精品解析：上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试卷

2026届川沙中学高二第一学期第二次月考数学试卷 一、填空题（3×12=36分） 1. 直线的倾斜角为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角关系直接求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 直线的斜率为，，. 故答案为：. 2. 椭圆的焦点坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆的性质求出即可； 【详解】由题意可得，所以，且焦点在y轴上， 所以焦点坐标为， 故答案为：. 3. 直线与直线平行，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】由两直线平行可得解一元二次方程，然后检验即可； 【详解】由题意可得，解得或， 当时，直线即，直线即，两直线重合，不符合题意，舍去， 当时，符合题意， 所以. 故答案为：1 4. 如图所示，在正方体中，若为的中点，则直线与所成角的余弦值为__. 【答案】 【解析】 【分析】 取的中点，连接，，则，则为直线与所成角，设正方体的棱长为，求解三角形，即可得出结果. 【详解】解：如图， 取的中点，连接，， 则，则为直线与所成角， 设正方体的棱长为， 则，， . 直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查数形结合的解题思想方法，是基础题. 5. 已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则 ，解得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题. 6. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为________. 【答案】或． 【解析】 【分析】先求，再根据夹角公式求得直线的斜率，利用点斜式即可求出直线的方程. 【详解】设直线的斜率为， 因为，且为锐角， 所以， 所以，解得， 故过点，且与直线的夹角为的直线的方程 为，即． 当直线的斜率不存在时，此时直线的方程，符合题意. 所以直线的方程为或. 故答案为：或 7. 双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率为，由求得m，从而得到焦点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】解：因为双曲线C：的离心率为， 所以，解得， 所以焦点坐标为：， 渐近线方程为：， 所以焦点到渐近线的距离为：， 故答案为：1 8. 已知是椭圆上一点，则点P到点的距离的取值范围为__________ 【答案】 【解析】 【分析】可设 ，利用三角函数的性质，求点P到点的距离的取值范围. 【详解】为椭圆 上一点，可设 ， 则 ， 令，则， 又函数 在上单调递减， ∴ ，， 故 ， 故，即点P到点的距离的取值范围为. 故答案为： 9. 若直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可画出曲线图形，然后结合图形可得答案. 【详解】，则曲线表示以原点为圆心，半径为1，如图所示的半圆. 当直线在如图位置时，，当直线在如图位置时，直线与半圆相切， 则到圆心距离为1，则（舍去）或，则. 则要使直线与曲线恰有两个不同的公共点，要使直线在与之间，即. 故答案为： 10. 已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，得到，从而得解. 【详解】因为椭圆，则， 所以为椭圆的右焦点，设椭圆左焦点为F，则， 由椭圆的定义得，，    所以P为射线FA与椭圆交点时，取最小值， 此时． 故答案为： 11. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】设，根据题意，求得过点B的切线l的方程，即可求得M、N坐标，代入面积公式，即可求得面积S的表达式，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】 设，由题意得，过点B的切线l的方程为：， 令，可得，令，可得， 所以面积， 又点B在椭圆上，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最小值为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：设出点的坐标直接写出过点B的切线方程，进而求得面积S的表达式，再利用基本不等式求解. 12. 高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率__． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，解得图中N、Q的横坐标，列方程组即可求得椭圆的a、c，进而求得椭圆的离心率. 【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则，，直线PR的方程为 设, 由到直线的距离为1，得，解之得或（舍） 则， 又设直线PN的方程为 由到直线PN的距离为1，得，整理得， 则，又，故 则直线PN的方程为， 故， 由，解得，故椭圆的离心率. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，根据直线与圆相切的关系得到直线的斜率，从而求出与，解出即可斜率. 二、选择题（3×4=12分） 13. 已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，，，则 C. 若，且，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理即可判断出正误． 【详解】若，且，则与可能平行，可能相交，可能异面，A选项错误； 若，，，则与可能平行，可能相交，可能异面，B选项错误； 两条平行直线，其中一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直，C选项正确； 若，，，则与可能平行可能相交，D选项错误. 故选：C 14. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线标准方程直接判断. 【详解】方程即为， 由方程表示双曲线，可得， 所以，， 所以虚轴长为， 故选：B. 15. 如图，A为平面内一定点，是平面的定长斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使面积为定值，则动点P的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得到直线的距离为定值，分析可得点在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，根据截面的性质，即可得答案. 【详解】因为三角形面积为定值，以定长斜线段为底，则得到直线的距离为定值， 分析可得，点在以为轴线的圆柱面与平面的交线上，且与圆柱的轴线斜交， 由平面与圆柱面的截面的性质判断，可得的轨迹为椭圆. 故选：C. 16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点O最近的点为点，此最近距离为．当点P在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知当点P的纵坐标大于等于1、小于1时，确定点的位置，结合图形，可得的轨迹方程；记，则，当且仅当共线时取等号. 【详解】由题意知，点集表示以为中心，边长为2且各边均平行或垂直于坐标轴的正方形及其内部，如图， 当点P的纵坐标大于或等于1时，在上述正方形的左下顶点，如图， 此时点的轨迹方程为； 当点P的纵坐标小于1时，在上述正方形的左侧边与x轴的交点，如图， 此时点的轨迹方程为， 所以点的轨迹方程为，故①错误； 记，如图， 结合图形，则， 又，所以， 左侧等号当且仅当依次共线时取到， 右侧等号当且仅当依次共线时取到，故②正确. 故选：C. 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. （1）若，且经过点，求实数，的值； （2）若且，求实数，的值. 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【小问1详解】 因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； 【小问2详解】 若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故 18. 已知圆C：，其中； （1）已知圆C与圆：相切，求m的值； （2）如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 【答案】（1）9或 （2） 【解析】 【分析】（1）两圆外切时解方程，内切时解方程即得解； （2）由几何法求弦长解方程即得解. 【小问1详解】 由圆，可得， 则圆心，半径， 由圆，可得圆心，半径， 若两圆外切，则，解得； 若两圆内切，则，解得； 【小问2详解】 圆的圆心坐标为，半径为． 圆心到直线的距离， 又直线与圆相交所得的弦长为， ，解得， 所以的值为． 19. 如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，，点E为中点. （1）求证：平面； （2）若与平面所成的角为，求点P到平面的距离. 【答案】（1）证明：   取的中点，连接， 由题意可得且， 由四边形为直角梯形且，， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，由中位线的性质证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）先由线面角的定义证明，再建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入空间点到面的距离公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又，即， 平面，所以平面， 所以为与平面所成的角，即，所以， 又，所以两两垂直，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以点P到平面的距离为. 20. 已知双曲线C：的离心率为，且过点 （1）求双曲线C的方程； （2）过左焦点F且倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求线段长； （3）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）16 （3）证明: 当直线的斜率存在时，设其方程为，且设， 联立可得，消去并整理可得， ， ， 又，所以， 所以，整理可得， 又代入到上式可得， 整理可得， 代入韦达定理可得， 化简并整理可得，即， 解得或， 当时，直线的方程为，此时过点，不符合题意舍去； 当时，直线的方程为，此时过定点； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 由解得， 所以， ，解得， 此时定点在直线上， 综上，直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由离心率，点在双曲线上代入以及双曲线的性质列方程组解出即可； （2）由点斜式得到直线方程，再与曲线联立，得到韦达定理，然后再由弦长公式求出即可； （3）分斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设直线方程，直曲联立表示韦达定理，利用斜率的定义表示出斜率，再结合韦达定理和题意化简得到，然后代入直线方程求出定点坐标；当斜率不存在时，设直线方程为，直曲联立求出P，Q的坐标，由斜率关系再化简即可； 【小问1详解】 由题意可得， 解得， 所以双曲线C的方程为. 【小问2详解】 由（1）可得，，所以直线方程为， 设， 联立，消去并整理可得， ， ， 所以. 【小问3详解】 证明略，定点为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键在于分斜率存在与否讨论，存在时设出直线方程，结合韦达定理化简得到的关系，确定直线的定点. 21. 已知椭圆E：的离心率为，且过点，直线交E于A，B两点. （1）求E的方程； （2）求三角形的面积的最大值； （3）若E上存在点P使得，在上的投影向量相等，且的重心在y轴上，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，离心率的定义，以及椭圆的性质求解即可； （2）直曲联立，得到韦达定理，由弦长公式求出弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，最后由三角形的面积公式和对勾函数的单调性求解即可； （3）由重心坐标公式可得，再由投影向量关系可得直线的方程，进而求出，然后代入椭圆方程求解即可； 【小问1详解】 因为椭圆经过点，代入可得，即， 又离心率为，所以， 由， 所以椭圆E的方程为. 【小问2详解】 联立，消去并整理可得， ， 设， ， 所以， 原点到直线的距离， 所以三角形的面积， 令，，则， 所以， 由对勾函数的单调性可得当时，分母取得最小值4， 所以三角形的面积的最大值为. 【小问3详解】 设弦的中点，，重心， 由（2）中可得，且的重心在y轴上，即， 所以， 则，， 因为，在上的投影向量相等，所以，且， 所以直线的方程为， 所以， 所以， 代入椭圆方程可得，即， 又，所以， 所以直线的方程为. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键在于表示出三角形面积公式后设，结合对勾函数的单调性求出最值；第三小问的关键在于利用重心坐标公式和投影向量关系求出点坐标，再代入椭圆方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届川沙中学高二第一学期第二次月考数学试卷 一、填空题（3×12=36分） 1. 直线的倾斜角为______. 2. 椭圆的焦点坐标为________. 3. 直线与直线平行，则________. 4. 如图所示，在正方体中，若为的中点，则直线与所成角的余弦值为__. 5. 已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______． 6. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为________. 7. 双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为________. 8. 已知是椭圆上一点，则点P到点的距离的取值范围为__________ 9. 若直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为________. 10. 已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为________. 11. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为______． 12. 高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率__． 二、选择题（3×4=12分） 13. 已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，，，则 C. 若，且，则 D. 若，，，则 14. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A. B. C. D. 15. 如图，A为平面内一定点，是平面的定长斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使面积为定值，则动点P的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点O最近的点为点，此最近距离为．当点P在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. （1）若，且经过点，求实数，的值； （2）若且，求实数，的值. 18. 已知圆C：，其中； （1）已知圆C与圆：相切，求m的值； （2）如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 19. 如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，，点E为中点. （1）求证：平面； （2）若与平面所成的角为，求点P到平面的距离. 20. 已知双曲线C：的离心率为，且过点 （1）求双曲线C的方程； （2）过左焦点F且倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求线段长； （3）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 21. 已知椭圆E：的离心率为，且过点，直线交E于A，B两点. （1）求E的方程； （2）求三角形的面积的最大值； （3）若E上存在点P使得，在上的投影向量相等，且的重心在y轴上，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $