第14章 整式的乘法与因式分解 单元复习卷2024-2025学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上册第14章《 整式的乘法与因式分解》 单元复习卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若am＝5，an＝3，则am+n的值为（　　） A．8 B．11 C．15 D．45 2．（3分）若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＝1 D．x≠1 3．（3分）多项式4a4b2c5﹣2abc7的公因式是（　　） A．4abc5 B．4a4b2c7 C．2abc5 D．2abc 4．（3分）若（2x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 5．（3分）如果x2+kxy+16y2是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A．4 B．±4 C．8 D．±8 6．（3分）下列不能用平方差公式运算的是（　　） A．（x+1）（x﹣1） B．（﹣x+1）（﹣x﹣1） C．（x+1）（﹣x+1） D．（x+1）（1+x） 7．（3分）已知a﹣b+2＝5，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 8．（3分）已知三角形的三条边长分别为a、b、c，则代数式a2+b2﹣c2﹣2ab的值（　　） A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能确定 9．（3分）将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是（　　） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy 10．（3分）下列因式分解正确的是（　　） A．a2+a＝a（a+1） B．m2﹣4＝（m+4）（m﹣4） C．2x2+4x﹣2＝2（x2+2x） D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6对任意x都成立，则a+b＝　 　． 12．（3分）若2x2+3x﹣4＝0，则（1﹣2x）（2+x）+3的值为　 　． 13．（3分）如图，某区有一块长为（3a+4b）米，宽为（2a+3b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为（a+b）米的空白的正方形地块将修建一个凉亭．用含有a，b的式子表示绿化总面积为 　 　． 14．（3分）甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+4）（x﹣8），乙看错了a，分解结果为（x﹣2）（x+6）．则a＝　 　，b＝　 　． 15．（3分）若3x2﹣mx﹣2因式分解的结果为（3x+2）（x﹣n），则mn＝　 　． 16．（3分）一个正方形，如果先把一组对边加长4cm，再把另一组对边减少4cm，这时得到的矩形面积与原正方形的边长减少2cm后的正方形面积相等，则原正方形的面积是 　 　． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）计算： （1）2b（4a﹣b2）； （2）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）． 18．（6分）因式分解： （1）a2（a﹣b）+b2（a﹣b）； （2）（m2+1）2﹣4m2． 19．（6分）已知：A＝x2﹣1，B＝x2y3﹣xy3，C＝（x+1）（x﹣3）+4，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 20．（8分）关于a的多项式﹣2ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a． （1）求m，n的值； （2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值． 21．（8分）（1）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1）则阴影部分的面积是 　 　；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为 　 　；宽为 　 　；面积为 　 　． （2）由（1）可以得到一个等式：　 　． （3）灵活利用（2）中的等式计算： ①9972﹣9； ②20232﹣2022×2024． 22．（8分）若干块正方形和长方形卡片如图1所示，其中甲型、乙型卡片分别是边长为a，b（a＞b）的正方形，丙型卡片是长为a、宽为b的长方形，选取2块甲型卡片，2块乙型卡片，5块丙型卡片，拼成如图2所示的大长方形卡片． （1）观察图2，写出一个多项式的因式分解为：　 　； （2）若图2中甲型、乙型卡片的面积和为80，大长方形卡片的周长为48，求大长方形卡片的面积． 23．（10分）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2． 例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方； （2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）； （3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值． 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C A D D C A D A 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若am＝5，an＝3，则am+n的值为（　　） A．8 B．11 C．15 D．45 【分析】直接利用同底数幂的乘方运算法则将原式变形求出即可． 【解答】解：∵am＝5，an＝3， ∴am+n＝am×an＝5×3＝15； 故选：C． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 2．（3分）若（x﹣1）0＝1成立，则x的取值范围是（　　） A．x＞1 B．x＜1 C．x＝1 D．x≠1 【分析】根据零指数幂的意义即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x﹣1≠0， x≠1 故选：D． 【点评】本题考查零指数幂的意义，解题的关键是正确理解零指数幂的意义，本题属于基础题型． 3．（3分）多项式4a4b2c5﹣2abc7的公因式是（　　） A．4abc5 B．4a4b2c7 C．2abc5 D．2abc 【分析】根据找公因式的方法找出公因式即可． 【解答】解：多项式4a4b2c5﹣2abc7的公因式是2abc5． 故选：C． 【点评】本题考查了公因式，能熟记找公因式的方法（系数找各项系数的最大公因数，相同字母找最低次幂）是解此题的关键． 4．（3分）若（2x﹣m）（x+1）的运算结果中不含x的一次项，则m的值等于（　　） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 【分析】利用多项式乘多项式的法则进行运算，再结合条件进行求解即可． 【解答】解：（2x﹣m）（x+1） ＝2x2+2x﹣mx﹣m ＝2x2+（2﹣m）x﹣m， ∵结果中不含x的一次项， ∴2﹣m＝0， 解得：m＝2． 故选：A． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 5．（3分）如果x2+kxy+16y2是一个完全平方式，那么k的值是（　　） A．4 B．±4 C．8 D．±8 【分析】根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2即可求出答案． 【解答】解：∵（x±4y）2＝x2±8xy+16y2， ∴k＝±8， 故选：D． 【点评】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 6．（3分）下列不能用平方差公式运算的是（　　） A．（x+1）（x﹣1） B．（﹣x+1）（﹣x﹣1） C．（x+1）（﹣x+1） D．（x+1）（1+x） 【分析】根据平方差公式解答即可． 【解答】解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，故此选项不符合题意； B、（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝x2﹣1，故此选项不符合题意； C、（x+1）（﹣x+1）＝1﹣x2，故此选项不符合题意； D、（x+1）（1+x）不能用平方差公式计算，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 7．（3分）已知a﹣b+2＝5，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【分析】直接把已知代入原式，进而求出答案． 【解答】解：∵a﹣b+2＝5， ∴a﹣b＝3， ∴a2﹣b2﹣6b ＝（a+b）（a﹣b）﹣6b ＝3（a+b）﹣6b ＝3a﹣3b ＝3（a﹣b） ＝3×3 ＝9． 故选：C． 【点评】此题主要考查了代数式求值，正确把已知代入是解题关键． 8．（3分）已知三角形的三条边长分别为a、b、c，则代数式a2+b2﹣c2﹣2ab的值（　　） A．小于零 B．等于零 C．大于零 D．不能确定 【分析】先根据三角形三边关系，判断a﹣b+c和a﹣b﹣c的正负，然后把所求代数式分解因式，进行判断即可． 【解答】解：∵三角形的三条边长分别为a、b、c， ∴a+c＞b，a﹣b＜c， ∴a﹣b+c＝a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0 ∵a2+b2﹣c2﹣2ab ＝a2﹣2ab+b2﹣c2 ＝（a﹣b）2﹣c2 ＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c） ∴（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）＜0， 故选：A． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题关键是熟练掌握三角形三边关系和几种常见的分解因式的方法． 9．（3分）将长、宽分别为x、y的四个完全一样的长方形，拼成如图所示的两个正方形，则这个图形可以用来解释的代数恒等式是（　　） A．（x+y）2＝x2+2xy+y2 B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2 C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2 D．（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy 【分析】利用图形可得出大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个小长方形的面积，写出大正方形的面积、阴影部分小正方形的面积和一个小长方形的面积即可得出答案 【解答】解：根据图形可得：大正方形的面积为（x+y）2，阴影部分小正方形的面积为（x﹣y）2，一个小长方形的面积为xy， 则大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个小长方形的面积， 即（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， 故选：D． 【点评】本题主要考查的是完全平方公式，解题关键是根据图形推出：大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个小长方形的面积． 10．（3分）下列因式分解正确的是（　　） A．a2+a＝a（a+1） B．m2﹣4＝（m+4）（m﹣4） C．2x2+4x﹣2＝2（x2+2x） D．a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1 【分析】利用因式分解的方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵a2+a＝a（a+1）， ∴A选项因式分解正确，符合题意； ∵m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）， ∴B选项因式分解不正确，不符合题意； ∵2x2+4x﹣2＝2（x2+2x﹣1）， ∴C选项因式分解不正确，不符合题意； ∵a2﹣2a+1＝（a﹣1）2， ∴D选项因式分解不正确，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握提公因式法与公式法是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6对任意x都成立，则a+b＝　1　． 【分析】利用单项式乘多项式的法则对等式左边进行整理，再结合等式的性质进行求解即可． 【解答】解：x（x2﹣a）+3x﹣2b＝x3+5x﹣6， x3﹣ax+3x﹣2b＝x3+5x﹣6， x3+（﹣a+3）x﹣2b＝x3+5x﹣6， ∵原式子对任意x都成立， ∴﹣a+3＝5，﹣2b＝﹣6， 解得：a＝﹣2，b＝3， ∴a+b＝﹣2+3＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 12．（3分）若2x2+3x﹣4＝0，则（1﹣2x）（2+x）+3的值为　1　． 【分析】利用多项式乘多项式的运算法则计算（1﹣2x）（2+x）+3，由已知等式得出2x2+3x＝4，再整体代入计算可得． 【解答】解：∵2x2+3x﹣4＝0， ∴2x2+3x＝4， ∴（1﹣2x）（2+x）+3 ＝2+x﹣4x﹣2x2+3 ＝﹣（2x2+3x）+5 ＝﹣4+5 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式及多项式的化简求值，熟练掌握整式乘法的运算法则并具有整体思想是解题的关键． 13．（3分）如图，某区有一块长为（3a+4b）米，宽为（2a+3b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间的边长为（a+b）米的空白的正方形地块将修建一个凉亭．用含有a，b的式子表示绿化总面积为 　（5a2+15ab+11b2）m2　． 【分析】外面大长方形的面积减去中间小正方形的面积． 【解答】解：根据题意： 绿化总面积为：（3a+4b）×（2a+3b）﹣（a+b）2 ＝6a2+9ab+8ab+12b2﹣a2﹣2ab﹣b2 ＝（5a2+15ab+11b2）（m2）． 【点评】本题考查长方形和正方形的面积公式以及整式的乘法计算，理解题意是关键． 14．（3分）甲、乙两个同学因式分解x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+4）（x﹣8），乙看错了a，分解结果为（x﹣2）（x+6）．则a＝　﹣4　，b＝　﹣12　． 【分析】根据多项式乘多项式解决此题． 【解答】解：∵（x+4）（x﹣8）＝x2﹣8x+4x﹣32＝x2﹣4x﹣32， （x+6）（x﹣2）＝x2﹣2x+6x﹣12＝x2+4x﹣12， ∴a＝﹣4，b＝﹣12． 故答案为：﹣4，﹣12． 【点评】本题主要考查多项式乘多项式和十字相乘法因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键． 15．（3分）若3x2﹣mx﹣2因式分解的结果为（3x+2）（x﹣n），则mn＝　1　． 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出所求． 【解答】解：由题意得：3x2﹣mx﹣2＝（3x+2）（x﹣n）＝3x2+（2﹣3n）x﹣2n， ∴﹣m＝2﹣3n，﹣2＝﹣2n， ∴m＝1，n＝1， 则mn＝1． 故答案为：1． 【点评】此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键． 16．（3分）一个正方形，如果先把一组对边加长4cm，再把另一组对边减少4cm，这时得到的矩形面积与原正方形的边长减少2cm后的正方形面积相等，则原正方形的面积是 　25cm2　． 【分析】设原正方形的边长为x cm，根据题意列方程求解即可． 【解答】解：设原正方形的边长为x cm，则长方形的长为（x+4）cm，宽为（x﹣4）cm，由题意得， （x+4）（x﹣4）＝（x﹣2）2， 解得x＝5， 即原正方形的边长为5cm， 因此面积为25cm2． 故答案为：25cm2． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法以及平方差公式的结构特征是正确解答的前提． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）计算： （1）2b（4a﹣b2）； （2）（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）． 【分析】（1）直接利用单项式乘多项式计算得出答案； （2）直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：（1）原式＝8ab﹣2b3； （2）原式＝6x4÷（﹣2x2）﹣8x3÷（﹣2x2） ＝﹣3x2+4x． 【点评】此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18．（6分）因式分解： （1）a2（a﹣b）+b2（a﹣b）； （2）（m2+1）2﹣4m2． 【分析】（1）提取公因式（a﹣b）； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【解答】解：（1）原式＝（a﹣b）（a2+b2） （2）原式＝（m2+1+2m）（m2+1﹣2m） ＝（m+1）2（m﹣1）2． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 19．（6分）已知：A＝x2﹣1，B＝x2y3﹣xy3，C＝（x+1）（x﹣3）+4，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由． 【分析】先将各式因式分解后再判断有没有公因式． 【解答】解：多项式A、B、C有公因式， 理由：∵A＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），B＝x2y3﹣xy3＝xy3（x﹣1），C＝（x+1）（x﹣3）+4＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴多项式A、B、C的公因式是x﹣1． 【点评】本题考查多项式的公因式，将各多项式因式分解是求解本题的关键． 20．（8分）关于a的多项式﹣2ma2+3a﹣1与﹣4a2+（n﹣1）a﹣1的和不含a2和a． （1）求m，n的值； （2）求（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值． 【分析】（1）运用整式的概念和加减运算法则进行求解； （2）先计算整式加减，再代入求解． 【解答】解：（1）（﹣2ma2+3a﹣1）+[﹣4a2+（n﹣1）a﹣1] ＝﹣2ma2+3a﹣1﹣4a2+（n﹣1）a﹣1 ＝（﹣2m﹣4）a2+（3+n﹣1）a﹣2， 由题意得，﹣2m﹣4＝0且3+n﹣1＝0， 解得m＝﹣2，n＝﹣2； （2）∵（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2） ＝4m2n﹣3mn2﹣2m2n﹣2mn2 ＝2m2n﹣5mn2， 由（1）题所得，m＝﹣2，n＝﹣2， ∴原式＝2×（﹣2）2×（﹣2）﹣5×（﹣2）×（﹣2）2 ＝﹣16+40 ＝24， ∴（4m2n﹣3mn2）﹣2（m2n+mn2）的值是24． 【点评】此题考查了整式加减的运算能力，关键是能准确运用法则进行求解． 21．（8分）（1）从边长为a的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1）则阴影部分的面积是 　a2﹣b2　；若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个长方形，则它的长为 　a+b　；宽为 　a﹣b　；面积为 　（a+b）（a﹣b）　． （2）由（1）可以得到一个等式：　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2　． （3）灵活利用（2）中的等式计算： ①9972﹣9； ②20232﹣2022×2024． 【分析】（1）利用正方形的面积公式，图1阴影部分的面积为大正方形的面积﹣小正方形的面积，图2长方形的长为a+b，宽为a﹣b，利用长方形的面积公式可得结论； （2）由（1）建立等量关系即可； （3）①②根据平方差公式进行计算即可． 【解答】解：（1）根据题意可得： 图1阴影部分的面积， 图2长方形的长为：a+b， 图2长方形的宽为：a﹣b， ∴面积为：（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2，a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）； （2）由（1）可得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2， 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； （3）①9972﹣9 ＝（997+3）（997﹣3） ＝1000×994 ＝994000； ②20232﹣2022×2024 ＝20232﹣（2023﹣1）（2023+1） ＝20232﹣（20232﹣1） ＝20232﹣20232+1 ＝1． 【点评】本题主要考查平方差公式的推导，利用面积建立等量关系是解答此题的关键． 22．（8分）若干块正方形和长方形卡片如图1所示，其中甲型、乙型卡片分别是边长为a，b（a＞b）的正方形，丙型卡片是长为a、宽为b的长方形，选取2块甲型卡片，2块乙型卡片，5块丙型卡片，拼成如图2所示的大长方形卡片． （1）观察图2，写出一个多项式的因式分解为：　2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）　； （2）若图2中甲型、乙型卡片的面积和为80，大长方形卡片的周长为48，求大长方形卡片的面积． 【分析】（1）用两种方法表示大矩形的面积即可得到答案； （2）由甲型、乙型卡片的面积和为136，得2a2+2b2＝136，即a2+b2＝68，又大长方形卡片的周长为60，得2[（2a+b）+（a+2b）]＝60，即a+b＝10，利用完全平方公式可得ab＝16，即可求出大长方形卡片的面积为216． 【解答】解：（1）2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）； （2）∵甲型、乙型卡片的面积和为80， ∴2a2+2b2＝80，即：a2+b2＝40， ∵大长方形卡片的周长为48， ∴2[（2a+b）+（a+2b）]＝48，即：a+b＝8， ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴82＝40+2ab， ∴ab＝12， ∴2a2+5ab+2b2＝2（a2+b2）+5ab＝80+60＝140， ∴大长方形卡片的面积为140． 【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方公式和数形结合思想的应用． 23．（10分）阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2＝（a±b）2． 例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方； （2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）； （3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4＝0，求a+b+c的值． 【分析】（1）（2）本题考查对完全平方公式的灵活应用能力，由题中所给的已知材料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分别常数项、一次项、二次项三种不同形式； （3）通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值． 【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三种配方分别为： x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， x2﹣4x+2＝（x）2﹣（24）x， x2﹣4x+2＝（x）2﹣x2； （2）a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab， a2+ab+b2＝（ab）2b2； （3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4， ＝（a2﹣abb2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1）， ＝（a2﹣abb2）（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1）， ＝（ab）2（b﹣2）2+（c﹣1）2＝0， 从而有ab＝0，b﹣2＝0，c﹣1＝0， 即a＝1，b＝2，c＝1， ∴a+b+c＝4． 【点评】本题考查了根据完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2进行配方的能力． 学科网（北京）股份有限公司 $$