第六单元 圆-回归教材探中考（八） 角平分线邂逅圆的切线课件2025年九年级中考数学一轮复习（安徽专版）

回归教材探中考（八） 角平分线邂逅圆的切线 1 ［教材母题］ 九上P102习题 如图J8-1，为的直径，为上一点，和过点 的切线互相 垂直，垂足为.求证：平分 . 图J8-1 证明：连接 ，如图. 为的切线， . ， . ， 平分 . 2 图J8-2 通性通法 本题基本图形的实质是角平分线、平行线、等腰三角形三者之间关系的 知二判一.如图J8-2. 直径 3 图J8-2 该基本图形中会出现特殊四边形，如矩形.若 ，则 四边形 为菱形. 该图形中还有很多可以挖掘的图形信息，同学们可以自行探究. 4 图J8-3 变式探究1 增加线段长度计算 [2023宁夏] 如图J8-3，已知是 的直径，直线是的切线， 切点为， ，垂足为.连接 . （1）求证：平分 ； （2）若，， 求 的半径. 5 （1）求证：平分 ； 证明：连接 ，如图. 直线是的切线，切点为 ， . 又，垂足为 ， . ， . 平分 . 图J8-3 6 （2）若，，求 的半径. 解：连接 ，如图. 是的直径， . . ， . 由（1）得， . . . . 在中，.的半径为 . 7 图J8-4 变式探究2 条件和结论互换，角平分线 弧相等 [2023常德] 如图J8-4，四边形是 的内接四边形，是直径， 是的中点，过点 作交的延长线于点 . （1）求证：是 的切线； （2）若，， 求， 的长. 8 （1）求证：是 的切线； 证明：如图，连接 . ， . 是的中点，. . . ， . 又是的半径， 是 的切线. 图J8-4 9 （2）若，，求， 的长. 解：是的直径， . ，， . ， ， ， 即. . 由（1）知， . . 图J8-4 10 图J8-5 变式探究3 证明两线段垂直，及求解线段长度 [2022青海T24改编] 如图J8-5，是 的直径，是的弦， 平分交 于点，过点作的切线，交 的延长线于点， 交的延长线于点 . （1）求证： ； （2）若，， 求 的长. 11 （1）求证： ； 证明：连接 ，如图①. 平分， . ， . . 是的切线， 是切点， . 图J8-5 12 （2）若，，求 的长. 解：从垂径定理的角度考虑： 如图②，连接，作于点 ， 则 ， , 四边形是矩形. . ，，， . 在中， . （还可按如图③构图，请同学们自己写一写解答过程） 13 图J8-6 变式探究4 探究基本图形的“A形”相似 [2023黄石T24节选] 如图J8-6，为 的直径，和相交于点， 平分，点在 上，且，交于点,连接 . （1）求证：是 的切线； （2）求证： . 14 （1）求证：是 的切线； 证明：如图，连接 . ， . 平分， . . ， . 又是的半径， 是 的切线. 图J8-6 15 （2）求证： . 证明平分， . ， . 又， . . . 图J8-6 16 图J8-7 变式探究5 探究基本图形中的“ 形”相似 [2024凉山州] 如图J8-7，是 的直径，点在上，平分 交于点 ，过点的直线，交的延长线于点 ，交的 延长线于点 . （1）求证：是 的切线； （2）连接并延长，分别交 于， 两点，交于点. 若 的半径为2， ， 求 的值. 17 （1）求证：是 的切线； 证明：连接 ，如图. 平分， . ， . . ， . 又是的半径， 是 的切线. 图J8-7 18 （2）连接并延长，分别交于，两点，交于点.若 的 半径为2， ，求 的值. 解：连接， ，如图. 在中，， ， ， . . 图J8-7 19 在中， ， . ， ， . 由（1）知， . . ， . .， . ， ， . . . $$