第五单元 四边形-回归教材探中考（五） 正方形中的“十字”结构课件2025年九年级中考数学一轮复习（安徽专版）

回归教材探中考（五） 正方形中的“十字”结构 1 图J5-1 ［教材母题］ 八下P68复习题18第8题 如图J5-1，是一个正方形花园，， 是它的两个门，且， 要修建两条路和 ，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 2 解：这两条路等长且互相垂直. 理由：设与的交点为 . 四边形 是正方形， ， . ，，即 . .， . ， . . . 3 图J5-2 变式探究1 探究“十字”结构下的其他结论 如图J5-2，已知,分别是正方形的边 与的中点，与 交于点 ，则下列结论成立的是( ) C A. B. C. D. 4 [解析] ，分别是正方形的边与的中点， . 在和中， . 又 ， . 即 ，故选项C正确，选项A,B,D无法证明其成立. 5 图J5-3 变式探究2 联想直角三角形斜边上的中线 如图J5-3，已知正方形的边长为5，点， 分别在，上， ，与相交于点 ，为的中点，连接，则 的长为_ ___. [解析] 可证 . 为的中点， . ， ， . . 6 图J5-4 变式探究3 联想隐圆最值 如图J5-4，正方形的边长为2，点， 分别是边， 上的动点 （不与端点重合），且，连接，交于点.连接 ，则线段 的最小值为_______. 7 [解析] 确定点 的轨迹是关键. 如图，取的中点.可证 . 在中， ， 点在以点为圆心， 为半径的圆弧上运 动.连接交于点， 则此时 的长有最小值， 最小值为 . 8 思考 当<m></m>取最小值时，图中有哪些等腰三角形？你能求出<m></m>的长吗？ 9 图J5-5 变式探究4 如图J5-5，正方形 的边长为2，，分别是边， 的中点，连接， 交于点，连接交于点 . （1）求 的长； （2） ________. 10 （1）求 的长； 解：由母题解答可知，， . 方法1（全等勾股），分别是边， 的中点， . 由对称性可知， . 在和中， , . 图J5-5 11 在中，，， , ，， . 设,则 ， . 在中,，即 ，解得 ，即 . 方法2（勾股相似）提示：如图①，过点 作于点. 易证 ，，求出即可求出， 在 中用勾股定理即可.同学们可自己尝试一下. 13 （2） ___. 2 图J5-5 [解析] 如图②,连接 . 由（1）得 ， 点在的中垂线上，即点在对角线 上. ， . . 14 通性通法 1.如图J5-6，在正方形内部出现相互垂直的线段<m></m>时，这两条 线段相等<m></m>（你能证明吗？反之还成立吗？） 图J5-6 图J5-7 2.如图J5-7，在正方形内部出现相互垂直的线段 时，通常会 出现四点 共圆. 15 $$