第五单元 四边形-第22课时 矩形、菱形　课件2025年九年级中考数学一轮复习（安徽专版）

第五单元 四边形 第22课时 矩形、菱形 教材知识整合 高频考向探究 1 知识梳理 矩形、菱形的性质与判定 名称 矩形 菱形 图形 __________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________ 概念 有一个角是直角的平行四 边形叫做矩形 有一组邻边相等的平行四边 形叫做菱形 教材知识整合 返回目录 2 性质 边 对边平行且相等 对边平行，四条边都相等 角 四个角都是①______ 对角②______ 对角线 对角线互相平分且 ③______ 对角线互相④__________， 并且每一条对角线平分一组 对角 对称性 既是轴对称图形，也是中心对称图形 直角 相等 相等 垂直平分 续表 教材知识整合 返回目录 3 判定 有⑤____个角是直角的平 行四边形是矩形 有一组邻边相等的平行四边 形是菱形 有⑥____个角是直角的四 边形是矩形 四条边⑦______的四边形是 菱形 对角线⑧______的平行四 边形是矩形 对角线⑨__________的平行 四边形是菱形 面积 一 三 相等 相等 互相垂直 续表 教材知识整合 返回目录 4 对点自测 1. （八下P53例1改编） 如图22-1，矩形的对角线, 相交于 点， ，，则 ____. 8 图22-1 教材知识整合 返回目录 5 图22-2 2. （八下P60习题18.2T5改编） 如图22-2，四边形是菱形， ， . 则 （1）____， ______； （2）___， ______； 6 （3）菱形 的面积为_______. 教材知识整合 返回目录 6 考向一 矩形的性质与判定 图22-3 例1 一题多变 [2024成都] 如图22-3，在矩形 中，对角线与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是( ) C A. B. C. D. 高频考向探究 返回目录 7 变式 如图22-4，矩形的对角线与相交于点 . 图22-4 （1）若 ,，则 ___； （2）若,,则____， ___； （3）若是等边三角形,, 则矩形 的面积是_______. （4）过点作的垂线，垂足为.若，则 的度 数是____； （5）过点作的垂线，垂足为.若，,则 ___. 高频考向探究 返回目录 8 图22-4 （1）若 ,，则 ___； 4 [解析] 四边形为矩形， , . （2）若,,则____， ___； 10 8 高频考向探究 返回目录 9 （3）若是等边三角形,,则矩形 的面积是_______. [解析] 是等边三角形，, . . 矩形的面积 . （4）过点作的垂线，垂足为.若，则 的度 数是____； 图22-4 高频考向探究 返回目录 10 （5）过点作的垂线，垂足为.若，,则 ___. 3 [解析] , . 又， 是等边三角形. . . . 图22-4 高频考向探究 返回目录 11 通性通法 矩形的一条对角线将矩形分成两个直角三角形；矩形的两条对角线将 矩形分成四个等腰三角形，如果加上特殊角，会出现等边三角形. 高频考向探究 返回目录 12 图22-5 例2 [2023内江T18改编] 如图22-5，在中， 是的中点，是 的中点，过点作交 的延长线于点，连接.若 ， 求证：四边形 是矩形. 证明：，， . 为的中点， . . 为的中点， . 又， 四边形 是平行四边形. ，为的中点， . . 四边形 是矩形. 高频考向探究 返回目录 13 图22-6 变式 [2023乐山T20改编] 如图22-6所示，在 中， ， 为边上任意一点（不与点, 重合），过点作，， 分别交，于点， ，连接 . （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，， 求点到 的距离. 高频考向探究 返回目录 14 （1）求证：四边形 是矩形； 证明：， ， 四边形 为平行四边形. 又 ， 四边形 为矩形. （2）若，，求点到 的距离. 解：过点作于点 . 在中，， ， . ， . 点到的距离为 . 图22-6 高频考向探究 返回目录 15 通性通法 矩形特征<m></m> 矩形的判定<m></m> 高频考向探究 返回目录 16 考向精练 1. 如图22-7所示，线段为等腰三角形的底边，矩形 的对角 线与交于点.若,则 ___. 4 图22-7 高频考向探究 返回目录 17 图22-8 2. [2022徐州] 如图22-8，将矩形纸片 沿折叠，使点落在边 上的点处.若点 在边上，,，则 __. [解析] 由翻折变换的性质可知， , .在 中， 由勾股定理，得则. 在 中，由勾股定理，得，即， 解得 ，即 . 高频考向探究 返回目录 18 3. [2023北京] 如图22-9，在中，点，分别在， 上， ， . 图22-9 （1）求证：四边形 是矩形； （2）若，，，求 的长. 高频考向探究 返回目录 19 （1）求证：四边形 是矩形； 证明： 四边形 是平行四边形， ， . ， . 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形. 图22-9 高频考向探究 返回目录 20 （2）若，，，求 的长. 解：由（1）知四边形是矩形， . ， ， . ， . . . 图22-9 高频考向探究 返回目录 21 考向二 菱形的性质与判定 例3 如图22-10，菱形的对角线与相交于点 . 图22-10 （1）若 ，则 的度数为________. （2）若， ，则 ________. （3）为边的中点，连接.若 ， ，则 ________. （4）过点作于点，连接 . ①若，，则________， ________； ②若，菱形的面积为，则 _______. 3 8 高频考向探究 返回目录 22 通性通法 菱形的一条对角线将菱形分成两个等腰三角形；菱形的两条对角线将 菱形分成四个全等的直角三角形. 高频考向探究 返回目录 23 图22-11 例4 【开放性试题】 [2022青岛] 如图22-11， 在四边形中，，点， 在对角线 上，， . （1）求证： ； （2）连接， ，已知____（从以下两个条 件中选择一个作为已知，填写序号），请判断 四边形 的形状，并证明你的结论. 条件①： ；条件②： . 高频考向探究 返回目录 24 （1）求证： ； 证明： ， . ， . 在和中， . 图22-11 高频考向探究 返回目录 25 （2）连接， ，已知____（从以下两个条件中选择一个作为已知， 填写序号），请判断四边形 的形状，并证明你的结论. 条件①： ；条件②： . 图22-11 高频考向探究 返回目录 26 解：若选择条件①：四边形 是菱形. 证明：由（1）得 ， ， . 四边形 是平行四边形. ， ， . ， ， . 是菱形. 高频考向探究 返回目录 27 若选择条件②：四边形 是菱形. 证明：连接交于点 ， 由（1）得， ， . 四边形是平行四边形. . ，，即 . 是菱形. 高频考向探究 返回目录 通性通法 菱形特征<m></m> 菱形的判定<m></m> 高频考向探究 返回目录 29 考向精练 图22-12 4. 如图22-12，已知某菱形花坛 的周长是， ，则： （1）____，____， ____， ____; （2）___，___，______ ; （3）菱形花坛的面积是_______ . 高频考向探究 返回目录 30 图22-12 （1）____，____， ____， ____; [解析] 四边形是菱形，， . , . . 高频考向探究 返回目录 31 （2）___，___，______ ; 6 6 [解析] 菱形的四条边相等， . 易知为等边三角形， . . （3）菱形花坛的面积是_______ . [解析] 菱形花坛的面积是 图22-12 高频考向探究 返回目录 32 5. 如图22-13，在菱形中，,交于点 . 图22-13 （1）若 ，则 ________; （2）一题多解 若，，过点 作，交的延长线 于点，求线段 的长. 高频考向探究 返回目录 33 （2）一题多解 若，，过点作，交 的延长 线于点，求线段 的长. 图22-13 解：方法1 （面积法） 在菱形中，， ， ，（易求） . ， ，解得 . 高频考向探究 返回目录 34 方法2 （相似）在菱形中， ， .易求， . ， . . ， . . . 高频考向探究 返回目录 35 方法3 （三角函数）在菱形中， ， .（易求） . ， ， 在中， . 在中， . . 高频考向探究 返回目录 36 方法4 （勾股定理）在菱形中，， ， ， （易求） . 设，则在和 中， ,解得 . . . 高频考向探究 返回目录 37 考向三 矩形与菱形的综合问题 例5 [2023怀化T19改编] 如图22-14，在矩形中，过对角线 的 中点作的垂线，分别交，于点，,连接， . 图22-14 求证：四边形 是菱形. 高频考向探究 返回目录 38 证明： 四边形 是矩形， . 是的中点， . 又 ， . . 又 ， 四边形 是平行四边形. 又， 四边形 是菱形. 高频考向探究 返回目录 39 考向精练 图22-15 6. 如图22-15，在菱形 中，对角线，相交于点，是 的 中点，连接并延长至点，使，连接 ， . （1）求证：四边形 是矩形； （2）若， ，求菱形 的面积. 高频考向探究 返回目录 40 （1）求证：四边形 是矩形； 证明：是的中点， . ， 四边形 是平行四边形. 四边形是菱形， ， ， 四边形 是矩形. 图22-15 高频考向探究 返回目录 41 （2）若， ，求菱形 的面积. 解：由（1）可知，四边形 是矩形， . 四边形 是菱形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， . 图22-15 高频考向探究 返回目录 42 $$