2025年中考数学（江苏地区）专题复习：第20课时　等腰三角形课件

第四章　图形的认识 第20课时　等腰三角形 图形与几何 01 课前热身 02 知识整理 03 课堂互动 目 录 1. （2024·兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB的度数为（　B　） A. 100° B. 115° C. 130° D. 145° 第1题 B 返回目录 2. （2023·河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长随四边形ABCD形状的改变而改变.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（　B　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第2题 B 返回目录 3. 在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）和（－2，2），以AB为腰作等腰三角形ABC. 若该等腰三角形的对称轴垂直于x轴，则点C的坐标为 　（－4，1）或（2，2）　. 4. （2023·丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB. 若AB＝4，则DC的长为 　4　. 第4题 （－4，1）或（2，2） 4 返回目录 5. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EB平分∠DEC. 第5题 （1） 求证：BC＝CE； ∵ EB平分∠DEC，∴ ∠DEB＝∠BEC. ∵ DE∥BC，∴ ∠DEB＝∠EBC. ∴ ∠BEC＝∠EBC. ∴ BC＝CE 返回目录 （2） 若CE＝AB，EA＝EB，求∠C的度数. ∵ BC＝CE，CE＝AB，∴ BC＝AB. ∴ ∠C＝∠A. 设∠C＝∠A＝x.∵ EA＝EB，∴ ∠ABE＝∠A＝x.∴ ∠EBC＝∠BEC＝∠A＋∠ABE＝2x.∵ 在△BCE中，∠EBC＋∠BEC＋∠C＝180°，∴ 2x＋2x＋x＝180°，解得x＝36°.∴ ∠C＝36° 第5题 返回目录 1. 等腰三角形和等边三角形的定义 　　有 　两条边相等　的三角形叫做等腰三角形； 　三边相等　的三角形叫做等边三角形. 两条边相等 三边相等 返回目录 2. 等腰三角形的性质 （1） 等腰三角形的两底角 　 相等　（简称 　等边对等角　）. （2） 等腰三角形底边上的 　高线　、 　中线　及 　顶角平分线　重合，简称等腰三角形“三线合一”. （3） 等腰三角形是 　 轴对称　图形， 　顶角平分线（或底边上的高线、中线）所在的直线　是它的对称轴. 相等 等边对等角 高线 中线 顶角平分线 轴对称 顶角平分线（或底边上的高 线、中线）所在的直线 返回目录 3. 等边三角形的性质 　　等边三角形具有等腰三角形的一切性质，同时还具有以下性质： （1） 等边三角形的各角都等于 　 60°　. （2） 等边三角形是 　 轴对称　图形，并且有 　3　条对称轴，分别是 　每条边上的高线（或每条边上的中线或每个角的平分线）所在的直线　. 60° 轴对称 3 每条边上的高线（或每条边上的中线或每个角的平分线）所在的直 线 4. 等腰三角形的判定 （1） 有两条边相等的三角形是 　 等腰三角形　. （2） 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称 　 等角对等边　. 等腰三角形 等角对等边 返回目录 5. 等边三角形的判定 （1） 三边相等的三角形是 　 等边三角形　. （2） 三个角都 　 相等　的三角形是等边三角形. （3） 有一个角是 　 60°　的等腰三角形是等边三角形. 6. 直角三角形30°角的性质 　　在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 　斜边的一半　. 等边三角形 相等 60° 斜边的一半 返回目录 一 等腰三角形的性质 例1 （2024·内江）如图，在△ABC中，∠DCE＝40°，AE＝AC，BC＝BD，则∠ACB的度数为 　100°　. 例1图 100° 返回目录 例2 （2023·北京石景山模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝2α，BD平分∠ABC，交AC于点E，F是ED上一点，连接FA、FC，∠EAF＝α. 例2图 （1） 求∠AFB的度数（用含α的式子表示）； ∵ AB＝AC，∴ ∠ACB＝∠ABC. ∵ ∠ACB＝2α， ∴ ∠ABC＝2α.∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABE＝∠EBC＝α. ∵ ∠FEC＝∠EAF＋∠AFE＝∠EBC＋∠ECB， ∠EAF＝α，∴ ∠AFE＝∠ECB＝2α，即∠AFB＝2α 返回目录 （2） 试判断线段FC与FA之间的数量关系，并证明. FC＝FA 由（1），得∠ACB＝∠AFB. ∴ 点A、F、C、B共圆.∴ ∠ACF＝∠ABF＝α.又∵ ∠EAF＝α，∴ ∠ACF＝∠EAF. ∴ FC＝FA 例2图 返回目录 【跟踪训练】 1. （2024·自贡）如图，等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB的长为12 m.现将钢架立柱缩短成DE，若∠BED＝60°，则新钢架减少用钢（　D　） A. （24－12 ）m B. （24－8 ）m C. （24－6 ）m D. （24－4 ）m 第1题 D 返回目录 2. （2023·新疆）如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD＝BD，∠CAD＝24°，则∠C的度数为 　52°　. 第2题 52° 返回目录 3. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，BE与CD交于点F. （1） 判断∠ABE与∠ACD之间的数量关系，并说明理由； ∠ABE＝∠ACD 理由：在△ABE和△ACD中， ∴ △ABE≌△ACD. ∴ ∠ABE＝∠ACD. 第3题 返回目录 （2） 求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC. ∵ AB＝AC，∴ ∠ABC＝∠ACB. 由（1），得∠ABE＝∠ACD. ∴ ∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，即∠FBC＝∠FCB. ∴ FB＝FC. 又∵ AB＝AC，∴ 点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC 第3题 返回目录 二 等腰三角形的判定 例3 （2024·常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝FE. 　例3图 （1） 求证：△GEC是等腰三角形； 在△ABC和△DFE中， ∴ △ABC≌△DFE. ∴ ∠ACB＝∠DEF， 即∠GCE＝∠GEC. ∴ △GEC是等腰三角形 （2） 连接AD，则AD与直线l的位置关系是 　 AD∥直线l　. AD∥直线l 返回目录 【跟踪训练】 4. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、AB上，∠ABD＝∠ACE. 添加下列条件，其中不能判定△ABC是等腰三角形的为（　D　） A. AE＝AD B. ∠ECB＝∠DBC C. BD＝CE D. ∠BEC＝∠CDB 　第4题 D 返回目录 5. （2024·江西）追本溯源 题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）. （1） 如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判断△BDE的形状，并说明理由. 　　 第5题 △BDE是等腰三角形 理由：∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD. ∵ BC∥ED， ∴ ∠EDB＝∠CBD. ∴ ∠EDB＝∠EBD. ∴ △BDE是等腰三角形. 返回目录 方法应用 （2） 如图②，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE，交DC的延长线于点F，交BC于点G. ① 图中一定是等腰三角形的有（　B　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 B 第5题 返回目录 ② 由（1），可知∠ABE＝∠EBG＝∠AEB. ∴ AB＝AE＝3. ∵ AF⊥BE，∴ ∠BAF＝∠EAF. ∵ 在▱ABCD中，BC∥AD， ∴ ∠EAG＝∠AGB. ∴ ∠BAF＝∠AGB. ∴ AB＝BG＝3. ∵ AB∥FD，∴ ∠BAF＝∠CFG. ∵ ∠AGB＝∠CGF，∴ ∠CGF＝∠CFG. ∴ CG＝CF. ∵ CG＝BC－BG＝5－3＝2，∴ CF＝2 ② 已知AB＝3，BC＝5，求CF的长. 第5题 返回目录 [请完成“金练案”P52～53] 返回目录 三 等边三角形的性质与判定 例4 （2024·宜宾）如图，D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE. 求证：AD＝BE. 例4图 ∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠ABC＝∠C＝60°， AB＝BC. 在△ABD和△BCE中， ∴ △ABD≌△BCE. ∴ AD＝BE 返回目录 【跟踪训练】 6. 如图，D、E分别为等边三角形ABC的边BC、AC上的点，且CD＝AE，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q. 若PE＝1，PQ＝2.5，则AD的长为 　6　. 　第6题 6 返回目录 7. 如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于点G、H，连接GH. 第7题 （1） 求证：AD＝BE； ∵ △ABC和△CDE均为等边三角形，∴ AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝60°.∵ ∠ACD＋∠ACB＝∠ECD＋∠BCE＝180°，∴ ∠ACD＝∠BCE. ∴ △ACD≌△BCE. ∴ AD＝BE 返回目录 （2） 求证：△BCH≌△ACG； ∵ △ACD≌△BCE，∴ ∠CBH＝∠CAG. ∵ ∠ACB＝∠ECD＝60°，点B、C、D在同一条直线上，∴ ∠ACG＝60°.∴ ∠BCH＝∠ACG. 又∵ BC＝AC，∴ △BCH≌△ACG （3） 试猜想△CGH是什么特殊的三角形，并加以证明. △CGH是等边三角形 ∵ △ACG≌△BCH，∴ CG＝CH. 又∵ ∠ACG＝60°， ∴ △CGH是等边三角形 第7题 返回目录 四 含30°角的直角三角形的性质 例5 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于点D. 求证：CD＝2BD. 例5图 返回目录 如图，连接AD. ∵ MN是线段AB的垂直平分线，∴ AD＝BD. ∴ ∠DAB＝∠B＝30°.又∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C＝30°.∴ ∠BAC＝180°－∠B－∠C＝120°.∴ ∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝90°.又∵ ∠C＝30°，∴ CD＝2AD. 又∵ AD＝BD，∴ CD＝2BD 返回目录 【跟踪训练】 8. （2023·哈尔滨模拟）已知等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则这个等腰三角形顶角的度数为 　120°或90°　. 9. （2024·新疆）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8.若点D在直线AB上（不与点A、B重合），且∠BCD＝30°，则AD的长为 　6或12　. 第9题 120°或90° 6或12 返回目录 五 探究性问题 例6 如图，在△ABD中，BA＝BD，在BD的延长线上取点E、C，作△AEC，使EA＝EC. 若∠BAE＝90°，∠B＝45°，则∠DAC＝45°. 　例6图 返回目录 （1） 若把条件“∠B＝45°”去掉，其余条件不变，则∠DAC的度数会改变吗？请说明理由. ∠DAC的度数不会改变 理由：∵ EA＝EC，∴ ∠EAC＝∠C. ∵ BA＝BD，∴ ∠BAD＝∠BDA. ∵ ∠BAE＝90°，∴ ∠B＝90°－∠AED＝90°－2∠C. ∴ ∠BAD＝ （180°－∠B）＝ [180°－（90°－2∠C）]＝45°＋∠C. ∴ ∠DAE＝90°－∠BAD＝90°－（45°＋∠C）＝45°－∠C. ∴ ∠DAC＝∠DAE＋∠EAC＝45°－∠C＋∠C＝45°. 返回目录 （2） 若把条件“∠B＝45°”去掉，再将“∠BAE＝90°”改为“∠BAE＝n°”，其余条件不变，求∠DAC的度数. ∵ BA＝BD，∴ ∠BAD＝∠BDA. 设∠B＝m°，则∠BAD＝ （180°－m°）＝90°－ m°，∠AEB＝180°－n°－m°. ∴ ∠DAE＝n°－∠BAD＝n°－90°＋ m°.∵ EA＝EC，∴ ∠EAC＝∠C. ∴ ∠EAC＝ ∠AEB＝90°－ n°－ m°.∴ ∠DAC＝∠DAE＋∠EAC＝n°－90°＋ m°＋90°－ n°－ m°＝ n° 返回目录 【跟踪训练】 10. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E. 　 　 第10题 返回目录 （1） 如图①，连接EC，求证：△EBC是等边三角形. ∵ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴ ∠ABC＝60°，BC＝ AB. ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠DBC＝∠DBA＝∠A＝30°. ∴ DA＝DB. ∵ DE⊥AB，∴ AE＝BE＝ AB. ∴ BC＝BE. 又∵ ∠ABC＝60°，∴ △EBC是等边三角形 第10题 返回目录 （2） M是线段CD上一点（不与点C、D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE的延长线于点G. 请你在图②中画出完整的图形，写出DM、DG与AD之间的数量关系，并说明理由. 第10题 画出完整的图形如图①所示 第10题 返回目录 AD＝DG＋DM　理由：如图①，延长ED到点W，使DW＝DM，连接MW. 由（1），知∠DBA＝∠A＝30°，DA＝DB. ∴ ∠ADB＝120°.∴ ∠MDB＝60°.∵ DE⊥AB，∴ ∠ADE＝∠BDE＝60°. ∵ ∠WDM＝∠ADE＝60°，DM＝DW，∴ △WDM是等边三角形. ∴ ∠WMD＝∠W＝60°，MW＝MD. ∵ ∠WMD＝∠BMG＝60°，∴ ∠WMD＋∠DMG＝∠BMG＋∠DMG，即∠WMG＝∠DMB. 在△WGM和△DBM中， ∴ △WGM≌△DBM. ∴ WG＝DB＝DG＋DW ＝DG＋DM. ∴ AD＝DG＋DM. 　 第10题 返回目录 （3） 如图③，N是线段AD上一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE的延长线于点G. 试探究ND、DG与AD之间的数量关系，并说明理由. 第10题 返回目录 AD＝DG－ND　理由：如图②，延长BD到点H，使HD＝ND，连接NH. 由（2），知∠ADE＝∠BDE＝60°，即∠1＝∠2＝60°. ∴ ∠3＝60°.∴ △NDH是等边三角形.∴ NH＝ND，∠H＝∠4＝60°.∴ ∠H＝∠1.∵ ∠BNG＝60°，∴ ∠BNG＋∠5＝∠4＋∠5，即∠DNG＝∠HNB. 在△DNG和△HNB中， ∴ △DNG≌△HNB. ∴ DG＝HB. ∵ HB＝HD＋DB＝ND＋AD， ∴ DG＝ND＋AD. ∴ AD＝DG－ND. 第10题 第10题 返回目录 $$