第五单元 四边形-第23课时 正方形与四边形的综合问题.课件2025年九年级中考数学一轮复习（安徽专版）

第五单元 四边形 第23课时 正方形与四边形的综合问题 教材知识整合 高频考向探究 1 知识梳理 一、正方形的性质和判定 名称 正方形 图形 ___________________________________________________________________________________________ 概念 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 教材知识整合 返回目录 2 性质 边 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是①______ 对角线 对角线②____________________，每一条对角线平分一 组对角 对称性 既是中心对称图形，也是轴对称图形 判定 ③__________________________________的矩形是正方 形 ④________________________________的菱形是正方形 面积 直角 相等且互相垂直平分 一组邻边相等（或对角线互相垂直） 有一个角是直角（或对角线相等） 续表 教材知识整合 返回目录 3 二、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 两 两 互相平分 三 一 相等 相等 相等 互相垂直 一 相等 教材知识整合 返回目录 4 对点自测 图23-1 1. （八下P62习题 ） 如图23-1，四边形是正方形，是 上的任意一点， 于点，，且交于点 . 求证： . 教材知识整合 返回目录 5 证明： 四边形 是正方形， ， ， . ， ， , . ， ， , ， . ， . 教材知识整合 返回目录 6 图23-2 2. （八下P67复习题 ） 如图23-2，矩形的对角线， 相交于点 ，且，.求证：四边形 是菱形. 证明：， ， 四边形 是平行四边形. 四边形 是矩形， ， 四边形 是菱形. 教材知识整合 返回目录 7 考向一 正方形的性质与判定 图23-3 例1 一题多变 如图23-3，在正方形中， 为边上一点，与交于点，连接 .若 ，则____ . 40 [解析] 四边形 是正方形， . 由对称性得 . ， ， ， . 高频考向探究 返回目录 8 变式1 如图23-4，在正方形中，点在对角线上， 于 点，于点，连接.若，，则 ______. 图23-4 高频考向探究 返回目录 9 [解析] 连接 四边形是正方形， 由对称性得 . ， ， . ， ， ，四边形 是矩形， . ， . ，， . ， . 高频考向探究 返回目录 10 图23-5 变式2 如图23-5，正方形 的边长是2，对角线，相交于点， 点，分别在边， 上，且，连接 . （1）___，___，___ ； （填“ ”“”或“ ”） （2），， 之间的数量关系 是_________________； （3）___， ____； （4）的最小值为_ _， 的最大值为__； （5） 的取值范围为_____________. 高频考向探究 返回目录 11 图23-5 （1）___，___，___ ；（填“ ”“”或“ ”） [解析] 利用正方形的性质可证 得结论. 高频考向探究 返回目录 12 （2），， 之间的数量关系是_________________； [解析] 在中，由勾股定理得 ， 然后利用等量代换即可得结论. （3）___， ____； 1 [解析] . 由（1）知 ， 为等腰直角三角形， . 图23-5 高频考向探究 返回目录 13 （4）的最小值为_ _， 的最大值为__； [解析] .当时，最小，为1， 的最小值为 . ， 当取得最小值时，有 最大值，为 . （5） 的取值范围为_____________. [解析] ，， . 图23-5 高频考向探究 返回目录 14 图23-6 例2 [2022邵阳] 如图23-6，在菱形 中， 对角线，相交于点，点，在对角线 上，且， . 求证：四边形 是正方形. 证明： 四边形 是菱形， ，， . ， . 四边形 是菱形. ，，即 . 四边形 是正方形. 高频考向探究 返回目录 15 通性通法 发现矩形,证菱形特征 发现菱形,证矩形特征 正方形的判定 高频考向探究 返回目录 16 考向二 中点四边形 例3 如图23-7，在任意四边形ABCD中， 图23-7 ，，，分别是，，，的 中点.连接 ，，，，， .有以下结论： ①当 时，四边形 为正方形； ②当时，四边形 为菱形； ③当时，四边形 为矩形； ④四边形 一定为平行四边形. 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 高频考向探究 返回目录 17 [解析] ，，，分别是，，，的中点， ， ，，，， ， ， 四边 一定为平行四边形，故④正确； 当 时，四边形 不一定为正方形，故①错误； 当时，， 四边形 为菱形，故②正确； 当时， ， 四边形 为矩形，故③正确. 故正确的结论有3个.故选C. 高频考向探究 返回目录 18 通性通法 中点四边形的形状由原四边形对角线关系决定： 图形 四边形与四边形 的对应关系 _________________________________________ ,,, 分别是各 边的中点 任意四边形 平行四边形 对角线相等： 菱形 对角线垂直： 矩形 对角线垂直且相等： 且 正方形 高频考向探究 返回目录 19 考向精练 1. [2023呼伦贝尔、兴安盟T9改编] 如图23-8，在菱形 中， ， ，顺次连接菱形各边中点，，， ，则 四边形的形状是______，四边形 的周长为_________. 矩形 图23-8 高频考向探究 返回目录 20 [解析] 连接，交于点 ，如图. 四边形是菱形， . ，，，分别为，，， 边的中点， ，，， , , , 四边形 是平行四边形. 高频考向探究 返回目录 21 ，， 四边形 是矩形. ， . ，是等边三角形， . ， ， ， . ， ， 四边形的周长为 . 高频考向探究 返回目录 2. [2024山西] 在四边形中，，，，分别是边， ， ，的中点，，交于点.若四边形 的对角线相等，则线 段与 一定满足的关系为( ) A A.互相垂直平分 B.互相平分且相等 C.互相垂直且相等 D.互相垂直平分且相等 高频考向探究 返回目录 23 考向三 四边形的综合问题 例4 [2023菏泽] （1）如图23-9，在矩形中，点， 分别在边， 上，，垂足为. 求证： . 图23-9 【问题解决】 （2）如图23-10，在正方形中，点， 分别在边， 上，，延长到点， 使，连接 .求证： . 图23-10 高频考向探究 返回目录 24 【类比迁移】 （3）如图23-11，在菱形中，点，分别在边， 上， ，， ，求 的长. 图23-11 高频考向探究 返回目录 25 图23-9 （1）如图23-9，在矩形中，点，分别在边，上，， 垂足为 .求证： . 证明： 四边形 是矩形， . . ， . . . . 高频考向探究 返回目录 26 【问题解决】 （2）如图23-10，在正方形中，点，分别在边， 上， ，延长到点，使，连接 . 求证： . 图23-10 高频考向探究 返回目录 27 证明： 四边形 是正方形， ，， . . ， . 点在 的延长线上， . 又， . . ， . 高频考向探究 返回目录 28 【类比迁移】 （3）如图23-11，在菱形中，点，分别在边， 上， ，， ，求 的长. 图23-11 高频考向探究 返回目录 29 解： 如图，延长至点，使，连接 . 四边形是菱形，， . . ， . ， 是等边三角形. . ， ，即 的长为3. 高频考向探究 返回目录 30 $$