐标为，点的坐标为 . 点，都在抛物线 上， 的值为1. $$