第六单元 圆-第25课时 点与圆、直线与圆的位置关系课件2025年中考数学一轮复习（安徽专版）

第六单元 圆 第25课时 点与圆、直线与圆的位置关系 教材知识整合 高频考向探究 1 知识梳理 一、点与圆、直线与圆的位置关系 1. 点与圆的位置关系 位置关系 数量关系 图示 点在圆外 ①___ ______________________________________________ 的半径是,点到圆心的距离是 点在圆上 ②___ 点在圆内 ③___ 教材知识整合 返回目录 2 2. 直线与圆的位置关系 位置关系 数量关系 交点个数 图示 相离 ④___ 0 ____________________________________________________________ 的半径是 ，圆心 到直线的距离是 相切 ⑤___ 1 相交 ⑥___ 2 教材知识整合 返回目录 3 二、切线的性质与判定 性质 定理 圆的切线⑦________过切点的半径 判定 （1）直线和圆只有一个公共点,这条直线叫做圆的切线； （定义法） （2）经过半径的外端并且⑧________这条半径的直线是圆的 切线；（判定定理） （3）圆心到一条直线的距离等于圆的⑨______的直线 垂直于 垂直于 半径 教材知识整合 返回目录 4 三、切线长与切线长定理 定义 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线 段的长,叫做这点到圆的切线长 _____________________________________ 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ⑩______,这一点和圆心的连线平分两条切线的 夹角. 如图,, , 由此还可得 相等 教材知识整合 返回目录 5 四、三角形的外接圆与内切圆 类别 外接圆 内切圆 图示 _______________________________________ ______________________________________________________________ 定义 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形各边都相切的圆 圆心 三角形三条边的⑪________ _____的交点即外接圆的圆 心，叫做三角形的外心 三角形三条⑫__________的交点 即内切圆的圆心，叫做三角形的 内心 垂直平分线 角平分线 教材知识整合 返回目录 6 类别 外接圆 内切圆 性质 三角形的外心到三角形三个 顶点的距离相等 三角形的内心到三角形三条边的 距离相等 画法 作三角形任意两边的垂直平 分线，其交点即为圆心 ,以 圆心 到任一顶点的距离为 半径作 即可 作三角形任意两角的平分线,其 交点即为圆心,过点 作任一边 的垂线,以垂线段长为半径，作 即可 续表 教材知识整合 返回目录 7 对点自测 1. （九上P101习题24.2T1改编） 的半径为,如果点到圆心 的距离分别为（1）；（2）；（3），那么点和 的位置关系分别是_____________、_____________、_____________. 点在内 点在上 点在外 2. （九上P96练习改编） 圆的直径是 ,如果圆心与直线的距离分 别是：（1）；（2）；（3） .那么直线和圆的位置关 系分别是______、______、______. 相交 相切 相离 教材知识整合 返回目录 8 图25-1 3. （九上P122复习题） 如图25-1， ，分别与相切于 ，两点， ，则 等于( ) B A. B. C. D. 教材知识整合 返回目录 9 4. （九上P102习题24.2T11改编） 如图25-2，,,分别与 相 切于,,三点，且,,,则____ . 10 图25-2 教材知识整合 返回目录 10 [解析] ，，分别与相切于，， 三点， ， . ， ， ， . 在 中，由勾股定理，得 . 教材知识整合 返回目录 11 5. （九上P100练习T1改编） 如图25-3，中， ， ，点是的内心，则 的度数为_______. 图25-3 教材知识整合 返回目录 12 考向一 点、直线与圆的位置关系 例1 一题多变 如图25-4，在矩形中，， . 图25-4 （1）若以点为圆心，8为半径作 ， 则下列各点在 外的是( ) A.点 B.点 C.点 D.点 C （2）以点为圆心，为半径作,若，， 三 个点中有两个点在圆内，则 的取值范围是___________. （3）在（1）的条件下，点到 的最长距离是____，最短距离为___. （4）探究：若平面内一点到 的最长距离是8，最短距离是4，则 的半径为______. 18 2 2或6 高频考向探究 返回目录 13 图25-4 变式 如图25-4，在矩形中，， .若以点为圆心， 6为半径作 . （1）与 只有一个交点的直线是( ) A.直线 B.直线 C.直线 D.直线 B （2）过点可以画 的____条切线. （3）直线和 的位置关系是______. 两 相离 高频考向探究 返回目录 14 考向二 切线的性质 例2（1） [2022衢州] 如图25-5，切于点，的延长线交 于点，连接.若 ，则 的度数为____. 图25-5 高频考向探究 返回目录 15 （2）[2023河南] 如图25-6，与相切于点，交于点 ， 点在上，且.若，，则 的长为___. 图25-6 高频考向探究 返回目录 16 [解析] 连接 ，如图.与相切于点， . ，， ， . . 在中，， ， . 的面积的面积 的面积， . . . 高频考向探究 返回目录 17 图25-7 例3 [2023绍兴] 如图25-7，是 的直径，是上一点，过点 作的切线 ，交的延长线于点，过点作 ，交 的延长线于点 ． （1）若 ，求 的度数； （2）若，，求 的长. 高频考向探究 返回目录 18 （1）若 ，求 的度数； 解：， . . （2）若，，求 的长. 解：是的切线， . . ，，， . . ， . .. . 图25-7 高频考向探究 返回目录 19 考向精练 图25-8 1. [2023广元] 如图25-8，为 的直径，为上一点，连接， ，过点作的切线交 的延长线于点，于点，交 于点 . （1）求证： ； （2）若，， 求 的长. 高频考向探究 返回目录 20 （1）求证： ； 证明：连接 ，如图. 是的切线，点在 上， . . ， . . ， . 图25-8 高频考向探究 返回目录 21 （2）若，，求 的长. 解：过点作于点 ，如图. 为的直径，， ， . ， . ， . ， . . . ，， . . . . 高频考向探究 返回目录 22 考向三 微专题 切线的判定 角度1 直线与圆公共点已知，连半径，证垂直 图25-9 例4 （等角代换）[2023攀枝花] 如图25-9，为的直径，如果圆 上的点 恰使，求证：直线与 相切. 高频考向探究 返回目录 23 证明：如图，连接 . ， . 为的直径， . . 又， ，即 . . 又是的半径， 直线与 相切. 高频考向探究 返回目录 24 图25-10 例5 （平行证垂直）如图25-10， 中，，为上一点， 以为直径的 与相切于点，交于点，，垂足为 . （1）求证：是 的切线； （2）若，， 求 的长. 高频考向探究 返回目录 25 （1）求证：是 的切线； 证明：如图，连接 . ， ， . . 又 ， . 又是的半径， 是 的切线. 图25-10 高频考向探究 返回目录 26 （2）若，，求 的长. 解：如图，连接，过点作于点 . ，， ， . 与相切于点， . 又， ， 四边形 是矩形. . . ， . ， . .. . 高频考向探究 返回目录 27 角度2 直线与圆公共点未知，作垂直，证半径 例6 [2024武汉] 如图25-11，为等腰三角形，是底边 的中点， 腰与半圆相切于点，底边与半圆交于， 两点. 图25-11 （1）求证：与半圆 相切； （2）连接.若，，求 的值. 高频考向探究 返回目录 28 （1）求证：与半圆 相切； 证明：连接，，过点作 于 点 ，如图. 为等腰三角形，是底边 的中点， 平分 . 与半圆相切于点， . 又， ， 与半圆 相切. 图25-11 高频考向探究 返回目录 29 （2）连接.若，，求 的值. 解：由（1）知 . ，， . 在中， 由勾股定理，得 ，即 ， ，， . 为等腰三角形，是底边的中点， . 在中，， . 图25-11 高频考向探究 返回目录 30 通性通法 证明直线与圆相切的方法有： （1）图中有<m></m> 角时，可以①利用等角代换;②利用平行线性质;③利 用三角形相似;④利用三角形全等求证. （2）图中无<m></m> 角时，可以利用等腰三角形性质，根据等腰三角形“三 线合一”的性质求证. 高频考向探究 返回目录 31 考向精练 图25-12 2. [2023甘肃] 如图25-12， 内接于，是的直径，是 上的一点，平分，，垂足为 ，与相交于 点 . （1）求证：是 的切线； （2）当的半径为5，时， 求 的长. 高频考向探究 返回目录 32 （1）求证：是 的切线； 证明：平分 ， . ， . ， . ， . . . 又是的半径，是 的切线. 图25-12 高频考向探究 返回目录 33 （2）当的半径为5，时，求 的长. 解：是的直径， 的半径为5， ， . ， . ， ， . . . . 图25-12 高频考向探究 返回目录 34 考向四 三角形的内切圆 例7 [2023攀枝花] 已知的周长为，其内切圆的面积为 ，则 的面积为( ) A A. B. C. D. 高频考向探究 返回目录 35 [解析] 如图，设内切圆与 的三边分 别相切于点D，，，连接，， ， ， . 与相切于点， ， .同理可得 ， ， ， . 高频考向探究 返回目录 36 图25-13 变式 一题多解 [2024滨州] 刘徽（今山东滨州人）是 魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠 基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释 《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是 勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直 径的多种表达形式.如图25-13， 中， D A. B. C. D. ，，，的长分别为，，，则可以用含， 的 式子表示出的内切圆直径 ，下列表达式错误的是( ) 高频考向探究 返回目录 37 [解析] 方法1 本题作为选择题，用特殊值法则可快速定位答案. 为直角三角形， 不妨令，， . 选项A： . 选项B： . 选项C： . 选项D： . 很明显，只有D选项跟其他选项不一致， 表达式错误的应是D选项.故 选D. 高频考向探究 返回目录 38 方法2 如图，设与 三边的切点分别为 D，，，连接，，，，， ，则 ，， . 易证四边形是正方形，设 ， 则 ， ， . ， . . .故选项A正确. 高频考向探究 返回目录 39 ， . . .故选项B正确. ， . ， . .故选项C正确. 由排除法可知选项D错误. 故选D. 高频考向探究 返回目录 $$