2025年中考数学专题复习课件：第22课时　平行四边形与三角形的中位线（江苏地区）

第四章 图形的认识 第22课时 平行四边形与三角形的中位线 图形与几何 01 课前热身 02 知识整理 03 课堂互动 目 录 1. (2023 益阳)如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列结论一定成立的是( C ) A. OA=OB B. OA⊥OB C. OA=OC D. ∠OBA=∠OBC 第1题 C 返回目录 2. (2024 河北)下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程: 第2题 已知:如图,在 ABC中,AB=AC,AE平分 ABC的外角∠CAN,M是AC的中点,连接BM并延长,交AE于点D,连接CD. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 返回目录 证明:∵ AB=AC,∴ ∠ABC=∠3. ∵ ∠CAN=∠ABC+∠3,∠CAN=∠1+∠2,∠1=∠2,∴ ① . 又∵ ∠4=∠5,MA=MC, ∴ MAD≌ MCB(② ). ∴ MD=MB. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 若以上解答过程正确,①②应分别为( D ) A. ∠1=∠3,AAS B. ∠1=∠3,ASA C. ∠2=∠3,AAS D. ∠2=∠3,ASA D 返回目录 3. (2024 无锡)在 ABC中,AB=4,BC=6,AC=8,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,则 DEF的周长为 9 . 4. (2024 济宁)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件: 答案不唯一,如OB=OD ,使四边形ABCD是平行四边形. 第4题 9 答案不唯一,如OB=OD 返回目录 5. (2023 镇江)如图,B是AC的中点,点D、E在AC的同侧,AE=BD,BE=CD. 第5题 (1) 求证: ABE≌ BCD; ∵ B是AC的中点,∴ AB=BC. 在 ABE和 BCD中, ∴ ABE≌ BCD (2) 连接DE,求证:四边形BCDE为平行四边形. ∵ ABE≌ BCD,∴ ∠ABE=∠BCD. ∴ BE∥CD. 又∵ BE=CD,∴ 四边形BCDE为平行四边形 返回目录 1. 平行四边形的定义 两组对边分别 平行 的四边形叫做平行四边形. 2. 平行四边形的性质 (1) 平行四边形的对边平行且 相等 . (2) 平行四边形的对角 相等 . (3) 平行四边形的对角线 互相平分 . (4) 平行四边形是 中心对称 图形. 平行 相等 相等 互相平分 中心对称 返回目录 3. 平行四边形的判定 (1) 两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形. (2) 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形. (3) 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形. (4) 对角线 互相平分 的四边形是平行四边形. 平行 相等 平行且相等 互相平分 4. 三角形中位线的定义 连接三角形 两边中点 的线段叫做三角形的中位线. 5. 三角形中位线定理 三角形的中位线 平行于 第三边,并且等于 第三边的一半 . 两边中点 平行于 第三边的一半 返回目录 一 平行四边形的性质 例1 (2023 泸州)如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠ADC的平分线与边AB相交于点P,E是PD的中点,连接OE. 若AD=4,CD=6,则OE的长为( A ) 例1图 A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 返回目录 例2 (2024 泸州)如图,在 ABCD中,E、F是对角线BD上的点,且DE=BF,连接AE、CF. 求证:∠1=∠2. 例2图 ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD=CB,AD∥BC. ∴ ∠ADE=∠CBF. 在 ADE和 CBF中, ∴ ADE≌ CBF. ∴ ∠1=∠2 返回目录 【跟踪训练】 1. 如图,在 ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,AF⊥CD,垂足为F,且AE=AF. 求证: ABE≌ ADF. 第1题 ∵ AE⊥BC,AF⊥CD,∴ ∠AEB=∠AFD=90 . ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ ∠B=∠D. 在 ABE和 ADF中, ∴ ABE≌ ADF 返回目录 二 平行四边形的判定 例3 (2024 乐山)如图,下列条件中,不能判定四边形ABCD为平行四边形的是( D ) 例3图 D A. AB∥DC,AD∥BC B. AB=DC,AD=BC C. AO=CO,BO=DO D. AB∥DC,AD=BC 返回目录 例4 (2023 广安)如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,BE⊥AC,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且AF=CE,∠BAC=∠DCA. 求证:四边形ABCD是平行四边形. 例4图 ∵ AF=CE,∴ AF-EF=CE-EF,即AE=CF. ∵ BE⊥AC,DF⊥AC,∴ ∠AEB=∠CFD=90 . 在 ABE和 CDF中, ∴ ABE≌ CDF. ∴ AB=CD. 又∵ ∠BAC=∠DCA, ∴ AB∥CD. ∴ 四边形ABCD是平行四边形 返回目录 【跟踪训练】 2. (2023 岳阳模拟)如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AC、BD相交于点O,将AC两端延长,使AE=CF,连接BE、DE、DF、BF. 有下列条件:① BE=DF;② BE∥DF;③ OB=OD. 添加其中一个,使四边形ABCD为平行四边形. 第2题 (1) 你添加的条件是 ① (填序号); ① 返回目录 (2) 添加条件后,求证:四边形ABCD为平行四边形. 在 BAE和 DCF中, ∴ BAE≌ DCF. ∴ ∠BAE=∠DCF. ∴ ∠OAB=∠OCD. ∴ AB∥CD. 又∵ AB=CD,∴ 四边形ABCD为平行四边形 第2题 返回目录 三 平行四边形的性质和判定的综合应用 例5 (2024 大庆)如图,在 ABCD中,AE、CF分别是∠BAD、∠BCD的平分线,且点E、F分别在边BC、AD上,DE与CF交于点G. 例5图 (1) 求证:四边形AECF是平行四边形; ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC, ∠BAD=∠BCD. ∴ ∠AEB=∠DAE. ∵ AE、CF 分别是∠BAD、∠BCD的平分线, ∴ ∠AEB=∠DAE= ∠BAD,∠BCF= ∠BCD. ∴ ∠AEB=∠BCF. ∴ AE∥CF. 又∵ AF∥CE,∴ 四边形AECF是平行四边形 返回目录 (2) 若∠ADC=60 ,DF=2AF=2,求 GDF的面积. 如图,过点C作CH⊥AD于点H,则∠CHD=90 .∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD∥BC. ∴ ∠ADC+∠BCD=180 .∴ ∠BCD=180 -∠ADC=180 -60 =120 .∵ CF是∠BCD的平分线,∴ ∠DCF= ∠BCD= 120 =60 .∴ ∠DFC=180 -∠FDC-∠DCF=60 .∴ ∠DFC=∠FDC=∠DCF. ∴ CDF是等边三角形. 返回目录 ∴ CD=DF=2,DH= DF=1.在Rt CHD中,由勾股定理,得CH= = = ,∴ = DF CH= 2 = .由(1),得四边形AECF是平行四边形,∴ EC=AF= DF= 2=1.∵ AD∥BC,∴ DGF∽ EGC. ∴ = = .∴ FG= CF. ∴ S GDF= S CDF= 返回目录 【跟踪训练】 3. (2023 扬州)如图,E、F、G、H分别是 ABCD各边的中点,连接AF、CE相交于点M,连接AG、CH相交于点N. 第3题 返回目录 (1) 求证:四边形AMCN是平行四边形; ∵ 四边形ABCD是平行四边形,∴ AD=BC,AD∥BC,即AH∥CF. ∵ F、H分别是边BC、AD的中点,∴ AH= AD,CF= BC. ∴ AH=CF. ∴ 四边形AFCH是平行四边形.∴ AF∥CH,即AM∥CN. 同理,可得AN∥CM. ∴ 四边形AMCN是平行四边形 第3题 返回目录 (2) 若 AMCN的面积为4,求 ABCD的面积. 如图,连接AC. ∵ H、G分别是AD、CD的中点,∴ 点N是 ACD的重心.∴ CN=2HN. ∴ S ACN= S ACH. 又∵ CH是 ACD的中线,∴ S ACN= S ACD. ∵ AC是 AMCN和 ABCD的对角线,∴ 易得S AMCN= S ABCD. 又∵ AMCN的面积为4,∴ ABCD的面积为12 第3题 返回目录 四 三角形中位线的性质 例6 如图①,E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,连接EF、FG、GH、HE. 例6图 返回目录 (1) 求证:四边形EFGH是平行四边形. 如图①,连接AC. ∵ E、F、G、H分别为四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,∴ EF是 ABC的中位线,GH是 DAC的中位线.∴ EF∥AC,EF= AC,GH∥AC,GH= AC. ∴ EF∥GH,EF=GH. ∴ 四边形EFGH是平行四边形 例6图 返回目录 (2) 当点D分别在原四边形ABCD的内部和外部时,图①依次变为图②③,则图②③中的四边形EFGH还是平行四边形吗?请选择其中一个说明理由. 例6图 返回目录 题图②③中的四边形EFGH还是平行四边形 理由(选择不唯一,如选择题图②):如图②,连接AC. 在 BAC中,∵ E、F分别为AB、BC的中点,∴ EF是 ABC的中位线.∴ EF∥AC,EF= AC. 在 DAC中,∵ G、H分别为CD、DA的中点,∴ HG是 DAC的中位线.∴ HG∥AC,HG= AC. ∴ EF∥HG,EF=HG. ∴ 四边形EFGH是平行四边形. 返回目录 【跟踪训练】 4. (2024 巴中)如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是BC的中点,AC=4.若 ABCD的周长为12,则 COE的周长为( B ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 第4题 B 返回目录 5. 如图,在Rt ABC中,∠BAC=90 ,E、F分别是BC、AC的中点,延长BA到点D,使2AD=AB,连接DE、DF、AE、EF,AF与DE交于点O. 第5题 (1) 求证:AF与DE互相平分; ∵ E、F分别是BC、AC的中点,∴ EF是 ABC的中位线. ∴ EF∥AB,EF= AB. 又∵ 2AD=AB, 即AD= AB,∴ AD=EF. 又∵ AD∥EF, ∴ 四边形AEFD是平行四边形.∴ AF与DE互相平分 返回目录 (2) 若AB=8,BC=12,求DO的长. ∵ 在Rt ABC中,∠BAC=90 ,AB=8,BC=12,∴ 由勾股定理,得AC= = =4 .由(1),得OA=OF. ∵ F是AC的中点,∴ AF=CF. ∴ OA= AC= .在 AOD中, ∵ ∠DAO=180 -∠BAC=90 ,AD= AB=4,OA= ,∴ 由勾股定理,得DO= = = 返回目录 $$