第六单元 圆-回归教材探中考（七） 再探圆周角定理推论.课件2025年中考数学一轮复习（安徽专版）

回归教材探中考（七） 再探圆周角定理推论 1 ［教材母题］ 九上P87例4 如图J7-1所示，的直径为，弦为， 的平分线 交于点，求，， 的长. 图J7-1 2 解：如图，连接 是直径， . 在 中， . 平分， . . 又在中， ， . 3 变式探究1 借助特殊直角三角形求线段长 如图J7-2，是的直径，的平分线交于点 ， ，，则 的长为_____. 图J7-2 [解析] 连接 .平分， . . . 是的直径， . 在中， . 在中， ， . . 4 变式探究2 构造直角三角形求对角线长 一题多解 如图J7-3，的直径的长为10，弦的长为6， 的平分线交于点，则 的长为_____. 图J7-3 5 [解析] 方法1 如图①，作，垂足 在的延长线上，作 于点，连接 ，.易知 . 平分， . ，. . 又 ， . . 易证， . ，，. （设，则 ，，得， 解得） . ， ， 是等腰直角三角形（这里由四边形 是正方形也可得） . 6 方法2（勾股定理）如图②，连接，，作于点 . 是直径， . ，， 由勾股定理得 . 平分， . 又， . ， . 易证，是直径， . 在中，，， . . 7 图J7-4 变式探究3 借助三角形旋转求对角线长 一题多解 [2023呼和浩特] 如图J7-4， 内接于且 ，弦平分，连接 ，.若，，则_____， _____. 8 [解析] 方法1 （旋转转换线段长）内接于且 ， 为 的直径. . . 弦平分， . . ，，， . 如图，把绕点逆时针旋转 得到 ，则 ， ， ， . ， 为等腰直角三角形. ，， 三点共线. ， . 9 方法2 过点作于点，则，在 和 中分别利用勾股定理求解即可.（同学们可自行尝试操作） 10 图J7-5 变式探究4 借助旋转求线段比值 [2024宜宾] 如图J7-5，内接于，为 的直径，平分 交于点，则 的值为 ( ) A A. B. C. D. 11 [解析] 如图，连接， .为的直径， . . 平分 ， . . 将绕点D逆时针旋转 得到 ，如图所示， 则，， ， ， ， 是等腰直角 三角形. ，B，A三点共线， . . 12 图J7-6 变式探究5 角平分线 弧相等，融入相似三角形 [2024新疆生产建设兵团] 如图J7-6，在 中，是的直径，弦 交于点， . （1）求证： ； （2）若，， 求 的长. 13 （1）求证： ； 证明： ， . 又 ， . 图J7-6 14 （2）若，，求 的长. 解：过点作于点 ，如图. 是的直径， . . . 为等腰直角三角形. 图J7-6 15 在中， . . 在中， ， . 在中， . . ，，即 . ，即的长为 . 图J7-7 变式探究6 角平分线 三角形的内心，融入切线长定理 [2024烟台] 如图J7-7，是的直径， 内接于，点为 的内心，连接 并延长交于点，是上任意一点，连接 ， ， . （1）若 ，求 的度数； （2）找出图中所有与 相等的线段，并证明； （3）若，， 求 的周长. 17 （1）若 ，求 的度数； 解：是 的直径， . 又 ， . 四边形是 的内接四边形， ， . 图J7-7 18 （2）找出图中所有与 相等的线段，并证明； 解： . 证明：如图①，连接 . 点为 的内心， ， ， , ， . ， ， ，,则 . 19 （3）若，，求 的周长. 解：如图②，过点分别作， ， ，垂足分别为，， . 点为的内心，即 的内切圆的圆心， ，，分别为该内切圆与 三边的切点， ，， . 20 ， ， ， . 是 的直径， . ， ， ， 的周长为 . 图J7-8 变式探究7 弱化角平分线条件，探究（射影）相似 [2023苏州] 如图J7-8，是 的内接三角形，是的直径， ， ，点在上，连接并延长，交于点 ，连 接，过点作，垂足为 . （1）求证： ； （2）若，求 的长. 22 （1）求证： ； 证明：为直径， . ， . . 又 ， . 图J7-8 23 （2）若，求 的长. 解：如图，过点作，垂足为 . ，， ， . . ， . ， . . . ，.. . 24 $$