第六单元 圆-提分微课（十） 隐圆问题课件2025年中考数学一轮复习（安徽专版）

提分微课（十） 隐圆问题 1 类型 定点 定长型 定边对定角型 四点共圆 原理 圆的定义 圆周 角所对的 弦是直径 定弦 定角 圆内接四边形 对角互补 同弧所对 的圆周角 相等 图示 ________ 2 类型 定点定长型 定边对定角型 四点共圆 解题 方法 点圆最值 （一箭穿心 法） _____________ 如图，点 在圆外，则点到圆 的最短距离为 ,最长距离为 _____________________ 如图，点在圆内，则点 到 圆的最短距离为 ,最长距 离为 续表 3 类型 定点定长型 定边对定角型 四点共圆 解题 方法 线圆最值 （过圆心向 已知直线作 垂线， 最值点线距 半径 ） _______________________________________________ 点在 上时，圆上点到 的最大距离为 ;点在 上时，圆 上点到 的最大距离为 _______________________________________ 圆上点到直线 的最小距离为 ， 最大距离为 续表 4 分类精析 类型一 “定点定长”型问题 例1 如图W10-1，在中，， ，是 外一点，且，则 的度数为____. 图W10-1 5 [解析] ， 点，，在以点为圆心， 长为半径 的圆上，如图， . 6 变式1 如图W10-2，在边长为4的菱形中， ，是 边 的中点，是边上一动点，将沿 所在的直线翻折得到 ，连接，则线段 长度的最小值是_________. 图W10-2 ［思路分析］沿所在直线 翻折得到 ，可得， 即点在以点为圆心， 的长 为半径的圆弧上运动.转化 为圆外一点到圆的最短距离问题. 7 [解析] 如图所示, 在点的运动过程中, 是定长， 点在以点为圆心， 长为半径的圆弧上运动， 当长度取最小值时，点在 上. 过点作交延长线于点 . 在边长为4的菱形中， ，为 中点， ， . . ,, 在中， . 的最小值 . 8 图W10-3 变式2 [2024烟台] 如图W10-3，在 中， ，，为边 的中 点，为边上的一动点，将沿 翻折得 ，连接，，则 面积的最小 值为___________. [解析] 在中， ， ， ，， . 为边的中点， . 沿翻折得到， ， 9 点在以点 为圆心，4为半径的半圆上运动， 如图，过点作交的延长线于点 ， 交圆于点.当点在点处时，到 的距 离最短，最小值为的长，此时 的面 积最小， 过点作于点， . 在中，， ， ， ， 面积的最小值为 . 10 类型二 “定弦定角”型问题 例2 如图W10-4，正方形的边长为6，动点,分别从点, 同时 出发，以相同速度向各自终点，移动，连接，交于点 ，连接 ，则 的最小值为_________. 图W10-4 ［思路分析］始终有， 利用角的关系推出 , 为定线段， 点在以 为 直径的圆弧上运动.转化为圆外一点到 圆的最短距离问题. 11 [解析] 以的中点为圆心，长为半径作半圆.连接 ，如图. 由题可知,, , . ， . . 点在以 为直径的圆弧上运动. 当点落在线段与半圆的交点处时， 长最小. 在中，由勾股定理可知 ， 的最小值为 . 12 图W10-5 变式 [2023菏泽] 如图W10-5，在四边形 中， ， ， ，，点在线段上运动，点在线段 上， ，则线段 的最小值为_________. 13 [解析] 如图，设的中点为，以为直径画圆，连接交 于点 ， ， ， ， 点 在以为直径的 半圆上运动.当点运动到与的交点 处时，线段 有最小值. ，， ， 线段的最小值为 . 14 例3 （定角定高型）如图W10-6，某园林单位要在一个绿化带内开挖一 个的工作面，使得 ，是边上的高，且 ， 则 面积的最小值是______. 图W10-6 15 [解析] 如图，作的外接圆，连接， ， ，作于点，设 . ， ， . ， ， ， . ， . . ，， . 的最小值为2.的最小值为 . 的最小值 . 16 类型三 “四点共圆”型问题 图W10-7 例4 如图W10-7，在中， ,,,为 中点，为边上一动点.若点 在边上且，则 的最小值 为___. 5 17 连接 ，如图.由勾股定理得 . 在中，为 的中点， . 由直径为圆中最长的弦可知 ， 故的最小值为5，此时 也为直径. [解析] ， ，，，四点共圆，动线段 为直径，此圆为动圆， EF的中点 即为圆心. 18 巩固训练 图W10-8 1. 如图W10-8，为线段的中点，点，， 到点的距离相等.若 ,则 的度 数是( ) B A. B. C. D. [解析] 由题意可知点A,B,C,D在以点为圆心， 为直径的圆上，作出圆 ，如图所示， . , . 19 图W10-9 2. 如图W10-9， ，若 ， 则 ____. [解析] ， 点，， 在以点为圆心，长为 半径的圆上，四边形 是菱形. ， . . 20 3. 一题多变 如图W10-10，在中， ， ， ，为内部一动点，且,连接,则 的最 小值为_________. 图W10-10 21 [解析] ， . ， . . 点在以为直径的 上， 半径 . 如图，连接交于点，此时 最小. 在中， ，， ， . 的最小值为 . 22 图W10-11 变式1 如图W10-11，在等腰直角三角形 中， ,,为等腰直角三角形 所在平面内一点，且满足，连接，则 的取值范围为_____________________. [解析] 设的中点为,以点为圆心， 长为半 径作圆,由题意知点在此圆上.连接 并延长分别 交于点，，如图.最小， 最大，所 以的取值范围为 23 变式2 如图W10-12，中， ， ， 为内一点，且满足.当 的长度最小 时， 的面积是_ ____. 图W10-12 24 [解析] 由，得 ， 点在以为直径的 上运动，如图. 当为线段与的交点时， 的长度最小. ，， ， .， . 的面积为 . 25 4. 在中，， ，,则 长的取值范围是 _ _____________. [解析] 作 的外接圆，如图所示. , 当 ,是直径时， 最长. ,, . 当时，是等边三角形， . ， 长的取值范围是 . 26 5. 在中，若， ，则 面积的最大值为 _________. [解析] 如图，以 为斜边向上作等腰直角三角形 . ， . 以为圆心， 为半径画圆， 由于，则点在上. 过点 作，垂足为 ， . 当点在的延长线上时， 的面积最大，最大面积为 . 27 6. 如图W10-13，在边长为6的等边三角形中，，分别是边 ， 上的动点，且，连接，交于点，连接，则 的最 小值为______. 图W10-13 28 [解析] 是等边三角形， ， . 又， . . . . 如图，过，，三点作，连接， ，， ， 易得点在 上运动. ， . . . ， ， 垂直平分 . 29 . ， . ， . ，当点在上时， 有最小值. 的最小值 . 图W10-14 7. [2024德阳T12改编] 一次折纸实践活动中，小 王同学准备了一张边长为4（单位： ）的正方 形纸片，他在边和上分别取点 和点 ，使，，又在线段 上任取 一点（点可与端点重合），再将沿 所在直线折叠得到，随后连接 ，小王 同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在线段上运动时，点在以 为圆心的圆弧上运动； ②当达到最大值时，点到直线 的距离达到最大； 31 ③的最小值为 ； ④达到最小值时， . 你认为小王同学得到的结论正确的是________.（填序号） ①②③ 图W10-14 32 [解析] ， 点在以 为圆心，2为半径 的圆弧上运动，如图①. 故①正确； 在中， ， ， 随着 的增大而增大. ， 最大时，有最大值，有最大值，此时，点与点 重合. 33 过点作于点，作于点 ，如图②. 又 ， 四边形 是矩形， . 当取得最大值时， 也取得最大值. ， 有最小值， 在中， 有最大值， 即 有最大值， 点到 的距离最大. 故②正确； 34 当，，三点共线时，最小， 在 中，由勾股定理可求 得, 的最小值为 .故③正确； 当达到最小值时，如图③， 可得 ， 可求得 ， . 故④错误. 8. 如图W10-15,等边三角形中，，为 边上一动点， ，，垂足分别为，，则 的最小值为__. 图W10-15 36 [解析] 如图，连接，设中点为，连接， . ， ,,,四点共圆，为直径， 为圆心（如图中的 ）. 设半径 . ， . 要使最小，则的半径最小，故直径 最小. 当时，, . . 37 9. 如图W10-16，正方形的边长是4，是 边上一动点，连接 ，过点作于点，是边上另一动点，则 的最 小值为__________. 图W10-16 38 [解析] 且是定线段，故点 在以中点为圆心、 为直径的圆弧上.考 虑是折线段，作点关于 的对称点 ，如图，化为，当 ， ，四点共线时， 取到最小值.易知 ,所以 . 所以的最小值为 . 39 10. [2024达州T10改编] 如图W10-17， 是等腰直角三角形， ，，点，分别在，边上运动，连接 ， 交于点，且始终满足，求 的最小值. 图W10-17 40 解：是等腰直角三角形， ， ， ， . 由勾股定理，得 ， . ，， . 又 ， ， ， ， . 41 以为斜边在 外侧构造等腰直 角三角形，作 的外接圆 过点作于点 ，过点 作交的延长线于点 ，连 接交于点，如图，则 的半 径为 . ， ， 点在 上运动， 当点与点重合时，最小，最小值为线段 的长. 42 ，， ， 四边形为矩形，， . . 在中，由勾股定理，得 ， ， 即的最小值是 . $$