第六单元 圆-第24课时 圆的有关概念和性质课件2025年中考数学一轮复习（安徽专版）

第六单元 圆 第24课时 圆的有关概念和性质 教材知识整合 高频考向探究 1 知识梳理 一、圆的有关概念和性质 1.圆的有关概念 圆的 定义 定义1 在一个平面内，线段绕它固定的一个端点 旋转一 周，另一个端点 所形成的图形叫做圆.其固定的端点 叫做圆心，线段 叫做半径 定义2 圆心为、半径为的圆可以看成是所有到定点 的距 离等于定长 的点的集合 弦 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 直径 经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦 教材知识整合 返回目录 2 弧 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧， 简称弧 _________________________________ 半圆 圆的任意一条直径的两个端点把圆 分成两条弧，每一条弧都叫做半圆 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的 弧 劣弧 小于半圆的弧，如， 优弧 大于半圆的弧，如， 续表 教材知识整合 返回目录 3 与圆有 关的角 圆心角 顶点在圆心的角 _________________________________ 圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交 的角 续表 教材知识整合 返回目录 4 2. 圆的有关性质 轴对称性 圆是①____对称图形，任何一条直径所在的直线都 是圆的对称轴 中心对称性 圆是②______对称图形，圆心就是它的对称中心 旋转不变性 把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原 图形重合 轴 中心 教材知识整合 返回目录 5 二、垂径定理及其推论 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条③____ 推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两 条④____ 【常用结论】（1）根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中， 可知二推三： ；；； ； 是直径. （2）常作辅助线：过圆心作弦的垂线， 构造直角三角形，得 弧 弧 教材知识整合 返回目录 6 三、弧、弦、圆心角之间的关系 定理 （1）在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的 ⑤____相等,所对的⑥____也相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么 它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （3）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么 它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别 相等. 数学语言：如图, , _____________________________________ 弧 弦 教材知识整合 返回目录 7 四、圆周角定理及其推论 圆周角 定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑦______. 如图①②， 推论 同弧或等弧所对的圆周角⑧______. 图③中,,,图④中, 半圆（或直径）所对的圆周角是⑨______， 的圆周角所 对的弦是直径.如图⑤，直径 图示 一半 相等 直角 教材知识整合 返回目录 8 五、圆内接四边形的性质 1. 圆内接四边形的对角⑩______. 如图24-4， . 互补 图24-4 2.圆内接四边形的外角等于它的内对角. 如图24-4， . 教材知识整合 返回目录 9 对点自测 1. 下列说法正确的是________.（填序号） ①弦是圆上任意两点之间的部分； ②直径是圆中最长的弦； ③两个端点能够重合的弧是等弧； ④面积相等的两个圆是等圆； ⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆； ⑥圆是轴对称图形，对称轴是任意一条直径. ②④⑤ 教材知识整合 返回目录 10 图24-1 2. （九上P89习题24.1T8改编） 如图24-1是一个隧道的横截面，它的 形状是以点 为圆心的圆的一部分.若是中弦的中点，经过 圆心交 于点，并且，，则 的半径为 ___ . 教材知识整合 返回目录 11 [解析] 连接.由是中弦 的中点，根据垂径定理的推论，得 . 又,则有 . 设的半径是，则 . 在中，有 ， 即，解得 . 教材知识整合 返回目录 12 图24-2 3. （九上P85练习T2改编） 如图24-2，是 的直径， ， ，则 的度数为____. [解析] 由， 知， ， . ， . 教材知识整合 返回目录 13 4. （九上P89习题24.1T5改编） 如图24-3，中， ， ，则____ . 25 图24-3 教材知识整合 返回目录 14 5. （九上P88练习T5改编） 如图24-5，四边形内接于， 为 延长线上一点.若 ，则 的度数为______. 图24-5 教材知识整合 返回目录 15 考向一 垂径定理及其推论 图24-6 例1（1） 如图24-6，在中,弦的长为 ,圆心到的距离为 ,则 的半径为______； （2）已知是的直径, 弦,垂足为，若， , 则线段 ______； （3）已知的半径等于1,弦和 半径互相平分,则 _____， ____. 2或8 高频考向探究 返回目录 16 通性通法 在有关弦长、弦心距和半径的计算中，常作垂直于弦的直径（或半径）， 构造直角三角形求解. 高频考向探究 返回目录 17 考向精练 图24-7 1. [2024凉山州] 数学活动课上，同学们要测 一个如图24-7所示的残缺圆形工件的半径， 小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，，连接 ，作的垂直平分线交 于点，交于点 ，测出， ， 则圆形工件的半径为( ) C A. B. C. D. 高频考向探究 返回目录 18 2. [2023永州] 如图24-8，是一个盛有水的容器的横截面， 的 半径为，水的最深处到水面的距离为，则水面 的宽度 为____ . 16 图24-8 高频考向探究 返回目录 19 考向二 圆周角定理及其推论 图24-9 例2 一题多变 [2024湖南] 如图24-9，， 为的两条弦，连接 ，.若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 高频考向探究 返回目录 20 图24-10 变式 [2024重庆B卷] 如图24-10，是 的弦，交于 点，是上一点，连接 ，.若 ，则 的度数 为( ) B A. B. C. D. [解析] ， . ， . ， . 高频考向探究 返回目录 21 图24-11 例3 [2023自贡] 如图24-11， 内接于，是的直径， 连接 .若 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. [解析] 是的直径， . ， . 高频考向探究 返回目录 22 考向三 圆内接四边形的性质 例4 一题多变 [2023绍兴] 如图24-12，四边形内接于 ，若 ，则 的度数是____. 图24-12 高频考向探究 返回目录 23 变式1 [2023襄阳] 如图24-13，四边形内接于，点在 的 延长线上.若 ，则_____ . 140 图24-13 高频考向探究 返回目录 24 变式2 [2024滨州] 如图24-14，四边形内接于 ，若四边形 是菱形，则____ . 60 图24-14 高频考向探究 返回目录 25 $$