2024-2025学年高一上学期数学期末模拟试题

2024～2025学年高一上学期期末模拟 满分：150分 考试时间：120分钟 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，均为第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递增 11. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 为上的增函数 D. 为奇函数 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______. 13. 已知，则的最大值为_______． 14. 若函数，则使得成立的的取值范围是______. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）分别求，； （2）已知，若，求实数的取值范围. 16. 已知函数，且. （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间. 17. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②；③． （2） 为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 18. 已知定义在上的函数，且有，. （1）求函数的解析式并判断其奇偶性； （2）解不等式； （3）设函数，若，，使得，求实数m取值范围. 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由 （2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年高一上学期期末模拟 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D C B B A C BCD ABD BD 1. 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则为（ ） A. B. C. D. 【解析】A 因为， 又函数单调递增， 所以， 所以． 2. 已知，且，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 依题意，，且， A选项，若，则，所以A选项错误. B选项，，所以B选项正确. C选项，若，则，所以C选项错误. D选项，若，则，所以D选项错误. 3. 已知，均为第一象限角，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】D 由均为第一象限的角， 满足，但，因此不充分； 由，得均为第一象限的角，得到，因此不必要. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【解析】C 由，得； 由，得； 由，得. ∴. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 因为，定义域为， 又， 所以是奇函数，从而ACD错误，B正确. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由得：， 由得：，即：， 则，解得， 所以. 7. 若函数的定义域为，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【解析】A 由题意，函数的定义域为， 等价于在上恒成立， 若，则在上恒成立，满足条件； 若，则，解得. 综上，实数的取值范围是. 8. 已知函数，则函数的零点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解析】C 当即时， ， 当即时，， 所以 当时，令，即或，解得：或（舍）或此时有2个零点； 当时，令，可得或，所以或都满足，此时有2个零点， 综上所述函数的零点个数为4. 2. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【解析】BCD 依题意，，即，则且a，，故C正确； 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于D，，故D正确. 10. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 将的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称 C. 在上的值域为 D. 在上单调递增 【解析】ABD 相邻两对称轴间距离为，则，∴， ∴，， ， ∴关于对称，A对. ，∴关于轴对称，B对. 当时，有，则，所以， ∴，C错误. 由，得，所以的一个单调增区间为，而，∴在上单调递增，D对. 11. 已知函数的定义域为，对任意实数，满足：，且．当时，．则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 为上的增函数 D. 为奇函数 【解析】BD 对于A：令，则，令，则， 令，则，故错误； 对于B：由A选项的计算可知，故正确； 对于C：，则，则， 因为，所以，又时，， 所以，所以， 所以为上的减函数，故错误； 对于D：令，则，则， 所以，所以，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数，故正确. 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域是______. 【解析】的定义域满足且， 故定义域为. 13. 已知，则的最大值为_______． 【解析】因为，所以，故. 又因为，故，从而，这就得到. 而当，时，有，且. 所以的最大值为. 14. 若函数，则使得成立的的取值范围是______. 【解析】由函数的定义域为, 所以函数为偶函数 当时，与为单调递增函数 所以在单调递增 所以 所以 解得：. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）分别求，； （2）已知，若，求实数的取值范围. 【解析】（1），，解得，则， ，，解得，则， ，； （2），， . 16. 已知函数，且. （1）求的值和的最小正周期； （2）求在上的单调递增区间. 【解析】（1）因为，且， 所以，解得， 所以 ， 即，所以的最小正周期； （2）由，， 解得，， 所以的单调递增区间为，， 当时的单调递增区间为， 当时的单调递增区间为， 所以在上的单调递增区间为，. 17. 近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐受到越来越多人们的关注和喜爱．某平台从2021年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2021到2023年，每年年末该平台的会员人数如下表所示． 建立平台第年 1 2 3 会员人数（千人） 22 34 70 （1）请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算该平台建立第年年末会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2024年年末的会员人数； ①；②；③． （2）为了更好地维护管理平台，该平台规定第年年末的会员人数上限为千人，请根据（1）中得到的函数模型，求的最小值． 【解析】（1）由表格中的数据知，所求函数是一个增函数，且增长越来越快， 模型①的函数递减，模型②的函数即使递增，增长也较缓慢，因此选择模型③， 于是，解得， 所以函数模型对应的解析式为， 当时，预测2024年年末的会员人数为千人． （2）由（1）及已知得，对，都有，令，则， 令，则不等式右边等价于函数， 函数在区间上单调递增，因此， 则，所以的最小值为． 18. 已知定义在上的函数，且有，. （1）求函数的解析式并判断其奇偶性； （2）解不等式； （3）设函数，若，，使得，求实数m取值范围. 【解析】（1）因为，所以，解得，所以； 为奇函数，证明如下： 定义域为且关于原点对称，因为， 所以为上的奇函数. （2）， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以在上单调递减，所以在上单调递减； 因为，所以，所以， 所以，所以或，解得或， 所以不等式解集为. （3）因为，，使得，所以； 因为，，所以， 由指数函数性质可知，无最大值，但可以无限接近； 又因为，令， 所以，对称轴为且开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以当时有，所以， 若，则， 综上所述，的取值范围是. 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点． （1）判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由 （2）已知函数，若是的次不动点，求实数的值： （3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围． 【解析】（1）依题意，设为的不动点，即，于是得，解得或， 所以 是“不动点” 函数，不动点是2和. （2）因是“次不动点”函数，依题意有，即，显然，解得， 所以实数的值是. （3）设分别是函数在上不动点和次不动点，且唯一， 由得：，即，整理得：， 令，显然函数在上单调递增，则，，则， 由得：，即，整理得：， 令，显然函数在上单调递增，，，则， 综上得：， 所以实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$