2025年中考数学专题复习课件：第23课时　特殊平行四边形（江苏地区）

第四章　图形的认识 第23课时　特殊平行四边形 图形与几何 01 课前热身 02 知识整理 03 课堂互动 目 录 1. （2023·湘潭）如图，在菱形ABCD中，连接AC、BD. 若∠1＝20°，则∠2的度数为（　C　） A. 20° B. 60° C. 70° D. 80° 第1题 C 返回目录 2. （2024·甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（　C　） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 第2题 C 返回目录 3. 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F. 若AB＝3，BC＝4，则涂色部分的面积为 　6　. 第3题 6 返回目录 4. 如图，小明将边长为5cm的正方形塑料模板ABCD与一把足够大的三角尺AGH叠放在一起，其中三角尺的直角顶点落在点A处，两条直角边分别与CD和CB的延长线交于点F和点E，则四边形AECF的面积是 　25　cm2. 第4题 25 返回目录 5. （2023·镇江丹徒模拟）如图，在▱ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE＝CG，BF＝DH，连接EG、FH、EF、FG、GH、HE. 第5题 （1） 求证：△AEH≌△CGF； ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A＝∠C， AD＝BC. ∵ BF＝DH，∴ AD－DH＝BC－BF， 即AH＝CF. 在△AEH和△CGF中， ∴ △AEH≌△CGF 返回目录 （2） 若EG＝FH，∠AHE＝35°，求∠DHG的度数. 由（1），知△AEH≌△CGF. ∴ HE＝FG. 同理（1），可得△DHG≌△BFE. ∴ GH＝EF. ∴ 四边形EFGH是平行四边形.∵ EG＝FH，∴ 四边形EFGH是矩形.∴ ∠EHG＝90°.∵ ∠AHE＝35°，∴ ∠DHG＝180°－∠EHG－∠AHE＝55° 第5题 返回目录 1. 矩形的定义、性质和判定 （1） 定义：有一个角是 　 直角　的平行四边形叫做矩形. （2） 性质：矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有以下性质：矩形的四个角都是 　 直角　，对角线 　相等　. （3） 判定：① 有一个角是 　直角　的平行四边形是矩形；② 有三个角是 　直角　的四边形是矩形；③ 对角线 　相等　的平行四边形是矩形. 直角 直角 相 等 直角 直角 相等 返回目录 2. 菱形的定义、性质和判定 （1） 定义：有一组邻边 　 相等　的平行四边形叫做菱形. （2） 性质：菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的一切性质外，还具有以下性质：菱形的四条边 　 相等　，对角线 　互相垂直　，每一条对角线 　平分一组对角　. （3） 判定：① 有一组邻边 　相等　的平行四边形是菱形；② 四边 　相等　的四边形是菱形；③ 对角线 　互相垂直　的平行四边形是菱形. 相等 相等 互相垂 直 平分一组对角 相等 相等 互相垂直 返回目录 3. 正方形的定义、性质和判定 （1） 定义：有一组邻边 　 相等　并且有一个角是 　直角　的平行四边形叫做正方形. （2） 性质：具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，如四个角都是 　 直角　，四条边都 　相等　，对角线相等且互相 　垂直平分　，每一条对角线 　平分一组对角　. （3） 判定：① 有一组邻边 　相等　且有一个角是 　直角　的平行四边形是正方形；② 有一个角是 　直角　的菱形是正方形；③ 有一组邻边 　相等　的矩形是正方形. 相等 直角 直角 相等 垂直平分 平分一组对角 相等 直角 直角 相等 返回目录 一 矩形的性质与判定 例1 （2024·无锡）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE、DE. 求证： 例1图 （1） △ABE≌△DCE； ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AB＝DC，∠B＝∠C＝90°. ∵ E是BC的中点，∴ BE＝CE. 在△ABE和△DCE中， ∴ △ABE≌△DCE （2） ∠EAD＝∠EDA. ∵ △ABE≌△DCE，∴ AE＝DE. ∴ ∠EAD＝∠EDA 返回目录 例2 （2023·大庆）如图，在▱ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC、AE，分别延长AE、BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°. 　例2图 （1） 求证：四边形ACFD是矩形； ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE. ∵ E为线段CD的中点，∴ DE＝CE. ∴ △ADE≌△FCE. ∴ AE＝FE. ∴ 四边形ACFD是平行四边形. ∵ ∠ACF＝90°，∴ 四边形ACFD是矩形 返回目录 （2） 若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，四边形ACFD是矩形，CF＝5， ∴ BC＝AD＝CF＝5，∠CFD＝90°，AC＝DF. 在Rt△CFD中，由勾股定理，得DF＝ ＝ ＝12.∵ E为线段CD的中点，∴ S△FCE＝ S△CFD＝ × ×5×12＝15. 由（1），知△ADE≌△FCE，∴ S△ADE＝S△FCE＝15. ∵ S▱ABCD＝BC·AC＝5×12＝60， ∴ S四边形ABCE＝S▱ABCD－S△ADE＝60－15＝45 　例2图 返回目录 【跟踪训练】 1. （2023·台州）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为 　2 　. 第1题 2 返回目录 2. （2024·新疆）如图，△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点. 第2题 （1） 求证：四边形DEFG是平行四边形； ∵ BD和CE是△ABC的中线，∴ E、D分别为AB、AC的中点. ∴ DE是△ABC的中位线.∴ DE∥BC，DE＝ BC. 同理，可得FG∥BC，FG＝ BC，∴ DE∥FG， DE＝FG. ∴ 四边形DEFG是平行四边形 返回目录 （2） 当BD＝CE时，求证：▱DEFG是矩形. ∵ △ABC的中线BD、CE交于点O，∴ 点O是△ABC的重心.∴ BO＝2OD，CO＝2OE. 又∵ F、G分别是OB、OC的中点，∴ OF＝FB，OG＝GC. ∴ DF＝ BD，EG＝ CE. ∵ BD＝CE，∴ DF＝EG. 又∵ 四边形DEFG是平行四边形，∴ ▱DEFG是矩形 第2题 返回目录 二 菱形的性质与判定 例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E在BD上，连接AE、CE，∠ABC＝60°，∠BCE＝15°，ED＝2＋2 ，则AD的长为（　A　） 例3图 A. 4 B. 3 C. 2 D. 2 A 返回目录 例4 （2023·湘西）如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，BM、DN分别交对角线AC于点M、N，连接MD、BN. 　例4图 返回目录 （1） 求证：∠DMN＝∠BNM； 如图，连接BD，交AC于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD. ∵ BM∥DN，∴ ∠MBO＝∠NDO. 又∵ ∠BOM＝∠DON，∴ △BOM≌△DON. ∴ BM＝DN. ∴ 四边形BMDN是平行四边形.∴ BN∥DM. ∴ ∠DMN＝∠BNM 　例4图 返回目录 （2） 若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形BMDN是菱形. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC∥AD. ∴ ∠BCA＝∠DAC. ∵ ∠BAC＝∠DAC，∴ ∠BAC＝∠BCA. ∴ AB＝BC. ∴ 四边形ABCD是菱形.∴ AC⊥BD. ∴ MN⊥BD. 又由（1），知四边形BMDN是平行四边形，∴ 四边形BMDN是菱形 　例4图 返回目录 【跟踪训练】 3. （2023·齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O. 请添加一个条件： 　答案不唯一，如AD∥BC　，使四边形ABCD为菱形. 第3题 答案不唯一，如AD∥BC 返回目录 4. （2024·广西）如图，两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角度数为60°，则重合部分构成的四边形ABCD的周长为 　8 　cm. 第4题 8 返回目录 5. （2024·济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F. 求证：AF＝CE. 第5题 ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AD＝CD. ∵ AE⊥CD，CF⊥AD， ∴ ∠AED＝∠CFD＝90°.在△AED和△CFD中， ∴ △AED≌△CFD. ∴ DE＝DF. ∴ AD－DF＝CD－DE. ∴ AF＝CE [请完成“金练案”P60～61] 返回目录 三 正方形的性质与判定 例5 （2024·吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OA的中点，F是OD上一点，连接EF. 若∠FEO＝45°，则 的值为 　 　. 　例5图 ​ 返回目录 解析：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BAC＝∠DAC＝45°，AD＝BC. ∵ ∠FEO＝45°，∴ ∠FEO＝∠DAC. ∴ EF∥AD. ∵ E是OA的中点，∴ F是OD的中点.∴ EF是△AOD的中位线.∴ EF＝ AD. ∴ EF＝ BC，即 ＝ . 返回目录 例6 （2023·南充）如图，在正方形ABCD中，点M在边BC上，E是AM的中点，连接ED、EC、BE. 　例6图 （1） 求证：ED＝EC. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD＝BC， ∠BAD＝∠ABC＝90°.∵ E为AM的中点， ∴ AE＝BE＝ME. ∴ ∠EAB＝∠EBA. ∴ ∠BAD－∠EAB＝∠ABC－∠EBA， 即∠EAD＝∠EBC. 在△EAD和△EBC中， ∴ △EAD≌△EBC. ∴ ED＝EC 返回目录 （2） 将BE绕点E按逆时针方向旋转，使点B的对应点B'落在AC上，连接MB'.当点M在边BC上运动时（点M不与点B、C重合），判断△CMB'的形状，并说明理由. △CMB'是等腰直角三角形　理由：根据旋转的性质，可得EB'＝EB. 由（1），知EB＝AE＝ME，∴ EB'＝AE＝ME. ∴ ∠EAB'＝∠EB'A，∠EMB'＝∠EB'M. ∵ ∠EAB'＋∠EB'A＋∠EB'M＋∠EMB'＝180°，∴ ∠AB'M＝90°.∴ ∠MB'C＝90°. ∵ 在正方形ABCD中，∠ACB＝45°， ∴ ∠B'MC＝45°＝∠ACB. ∴ B'M＝B'C. ∴ △CMB'是等腰直角三角形. 　例6图 返回目录 （3） 在（2）的条件下，若AB＝1，则当∠DEB'＝45°时，求BM的长. 如图，延长BE，交AD于点F. ∵ 易知∠BEM＝2∠BAE，∠B'EM＝2∠B'AE，∠BAB'＝45°，∴ ∠BEB'＝90°.∴ ∠B'EF＝90°.∵ ∠DEB'＝45°，∴ ∠DEF＝45°.∵ △EAD≌△EBC， ∴ ∠AED＝∠BEC. ∵ ∠AEF＝∠BEM， ∴ ∠AED－∠AEF＝∠BEC－∠BEM， 返回目录 即∠DEF＝∠CEM＝45°.∵ ∠MCA＝45°，∴ ∠CEM＝∠MCA. 又∵ ∠CME＝∠AMC，∴ △CME∽△AMC. ∴ CM∶AM＝EM∶CM. ∵ EM＝ AM，∴ CM2＝ AM2.在正方形ABCD中，BC＝AB＝1.设BM＝x（0＜x＜1），则CM＝1－x.在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM2＝1＋x2，∴ （1－x）2＝ （1＋x2），解得x＝2－ 或x＝2＋ （不合题意，舍去）.∴ BM＝2－ 返回目录 【跟踪训练】 6. （2024·呼和浩特）如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰三角形ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE. 若BF＝2，则DG＝ 　 　. 　第6题 ​ 返回目录 解析：∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝AD. ∵ AB＝AF，∴ ∠ABF＝∠AFB. 设∠CBE＝x，则∠ABF＝∠AFB＝∠ABC－∠CBE＝90°－x.∴ ∠AFE＝180°－∠AFB＝90°＋x，∠BAF＝180°－∠AFB－∠ABF＝2x，∠DAF＝∠DAB－∠BAF＝90°－2x.∵ AE平分∠DAF，∴ ∠EAF＝∠EAD＝ ∠DAF. ∵ AF＝AB＝AD，AE＝AE，∴ △AEF≌△AED. ∴ ∠AED＝∠AEB，DE＝EF， ∠ADE＝∠AFE＝90°＋x. ∴ ∠CDE＝∠ADE－∠ADC＝x.∴ ∠DEB＝360°－∠DAF－∠AFE－∠ADE＝90°.∴ ∠AED＝∠AEB＝45°. 返回目录 过点A作AM⊥BE于点M，过点D作DN⊥AE于点N. ∴ ∠EAM＝90°－∠AEB＝45°.∴ △AEM是等腰直角三角形.∴ EM＝AM. ∵ AB＝AF，AM⊥BF，∴ BM＝FM＝ BF＝1.∵ 正方形ABCD的面积为50，∴ AD＝5 ，AD2＝AB2＝50.∴ 在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝ ＝7.∴ EM＝AM＝7.∴ EF＝6.∴ DE＝EF＝6.∴ DN＝DE· sin 45°＝3 .∴ AN＝ ＝4 . ∵ 易知△ADN∽△DGN，∴ ＝ .∴ DG＝ ＝ . 返回目录 7. 如图，在菱形ABCD中，E、O、F分别为AB、AC、AD的中点，连接CE、CF、OE、OF. 第7题 （1） 求证：△BCE≌△DCF. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ∠B＝∠D， AB＝BC＝DC＝AD. ∵ E、F分别为AB、 AD的中点，∴ BE＝ AB，DF＝ AD. ∴ BE＝DF. 又∵ ∠B＝∠D，BC＝DC， ∴ △BCE≌△DCF 返回目录 （2） 当AB与BC满足什么位置关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由. 当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形 理由：∵ E、O、F分别为AB、AC、AD的中点， ∴ OE＝ BC，OF＝ DC，AE＝ AB，AF＝ AD，OE∥BC. 又∵ AB＝BC＝DC＝AD，∴ AE＝OE＝OF＝AF. ∴ 四边形AEOF是菱形.∵ AB⊥BC，∴ ∠B＝90°.∵ OE∥BC，∴ ∠AEO＝∠B＝90°.∴ 四边形AEOF是正方形. 返回目录 $$