突出数学本质 重视研究过程 发展核心素养--高中数学教学应着重把握的几个问题课件

突出数学本质 重视研究过程 发展核心素养 ——高中数学教学中应着重把握的几个问题 人民教育出版社中学数学室 李龙才 1 引言（准确理解数学核心素养——立德树人的抓手） 把握教材的整体结构、研究路径（一般观念） 突出内容的数学本质，渗透相应的数学思想方法 注重研究过程，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模素养 （重视数学对象的获得过程、数学概念的形成过程，发展数学抽象素养；从“一般观念”出发研究数学对象，体现研究方法的引导，发展逻辑推理素养；重视概念背景和知识应用，发展数学建模素养） 问题引导学习 、训练系统（例、习题）有效性、信息技术和数学文化融合 一、准确理解数学核心素养——立德树人的抓手 数学课程（包括教学）目标——落实立德树人根本任务 2012：十八大，将立德树人作为教育的根本任务 2014：教育部《意见》。2016：学生发展核心素养体系（人文底蕴、科学精神；学会学习、健康生活；责任担当、实践创新） 理性思维 2017：高中数学课标2017年版，数学学科核心素养 2018：全国教育大会，德智体美劳，六个下功夫 2019：全国基础教育工作会议，高质量发展 2019：关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见 2019：关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见 2020：深化新时代教育评价改革总体方案 改进结果评价，强化过程评价，探索增值评价，健全综合评价 2022年义务教育课程标准颁布 新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见（2019） 深化课堂教学改革。提高课堂教学效率，培养学生学习能力，促进学生系统掌握各学科基础知识、基本技能、基本方法。 积极探索基于情境、问题导向的互动式、启发式、探究式、体验式等课堂教学，注重加强课题研究、项目设计、研究性学习等跨学科综合性教学。 提高作业设计质量，精心设计基础性作业，适当增加探究性、实践性、综合性作业。 深化考试命题改革。考试命题要以普通高中课程标准和高校人才选拔要求为依据，实施普通高中新课程的省份不再制定考试大纲。 优化考试内容，突出立德树人导向，重点考查学生运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 创新试题形式，加强情境设计，注重联系社会生活实际，增加综合性、开放性、应用性、探究性试题。 把数学讲好就是落实四基、培养四能、发展数学核心素养。 要挖掘数学内在的教育价值，并通过设计自然的过程，将它们体现在教材、教学的各个环节——加强两个过程的合理性（ “数学知识发生发展过程”和“学生思维过程”的合理性） 首先：要深入理解、整体把握教学内容，从数学学科的整体结构、核心内容和重要思想上整体把握和认识数学教学内容，完整地体现好数学的科学性、工具性、价值理性和人文性这些特质，使数学教材成为一个融数学知识、技能、方法、思想和精神于一体的整体。教给学生完整的数学，全面发挥数学的育人功能。 教材、教学中如何落实数学核心素养 6 其次，要让学生经历完整的学习过程。 重视数学对象（包括概念）的获得过程，要注重数学与现实之间的联系，也要注重数学内在的前后逻辑，从现实或数学事实出发，让学生经历归纳、概括事物本质的过程，使学生学会数学地认识问题，这就是用数学的眼光观察世界，也就是落实数学抽象素养、直观想象的素养。 重视要让学生经历数学对象的研究过程，从数学知识的发生发展过程和学生的认知规律出发构建研究问题的思路，重视以“一般观念”为引导发现规律、获得猜想，证明结论，这就是用数学的思维思考世界，也是落实逻辑推理、数学运算的素养。 7 在应用数学知识解决问题的过程中，重视利用数学概念原理分析问题，体现解决问题的过程，学会分析数据，从数据中挖掘信息等。学会用数学的语言表达世界，提升数学建模、数据分析的素养。 怎么经历过程？ 对上述核心内容构建连贯的学习过程（指向深度学习的单元整体设计基础上的课时教学设计） 创设情境+问题引导，通过反映本质、自然连贯、恰时恰点、难易适当的问题，引导学生在一般观念引领下，经历数上述过程，引导学生自己概括出数学的本质，并使学生在数学学习过程中保持高水平的数学思维活动。 二、把握符合数学逻辑和学生认知规律的教科书体系 （整体结构、研究路径、一般观念） 顺序性主要以数学知识的纵向关联为内容组织的逻辑依据，自然而然、水到渠成地引入和展开学习内容。 连续性是指围绕数学课程中的核心概念及其反映的数学思想方法，构建连贯的学习过程，促使学生通过持续的带有探究性的数学活动达成较高的理解水平。 整合性是指数学课程中包含的各主题知识之间的联系，注重把数学课程各主题的内容紧密联系起来，以使学生能从整体上理解数学知识，避免孤立地、零散地理解知识。 关联性指注重学科之间的联系，特别是数学与物理、化学、生物等理科课程的联系。 教科书体系：主要遵循课程标准所设定的结构体系。 预备知识——数学语言、必备工具（定位） 完善教材中数学知识的衔接性、系统性和过程性，为高中数学课程做好知识技能、学习方式、学习心理等方面的准备。 在“集合与常用逻辑用语”中，以初中学过的内容为载体，引导学生用集合语言和常用逻辑用语梳理、表达学过的相应数学内容，实现从具体的初中数学知识向较为抽象的高中数学知识的过渡；高中更加讲究数学的精确性. 在“一元二次函数与方程、不等式”中，通过梳理等式的性质，以“运算中的不变性就是性质”为指导，类比等式的性质研究不等式的性质（思想方法怎么来？）；通过回顾一次函数与一次方程、不等式的内容，类比研究一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式及其图象解法；通过“回顾、梳理—提炼—迁移”，感悟研究问题的思想方法、体会数学的联系性和整体性。 函数 一般到特殊：一般函数基本初等函数；连续函数离散函数。 研究路径：运动变化现象函数的概念、表示函数的图象、性质函数的应用（整体与分段的几个一般观念） 三角函数的处理 课标：强调整体性。“三角函数”纳入“函数”；“三角恒等变换”纳入“三角函数”（可看作性质）。 教材：“事实（周期性现象）—角与弧度—数学对象（三角函数的概念）—图象 与性质（周期性、单调性、奇偶性、最值等）—三角恒等变换—联系与拓展（y=Asin(ωx+φ)）—应用”  。 突出三角函数作为刻画周期运动的数学模型 借助单位圆定义三角函数、研究三角函数 三角恒等变换的和差角公式体现了圆的旋转对称性（推导公式时承上启下）； y=Asin(ωx+φ)处理方式变化（刻画一般匀速圆周运动），应用时用一下三角变换。 不出三角函数线 几何与代数（向量方法统领） 平面向量（必修）空间向量（选择性必修） 路径：概念、运算（线性运算、数量积）、基本定理、坐标表示、应用（几何、三角、物理），分散处理 与 集中处理相结合一般观念 强调向量法，从四个基本法则（运算、基本定理）出发思考和解决问题——突出本质，体现通性（教学中的问题） 解三角形作为向量的应用 课标：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理，能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。 复数（概念、运算、三角表示，向量贯彻始终） 立体几何初步（必修）空间向量与立体几何（选择性必修） 整体局部，基本立体图形、基本图形位置关系用空间向量解决立体几何问题（位置关系、距离、夹角），分散处理与集中处理相结合，删去三视图 解析几何（统一到选择性必修） 直线和圆（确定图形的几何要素、建立方程、研究性质和位置关系）圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线） 曲线与方程：按照课标，不出一般概念，结合具体问题阐释。 直线l上任意一点的坐标一定满足关系式y-y0=k(x-x0) ，坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的点一定在直线l上，我们把方程y-y0=k(x-x0)称为过点P0（x0，y0），斜率为k的直线l的方程。 椭圆上任意一点的坐标（x，y）都满足方程 ⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点（x，y）与椭圆的两个焦点（c，0），（-c，0）的距离之和为2a，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上．我们称方程⑥是椭圆的方程。 充分体现坐标法思想 用向量统领几何与代数主题——向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁。 平面向量：平面几何中的向量方法；余弦定理、正弦定理、解三角形。 复数：复数的几何意义、三角表示；复数代数形式加减运算，乘除运算三角形式的几何意义。 立体几何初步：用向量方法理解判定定理（例：线面垂直）。 空间向量与立体几何：空间直角坐标系；证明判定定理；直线、平面间的位置关系；解决距离、夹角问题。 解析几何：倾斜角引入，斜率公式推导，两点间的距离公式，点到直线距离公式。 概率与统计整体安排 概率在前，统计在后 高中统计属于推断统计，在形式上这么安排可以体现概率的理论基础作用。但由于概率知识不够，没有要求（也不可能）给统计的推断结果用概率进行刻画，推断的合理性主要是基于直观或经验，因此在内容上高中概率作为统计的理论基础体现得并不充分，在必修中更是如此。 18 统计 按处理数据的维数安排统计内容 数据的表示— 数据的特征刻画— 直观推断 数据的表示— 数据的特征刻画— 直观推断或基于概率推断 一维数据 成对数据 必修 选择性 必修 19 概率 必修——概率 随机事件与概率——事件的关系与运算 古典概型——概率的性质 事件的相互独立性 频率与概率 选择性必修——随机变量及其分布 条件概率与全概率公式——计算复杂事件的概率 离散型随机变量——分布、数字特征（期望、方差）——二项分布与超几何分布 连续型随机变量——正态分布 数学建模活动设置在与现实联系紧密的函数、概率与统计等主题中，数学探究活动设置在数学知识的交汇点上。 数学文化不仅融入正文内容之中，而且以“文献阅读与数学写作”栏目为载体对数学文化提出具体的学习要求。 函数的形成与发展；对数概念的形成与发展；几何学的发展；解析几何的形成与发展；微积分的创立与发展。 正文的展开过程是主战场 必修第一册 数学建模 建立函数模型解决实际问题 必修第二册 数学探究 用向量法研究三角形的性质 选择性必修 数学探究 杨辉三角的性质与应用 选择性必修 数学建模 建立统计模型进行预测 三、突出内容的数学本质，渗透相应的数学思想方法 教材重视“讲数学”，通过展示数学概念、结论的形成过程，促使学生领悟数学的本质；通过对学生进行在数学形式下的思考和推理的训练，提高他们的数学思维能力，形成用数学的思想和方法来思考和处理问题的习惯，培育理性精神。 教材重视以数学核心概念及其反映的基本思想为纽带，加强内容的纵横联系，通过类比、归纳、推广、特殊化，使不同内容相互沟通，从而加深对数学的整体性认识，帮助学生建立结构功能优良、迁移能力强的数学认知结构，体会数学的思维方式，提高对数学的整体认识。 23 案例：突出函数所刻画的运动变化现象的本质，渗透研究函数的思想方法 突出函数所刻画的运动变化现象的本质特征 数学研究的数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，无论数量关系中还是空间形式中都充满了运动变化的问题，函数就是对客观事物从运动变化的角度进行数量化研究的数学语言和工具。 高中阶段对于函数的认识已经从初中的“变量之间的单值对应”提升到“数集之间的对应关系”，但其刻画运动变化现象的本质特征没有改变，变化与对应也是研究函数的基本思想方法。 函数刻画了运动变化现象，基本初等函数刻画了某一类具体的运动变化现象。 一次函数——“匀速”变化 指数函数——“指数爆炸”的变化 对数函数——“对数增长”的变化 三角函数——“周期往复”的变化 分段函数——不同阶段有不同变化 二次函数——“匀变速”变化 25 案例：三角函数的研究——突出三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质 刻画循环往复、周而复始的规律——周期性（为什么选三角函数） 最简单——单位圆上的单位角速度匀速圆周运动 用一个模型贯穿全章始终，串联起不同的概念和内容。 刻画圆周运动——任意角及性质 刻画单位圆周运动——三角函数概念 单位圆的对称性——三角函数诱导公式、三角恒等变换公式 三角函数的单位圆定义——三角函数图象与性质 筒车、摩天轮——函数 y=Asin(ωx+φ) 针对具体知识，利用模型的变化，设计更加贴切的情景。 扩大角的范围 实际上是刻画运动规律（运动方程、位置函数） 诱导公式——三角函数的性质 由于三角函数利用单位圆定义，因此利用单位圆的几何性质（对称性），可以研究三角函数的性质，从而得到三角函数的诱导公式。 利用定义，直接得出同角三角函数的关系 周期性——诱导公式一：终边相同角的同一三角函数值相等 三角函数的诱导公式 利用圆的几何性质，得到了同角三角函数之间的基本关系。我们知道，圆的最重要的性质是对称性，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质。由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的对称性。 ——诱导公式的引导语 二（π+ α ） 三（ − α ） 四（ π−α ） 五（ π/2−α ） 旋转对称性——差角公式 P1（cosα，sinα）， A1（cosβ，sinβ）， P（cos(α－β)，sin(α－β))． AP= A1P1 +sin²(α－β) =(cos α－cos β)²+( sin α－sin β)² 三角函数的图象和性质 任意一点——体现函数图象的本质 如何建立模型 如何发现问题、提出数学问题——梳理已学知识，需要一般化 为什么改标题？体现什么？ 研究图象的思想方法从何而来——梳理二次函数图象的研究过程 你认为例1应该怎么安排？其作用是什么？ 三角函数的应用 案例：概率与统计的数学理解 关系与运算 分布与数字特征 计算与性质 样本空间 随机事件 概率 随机变量 概率空间建立的过程： X 样本空间 可测空间 概率空间 导出空间 按概率空间建立的过程安排概率内容 必修 选择性 必修 数学上随机事件、概率、随机变量定义非常麻烦，原因就是涉及到集合可测的问题。比如说，不是所有的子集都是随机事件。对于古典概型，样本空间的子集都是随机事件（可测集），三概念的定义变得简单. 38 概率的变化来自于数学化和理论上的需要； 统计的变化主要反映了“获得”总体取值规律、大数据时代的需要。 概率与统计内容和要求的主要变化 增加 减少 变化 概率 有限样本空间、乘法公式、全概率公式等 几何概型 频率稳定于概率作为确定概率的方法，不作为概率的定义 统计 分层随机抽样的均值和方差、百分位数、样本相关系数 系统抽样 变量的相关关系、事件的独立性在必修和选择性必修中位置互换 统计的变化主要是反映了大数据时代的需要，如分层随机抽样的均值和方差、百分位数、样本相关系数，而系统抽样我想因为它具有的统计含义不丰富，更多是一种操作层面的方法有关。 39 （1）概率更加数学化，强调古典概型的作用。 概念、性质、法则等主要以古典概型为载体，推广得到一般的结论。例如，样本空间，事件的相互独立性、条件概率、概率乘法公式、全概率公式，以及超几何分布等。 （2）统计突出统计学科的特点，强调对统计含义的理解。 例如，强调对概念和方法统计含义的理解，强调对统计思维与确定性思维差异的体会，重视统计方法的可操作性，更加强调统计方法的灵活性。 概率与统计内容和要求的主要特点 （3）对统计软件明确提出了要求，尤其在成对数据的统计分析中。 新教材在概率与统计中，特别注重： 新概念、新原理引入的的必要性、合理性 新概念、新原理的形成过程（结合实例（实际问题的解决过程）+适当理论推导） 概念、原理的应用过程 四、重视数学对象的获得过程、数学概念的形成过程，发展数学抽象素养 数学源于对现实世界的抽象，数学研究对象是从数量和数量关系、图形与图形关系中抽象得到的，数学对象的获得过程蕴含着丰富的数学抽象、直观想象的核心素养。 问题情境（现实、数学、其他学科）——概念（必要性、合理性） 例如，函数是描述客观世界中变量关系和规律的数学模型，因此对于函数及相关概念（基本初等函数、数列、等差数列、等比数列、导数），都要从反映这些概念本质特征的现实情境、数学情境、其他学科情境等问题情境出发，让学生经历归纳其共同特征、概括其本质属性的过程，使学生学会数学地认识问题，学会“用数学的眼光观察世界”，从而发展数学抽象、直观想象的素养。 初中函数概念分析 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数。 变量间的单值对应关系，变量说 在具体的变量背景上定义函数，有利于学生直观认识函数的本质特征，但很难摆脱表达形式（表达式、表格、图象）的束缚，因此很难一般地认识函数，很难把握函数的本质特征。 根据这种定义很难判定两个具有不同表达式的函数f（x）=1和g（x）=sin2x+cos2x是否相同；这种方式定义的函数，没有明确函数的定义域，因此也很难研究函数的性质。 高中阶段的函数概念 给定两个非空实数集合A和B，以及对应关系f，若对于集合A中的每一个实数，集合B中有唯一实数f ()与对应，则称f ()为集合A上的函数。 实数集之间的对应关系，抽象的符号表示，对应关系说 舍去了变量关系的物理属性，摆脱了具体表达方式的束缚，实现了更高层次的抽象。研究函数时只需要思考是否存在一个对应关系，而不在于其具体的表达形式。 对于两个函数，只要其定义域和对应关系这两个要素一致，就可以判断这两个函数相同。 明确了函数的定义域，使得我们可以在定义域甚至定义域内某个区间上研究函数的性质。不同的函数可以进行加、减、乘、除运算。 函数概念教学中的重点 加强背景，从典型实例出发引出函数概念，体现函数刻画运动变化的本质特征，体现“函数模型”思想，在学生头脑中形成丰富的函数例证。 加强概念形成过程，让学生自己归纳概括函数的本质：单值对应（直观语言）→数集之间的单值对应（数学语言）；这个过程就是抽象素养落实的过程。 感性具体理性具体理性一般 教材的做法 章引言：从运动变化现象出发，提出研究函数的问题。 节引言：正方形的周长l与边长x的函数关系l=4x，与正比例函数y=4x相同吗？y=x与是否相同？ 47 教学中可以设问 S是t的函数吗？为什么？（用初中概念判断） “根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350 km∕h后，运行1 h就前进了350km．”这个说法正确吗？ （1）时间t的变化范围是什么？相应的，路程S的变化范围是什么？ （2）能根据现有条件回答“0.6h时对应的距离是多少”吗？ 你认为应该如何更准确地描述S与t之间的对应关系？ 对于数集 中的任一时刻t，按照对应关系s=350t，在数集 中有唯一确定的路程s和它对应。 有解析式，提升点在于明确时间t和路程S的变化范围． 问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天．如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？ 离散型函数 与问题1相比，解析式相同，但定义域不同，是不同的函数。 非连续，进一步体会关注自变量取值范围的重要性。 问题3 给出北京市2016年11月23日的空气质量指数（AQI）变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的值I？你认为这里的I是t的函数吗？ （核心环节是体验值的 对应的具体方式） 对应关系由图象确定，图象形式表达的函数，为引入抽象符号f：A→B表示对应关系埋下伏笔，且值域B 问题4 国际上常用恩格尔系数r（r=）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高．表3.1-1是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况。你认为按表3.1-1给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？（核心环节依然是体验值的对应的具体方式） 对应关系由表格确定，函数的多元联系表示进一步体会引入抽象符号f：A→B，y=f(x)的必要性，值域B 年份 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57 归纳上述问题的共同特征（感性具体理性具体） 上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 都包含两个非空数集，用A，B来表示； 都有一个对应关系； 尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 理性具体理性一般：给出函数定义 辨析、巩固（变化，直接关键点、难点——对应关系） ： 用新定义描述一次函数、二次函数、反比例函数 构建问题情境，解释函数y=x(10－x)的对应关系 两个函数相同（变化）——定义域、对应关系分别相同 经历概念教学的基本环节 概念的引入——从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念； 概念属性的概括——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概括共同本质特征得到本质属性； 概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）； 概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）； 概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤； 概念的精致化——建立与相关概念的联系,纳入概念系统。 幂函数 指数函数——“指数爆炸” 三角函数 数列（等差、等比数列） 导数 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 五、从“一般观念”出发研究数学对象，体现研究方法的引导，发展逻辑推理素养 概念——性质——联系——应用（函数主题获得研究对象） 观察——探索——抽象——概括（猜想）——论证 例：研究函数性质的一般观念 什么是性质：性质就是一类事物共有的特性 什么是函数的性质：变化之中保持的“不变性”就是性质；变化过程中出现的规律性就是性质。现实世界中的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值……这些现象反映到数学中，就是函数值随自变量的增加而增加还是减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质——“单调性”“最大值”“最小值”。 为什么研究函数性质 通过研究函数的变化规律来把握客观世界中事物的变化规律。 怎么研究函数性质 利用图象研究性质，特殊到一般 三步曲 观察图象 ，描述变化规律 结合图、表，用自然语言描述变化规律 用数学符号语言描述变化规律 “利用图象研究性质”是归纳出函数的性质，不是“由图象推导出性质”，函数的性质是其本身的固有属性，不是由它的图象决定的。要注意“回到解析式”，结合解析式推导出变化规律（适度）。 等差数列的前n项和公式——更为合理地构建研究思路，引出运算、代数变换等思想方法，用数列的概念、通项公式和性质推导 倒序相加法 与上版教材比较：强化了基础，进一步加强了思想性和可操作性 累加法、累乘法类似 例：研究代数性质的一般观念 引入一个对象就要研究其运算与运算律 不等式、指数、对数 向量——研究运算及其运算律，使得向量威力无穷；否则知识路标 复数：数系扩充思想引导，向量方法统领 例：几何图形性质的研究（结合主题获得研究对象） 什么是几何图形的性质？ 要素和要素之间确定的关系（位置、数量）就是性质 怎么研究几何图形的性质 直观感知（识图）——操作确认（画图）——度量计算（算图）——推理论证（证图）。 直观想象——逻辑推理 一般到特殊；复杂简单；空间平面 研究平面与平面垂直的性质，就是在两个平面垂直的条件下，能推出哪些结论．这些结论又该从哪个角度提出呢？实际上就是要研究与这两个互相垂直的平面有关的直线、平面之间的关系． 接下来，根据以往的研究经验（平面与平面的关系转化为直线与平面的关系），我们可以研究其中一个平面内的直线与另一个平面的位置关系． 一般到特殊，一般情况是相交，考虑其中的特殊情况，一个平面内的直线与交线平行时，这条直线和另一个平面平行（已研究），一个平面内的直线与交线垂直时，这条直线和另一个平面有什么位置关系？ 证明得到平面与平面垂直的性质定理“两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直”。 对于两个平面互相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线与另一个平面的特殊位置关系。如果直线不在两个平面内，或者把直线换成平面，你又能得到哪些结论？ 例如，已知平面α⊥平面β， 直线a⊥β，aα，判断a与α的位置关系． α β γ 渗透了“位置关系的性质”的研究的思想方法 研究基本图形的某种位置关系的性质，就是探索在这种位置关系下的几何图形的组成元素之间以及与其他同类几何图形所形成的位置关系中出现的确定关系（不变性），具体方法是让“其他几何图形”动起来，看“变化中的不变性”。 这就是落实“四基”“四能”的过程，也是直观想象、数学抽象等数学核心素养落地的过程。最终的目标都聚焦在理性思维上，使学生逐步养成有结构地、有逻辑地思考的习惯。 解析几何加强运算能力的培养 要把握解析几何中运算的特点。解析几何中的运算是建立在几何背景下的代数运算，所以先用几何眼光观察，分析清楚几何图形的要素及其基本关系，再用代数语言表达，而且在运算过程中时刻注意利用图形的几何特征及图形间的关系来简化运算，这是解析几何教学中突破运算难点的关键举措。教学中，提高运算能力不能仅从代数角度入手，还要努力提高学生的几何图形分析能力，也就是要在落实数形结合思想上下功夫。 点到直线的距离公式 点到直线的距离公式推导这个公式有多种方法. 第一种方法是典型的坐标法. 它是解析几何研究问题最基础、最常用的方法，即把点到直线的距离问题转化为已知点与交点之间的距离，交点的坐标可以由两条直线的方程得到，表示点到直线的距离的线段所在直线的方程可以由点斜式得到，其斜率可以由与它垂直的直线的斜率的负倒数求得.它完全通过代数运算，中间过程都是带字母系数的表达式，形式很复杂，得到最终结果需要较强的数学运算能力，这对提升学生的数学运算素养是有利的. 根据直线PQ与已知直线l垂直，可以获得直线PQ的斜率，进而得到直线PQ的方程，由直线PQ和直线l的方程，可以求出它们的交点Q的坐标，利用两点间的距离公式，求出|PQ|是最常见的一种方法，也是基本方法. 第二种方法是“设而不求” 这种方法思路自然，但运算量较大 . 教科书在分析引起复杂运算原因的基础上，提出探究简化运算方法的任务，采取“设而不求”的策略，将方程组 转化为关于的方程组 将③④两边分别平方后相加，得 所以 所以 教科书没有给出上述完整的过程，教学时，可以先让学生探索求解的过程，然后进行补充完善. “设而不求”是学生第一次接触，教学时教师要积极引导，“设”的是什么，“求”的是什么，能不能把点Ｐ到直线ｌ的距离用含有所设未知数的式子表达出来，进而得到整个式子的结果，而不是式子中具体未知数的结果. 这就是“设而不求”的原因. 第三种方法是典型的向量法. 用投影向量的模表示点到直线的距离，把求距离转化为向量数量积的运算，而且把点到直线的距离这个点与已知直线上的点的距离的最小值，用已知点与已知直线上任意一点构成的向量在与已知直线垂直的单位向量上的投影向量的模表示. 这种方法构造性强，需要较高的思维水平以及对向量的深入认识，但是运算较为简便. 这种用一般化的向量(参考向量)处理最特殊的距离（点到直线的距离）的思路给了解决此类问题的通性通法. 在“空间向量与立体几何”一章中，我们有过类似的方法. 其他方法 面积法等 提升运算求解能力 六、重视背景和应用，发展数学建模素养 发展学生数学建模素养 课标：通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学、 社会、工程技术诸多领域的作用，提升实践能力，增强创新意识和 科学精神。 一个数学概念的引入，总有它的现实或数学理论发展的需要。教材中任何一个新概念的引入，都强调它的现实背景、数学理论发展的背景或数学发展历史上的背景，这样才能使教材显得自然、亲切，让学生感到知识的发展水到渠成而不是强加于人，也利于学生更好地理解其本质。 应用数学知识解决实际问题，可以帮助学生更深刻地理解数学知识，利于提高学生的数学学习兴趣，加强应用意识提高数学创造力。教材千方百计地开发数学应用的背景素材，通过解决具有真实背景的问题，引导学生体会数学的作用、数学与生活及其他学科的联系，发展数学建模素养，培养应用意识，提高实践能力。 例：重视函数相关概念产生的背景，体现函数是刻画运动变化现象的数学语言和工具 函数是描述客观世界中变量关系和规律的数学模型，理解函数概念，必须需要相应的运动变化的背景作为支撑。 一般的函数概念：“复兴号”高铁运行、空调维修工人的工资、北京市某一天的空气质量、某市近十年的恩格尔系数四个问题，从“感性具体”到“理性具体再到“理性一般”，抽象得到函数概念。 指数函数刻画了呈现“指数增长”的运动变化现象。现实世界中，细胞分裂、人口增长、放射性物质的衰减等呈现了这种运动变化规律；通过某景区游客人数增长的问题和碳14含量的衰减的问题，引入指数函数的概念。 三角函数刻画周期运动。教科书在三角函数的开篇语中列举了大量现实世界中的周期变化现象，如昼夜交替、四季交替、月亮圆缺、朝夕变化、匀速圆周运动的位置变化、简谐振动的位移变化、交变电流的变化等。在三角函数的概念、诱导公式、图象、性质的研究过程中，一以贯之的运用匀速圆周运动这一最简单的周期变化的背景，以加深学生对三角函数刻画周期运动的本质的理解。 例：重视应用函数模型解决实际问题，发展学生应用意识 通过应用函数解决实际问题，可以帮助学生更好地理解函数如何刻画客观世界事物的变化规律，逐渐掌握建立函数模型解决实际问题的一般过程，体会函数的模型思想。 函数的应用（一）：个税问题、汽车行驶中速率的变化问题。分段函数。 函数的应用（二）：马尔萨斯人口模型、利用碳14推测良渚遗址年代、投资方案的选择、奖励方案的制订。既包括用已知模型解决实际问题，也包括选择合适的模型解决实际问题。 数学建模活动：建立函数模型解决实际问题 数学建模活动 观察实际情景，发现和提出问题 中国茶文化博大精深．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．那么在25℃室温下，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 通过实测数据建立茶水水温关于时间的函数模型，将该茶水温度的实测过程转变为时间估计的问题。使得不用时刻测试水温，根据函数模型，通过简单计算就可以知道大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感． 收集数据 秒表、温度计 计算机、数据采集器、温度传感器等信息技术工具 实验环境、容器形状、不同茶叶等影响，数据可能与教科书不一致，不同小组也可能不一致． 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 85.00 79.19 74.75 71.19 68.19 65.10 分析数据、画散点图 散点图的分布状况呈递减状态，学生可能会提出各种递减函数作为模型，结合几类基本初等函数的变化特征，指导学生做出选择． y＝kax＋25 为什么要加25？ 所选函数一般只能大致反应茶水温度变化的局部规律，难以做到准确刻画每一个具体数据，因此，建立模型之后需要对模型进行检验． 建立和求解模型 利用已知数据求y＝kax＋25中的k，a。 a如何计算？能否直接将一组数据代入求a？（用比的均值求a） 检验模型 画出y＝60×0.922 7x＋25的图象，检验原始数据。 求解问题 将y＝60代入y＝60×0.922 7x＋25，得x≈6.699 7， 所以泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约是7min。 自主开展建模活动 选题 应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？ 用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率 设定方法； 估计阅读一本书所需要的时间． 活动过程指导 撰写活动报告（样例） 交流展示 七、重视问题引导，积累数学活动经验，提升学生发现和提出问题的能力 问题是数学的心脏，问题引导学习 在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学思想方法产生解决问题策略的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，在数学问题变式的“发散点”上，在学生思维的“最近发展区”内，提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，引导学生的思考和探索活动，使他们经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，体会数学研究方法、积累数学活动经验，提升发现和提出问题的能力。 道而弗牵、强而弗抑、开而弗达 八、训练系统（例、习题）的有效性 构建有助于学生巩固知识、领悟思想、积累经验、发展能力、提升核心素养的训练系统。 例题是具有典型性、示范性， 除了为说明知识应用而设置的常规性例题外，根据内容的需要，选取带有开放性、探索性的题目以及实践题（如，在学生先收集资料、实例进行数学实践活动等的基础上，再在课堂里进行讲解） 习题具有针对性、层次性、开放性和探索性等 将练习作为学生课内学习活动的一个组成部分，按课时安排，发挥其课内巩固所学内容之用。习题按功能分为“复习巩固” “综合运用” “拓广探索”三个层次，发挥习题的巩固知识、培养数学能力、拓展知识、深化数学理解和应用的功能，注重习题在培养学生的创新意识和实践能力的重要作用，发挥习题和复习参考题在达成学业要求上的评价功能。 注：上一版教材的习题量偏少，针对性、层次性等都需要改进，特别是具有应用性、开放性、探究性的问题偏少。 例题、练习、习题、复习题 针对性：抓住各章内容的核心，促进概念的理解和思想方法的生成。 有效性：关注通性通法，抓住基本概念，不在技巧上做文章。 创新性：题目具有一定新意，但不离开内容本质这个“根”，不在奇、特上做文章。 应用性：在函数、概率与统计等与现实联系紧密的主题中，加强具有现实背景的问题，体现真正的应用。 探究性：通过栏目、边空、递进式习题等，通过创设情境和问题，帮助学生理解数学知识的本质，提升数学学科核心素养。 例题、练习、习题、复习题 针对性：抓住各章内容的核心，促进概念的理解和思想方法的生成。 有效性：关注通性通法，抓住基本概念，不在技巧上做文章。 创新性：题目具有一定新意，但不离开内容本质这个“根”，不在奇、特上做文章。 应用性：在函数、概率与统计等与现实联系紧密的主题中，加强具有现实背景的问题，体现真正的应用。 探究性：通过栏目、边空、递进式习题等，通过创设情境和问题，帮助学生理解数学知识的本质，提升数学学科核心素养。 层次性：通过“复习巩固”“综合运用”“拓广探索”体现习题的层次和梯度，体现教材有关习题的各部分、各栏目的要求，形成立体化的“四基”“四能”培养系统。 系统性：在复习参考题的选择和编排中，关注单元知识的系统性，帮助学生达到相应单元的学业要求；同时还关注不同数学内容主线之间的联系性以及六个数学学科核心素养之间的协调，帮助学生整体理解、系统掌握学过的数学知识，实现学业质量的相应要求。 精确性：保证科学性和准确性，确保所选例题具有典型性、示范性，所选习题达到能力培养效果。 对练习、习题、复习题的处理 每课时配备练习（3~5个）；每节配备习题（每课时3~5个）；每章配备复习题（每课时1~1.5个）。 “复习巩固、综合运用、拓广探索”，不是按难度分类，是按照习题功能分类，根据学生情况，结合教学功能使用。 关注新题型 用好教材的题目（配合、层次推进、综合应用、体现发展性） 不要把教辅作为教学依据 圆锥曲线： 根据圆锥曲线的方程，a，b，c，p，e等是决定圆锥曲线性质的关键量。圆锥曲线的焦点、顶点、轴、准线、弦及其中点、切线、焦距、长（短）轴的长、焦半径、面积、内接图形（特别是内接三角形、内截矩形等）、角（与焦点、中心等相关）等以及它们之间的相互关系，都可以用这些不变量来表示。对此展开一番研究，能极大地提升学生对圆锥曲线的认识水平。 先是把握圆锥曲线的基本要素、不变量，然后从“相互关系”“相互转化”等角度发现和提出问题、获得性质，然后再通过逻辑推理证明其正确性．在发现曲线性质的过程中，运算、距离、角度、斜率、不变量等核心概念提供了基本思路和方法． 除正文研究简单几何性质外，把那些通过不太复杂的代数运算就能得出的性质及其在现实中的应用设计为例题、习题，让学生进一步体会坐标法的思想。 从“角度”的关系反映性质 重点：如何想到的 104 我们知道，定义揭示了概念的内涵，给出了数学对象的本质属性，是数学对象基本性质的反映．类似的，能否以“角度”换“距离”，通过“运算”发现规律呢？ 平面几何中有“直径上的圆周角是直角”，稍作改造就能得到如下结论： 动点P(x,y)与定点A(－a，0)和B(a，0)的连线的斜率之积是－1，则动点的轨迹是圆．由 获得启发，对椭圆方程做适当变换： ， 这说明，平面直角坐标系中，动点P(x，y)与定点A(－a，0)和B(a，0)的连线的斜率之积是－，则动点的轨迹是椭圆，其方程是．把定点换为A(0，－b)和B(0，b)也有同样结果．实际上，当AB是椭圆的“直径”时也有类似结论． ， 类似的可以得到双曲线的同样结论． 如果一个动点与两个定点连线的斜率之积是一个负（正）常数，那么它的轨迹是椭圆（双曲线）。 九、数学文化融入课程内容，培养学生数学的眼光、思维方式、理性精神等 十、重视融合信息技术，改进内容呈现方式，促进学生理解数学本质 数学是自然的，它的概念、原理、法则、公式、性质等，都有其内在的逻辑必然性。在教学中，为了提升学生的数学素养，需要我们突出数学本质，整体把握数学教学，以数学知识发生发展过程的内在逻辑为基础，加强研究方法的引导（重要数学思想方法的运用），使学生不仅学会具体的数学知识和技能，更能学会如何发现和提出问题，如何思考解决问题的思路。这样，数学的育人目标才能更好地实现。 让我们共同努力！ 敬请批评指正 李龙才 lilc@pep.com.cn 数学学科核心素养怎来的？ 数学核心素养是对影响数学发展的最重要的数学思想的提炼，体现数学的本质 数学发生、发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型——通过抽象，从现实生活中得到数学的概念、原理、公理和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系。 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 Key Laboratory of Applied Statistics of MOE  Northeast Normal University 六个核心素养及其层次性：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象（伴随）、数学运算（特殊）和数据分析（特殊） 三会（落实成学生的行为）：会用数学眼光观察世界——数学抽象+直观想象（数学的第一个特征：一般性），会用数学思维思考世界——逻辑推理+数学运算+直观想象（第二个特征：严谨性），会用数学语言表达世界——数学建模+数据分析+直观想象（第三个特征：应用的广泛性）（+学会学习——义教新课标新增） 113 四基、四能 以“四基”“四能”为载体 ——过程的教学目标不明确，等等 义务教育数学课程标准（2011版） 把双基拓展为四基 基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验（运用数学的思想和方法获得） 把两能拓展为四能 运用数学知识与方法发现问题、提出问题 + 分析问题、解决问题 希望：在数学教学的活动中，引发学生独立思考、与他人交流，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的基本思想，积累思维的和实践的经验。 基本思想： 数学产生和发展过程中必须依赖的思想； 学习数学的人应当具备的基本思维特征。 数学抽象、逻辑推理、数学建模 数学核心素养与四基、四能 数学核心素养的主线是三会，内涵是数学思想 基础是知识与技能，获取方式是过程 是经验的积累，是思维的习惯和做事的习惯 在这个意义上，数学核心素养与四基是一致的。 没有改变的 双基（包括数学思想方法）、三大能力是数学育人目标的内核——与时俱进丰富内涵，万变不离其宗！ 数学核心素阶段（等级）水平 每个核心素养水平涉及四个方面（四个维度）：情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思 情境与问题：情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境， 问题是指在情境中提出的数学问题； 知识与技能 ：主要是指能够帮助学生形成相应数学学科核心素养的知识与技能； 思维与表达 ：主要是指数学活动过程中反映的思维品质、表述 的严谨性和准确性； 交流与反思： 主要是指能够用数学语言直观地解释和交流数学概念、结论、应用和思想方法，并能进行评价、总结和拓展。 每个数学核心素养分为三个水平——水平一、二、三 三种情境：现实情境、数学情境、科学情境 三个层次：熟悉的、关联的、综合的 三类问题：简单的、较为复杂的、复杂的 数学核心素养水平划分的基础——情境、问题 水平一：熟悉的情境，简单的问题； 水平二：关联的情境，较为复杂的问题； 水平三：综合的情境，复杂的问题 没有过程=没有数学核心素养 所谓一般观念，是对内容及其反映的数学思想和方法的进一步提炼和概括，是对数学对象的定义方式、几何性质指什么、代数性质指什么、函数性质指什么、概率性质指什么等问题的一般性回答，例如， 几何图形组成元素之间确定的位置关系、大小关系就是几何图形的性质， 运算中的不变性、规律性就是代数性质等等 是研究数学对象的方法论，对学生学会用数学的方式对事物进行观察、思考、分析以及发现和提出数学问题等都具有指路明灯的作用。 能自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学习的标志，是实现从“知其然”到“知其所以然”再到“知何由以知其所以然”跨越的表现，也是理性思维得到良好发展的表现。 等式的性质与不等式的性质 等式性质3可以进一步化归加法；等式性质4，5可以进一步化归乘法 梳理：自身特性、运算的角度两类 关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基础．那么，不等式到底有哪些性质呢？因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发． 探究 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？  类比等式的性质1，2，可以猜想不等式有如下性质（边猜想边证明）： 性质1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b．即 a＞bb＜a. 性质2 如果a＞b，b＞c，那么a＞c．即 a＞b，b＞ca＞c． 类比等式的性质3~5，可以猜想不等式还有如下性质： 性质3 如果a＞b，那么a+c＞b+c. 性质4 如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc． ——在证明猜想的过程中，进行精细化分类：c＞0， c＜0。 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质．例如，利用性质2，3可以推出： 性质5 如果a＞b，c＞d，那么a+c＞b+d． 事实上，由a＞b和性质3，得a+c＞b+c；由c＞d和性质3，得b+c＞b+d．再根据性质2，即得a+c＞b+d. 利用性质4可以推出： 性质6 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd． （实际上性质5，6可以看成等式性质3，4的推广） 性质7 如果a＞b＞0，那么an＞bn（nN，n≥2）． 性质7可以看作是性质6的特殊化并加以推广 借助实例说明指数增长的含义 案例：导数的内涵与思想 导数概念的本质是瞬时变化率，它高度抽象，为使学生初步理解导数的内涵与思想，教科书以两个典型的变化率问题为载体，以导数概念的本质及其反映的思想方法为指引，引导学生充分经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，展开观察、分析各实例的属性的数学活动，并挖掘其中所蕴含重要思想方法，进而析出各实例中蕴含的导数的本质属性。 跳水运动员的速度 抛物线的切线 问题1 跳水远动员的速度 提出问题 探究问题 ①从平均速度到瞬时速度 ②细致地对“探究”中的问题进行解剖，感知解决问题的思想与方法 ③从解析式的角度观察平均速度的变化趋势。从解析式的角度，更为理性地感受极限过程，体会极限思想 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 ④接着，教科书让学生模仿上述求瞬时速度的过程和方法，求运动员在其他时刻的瞬时速度，形成抽象导数概念的更多具体经验；然后再将上述过程与方法一般化，求任一时刻的瞬时速度，形成瞬时速度的一般形式化表示，从感性到理性，提升对解决问题的思想与方法的认识。 问题2 抛物线的切线的斜率 类比解决“问题1”的过程与方法，探究“如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？”“如何求抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0？”让学生充分经历从割线到切线、从割线斜率到切线斜率的过程，进一步感受解决问题的过程和方法。 抽象概括两个实例在解决问题的思想方法和结果形式上的共同特征 研究一般函数y=f(x)从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，给出导数的概念——导数是瞬时变化率的数学表达。 教学时，应充分体现概念教学的基本环节，至少让学生次经历4次由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程。 过程1：物理学中由平均速度过渡到瞬时速度速度的过程——典型实例分析； 过程2：几何学中特殊曲线由割线过渡到切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程——典型实例分析； 过程3：一般函数y=f(x) 从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程——给出导数的概念； 过程4：一般曲线y=f(x)由割线过渡到切线、由割线斜率过渡到切线斜率的过程——给出导数的几何意义。 进一步地，通过将点附近的曲线不断放大，发现点附近的曲线越来越接近于直线，即在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替，从而帮助学生初步感受微积分的重要思想方法——以直代曲． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 如何研究初等函数的性质 利用函数图象进行研究 如何利用函数图象？ 向量的投影（向量）与向量的数量积 （= (a• ) 其中相同的单位向量 147 向量投影在解决空间距离问题中发挥重要作用 投影向量的几何意义和代数表示，不仅为研究立体几何的距离问题提供了便利，而且还提供了研究距离的方法。 距离：两点间的距离，点到直线的距离，平行线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等。 除两点间距离外，垂直反映了距离的本质，因此借助勾股定理可以直观地研究距离问题。 无论是平面还是直线，法向量都是反映垂直方向的最为直观的表达形式，利用法向量可以刻画表示“距离”的线段的方向。法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了几何直观，又提供了代数定量刻画，因此利用方向向量、法向量和向量投影可以研究距离问题。 在研究距离问题时，参考向量、参考向量的投影向量、二者的差，构成直角三角形，这样，利用勾股定理，结合空间向量的运算，距离问题也就迎刃而解。 例如，教科书在利用空间向量研究点到直线的距离时，就采用了如下投影向量和勾股定理相结合的方式： 如图，P为直线l外的一点，为直线l的单位方向向量。设，则向量在直线l上的投影向量的长。 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ ＝。 （平行直线间的距离） 接下来，通过问题“类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？” 引导学生自己研究两条平行直线之间的距离。 进而，利用投影向量研究点到平面的距离，并渗透利用法向量和投影向量研究距离问题的一般方法： 第一步，确定法向量； 第二步，选择参考向量（向量）； 第三步，确定参考向量到法向量的投影向量； 第四步，利用向量运算求投影向量的长度。 PQ ＝= （直线到平面的距离、平行平面间的距离） 异面直线的距离（与点到平面的距离类似，略） 教学问题： 为什么用向量投影研究点到直线的距离时，不采用参考向量向直线的法向量投影？ 1. 确定直线的要素（点+方向向量） 2. 在空间，直线的法向量组成法平面 向量投影的背景、意义和作用 1. 空间的正交分解（直和） 线性变换的限制 从而利用低维空间研究高维空间的结构和变换 2.利用向量投影证明向量的内积运算对向量的加法运算的分配律 3.求距离的通性通法 $$