反比例函数专项训练——2024-2025学年人教版九年级数学下册第二十六章反比例函数专项练习题

2024-2025学年下学期九年级数学单元专项练习题（人教版） 第二十六章 反比例函数 一、单选题 1．下列各式中，是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则的值可能是（    ） A． B． C．0 D．1 3．有下列函数：①；②；③ ；④；⑤ ；⑥，其中是的反比例函数的有（　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知是关于的一元二次方程的一个根，点、均在反比例函数的图象上，则关于、的大小关系描述正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若点均在反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，顶点B在函数y2＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（    ） A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣ 7．随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种抗菌新药，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间为（    ）    A．4小时 B．小时 C．小时 D．小时 8．已知反比例函数的图象经过平移后可以得到函数的图象，关于新函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，随的增大而增大 B．该函数的图象与轴有交点 C．该函数图象与轴的交点为 D．当时，的取值范围是 二、填空题 9．已知点与点均在反比例函数的图象上，则的值是 ． 10．若点在一次函数的图象上，点P关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则k的值为 ． 11．已知点，在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是 （填>，<或=） 12．矩形面积是，设它的一边长为，则矩形的另一边长与x的函数关系是 ． 13．电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足．已知导线的电阻R为5Ω，通电时间为时导线产生的热量，则I的值为 A． 14．已知点关于y轴的对称点在反比例函数的图象上，则a的值为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ． 16．如图，正方形ABCD的顶点C，D均在双曲线在第一象限的分支上，顶点A，B分别在x轴、y轴上，则此正方形的边长为 ． 三、解答题 17．已知关于的一元二次方程，若方程的一个根是，求另一个根及值． 18．已知y与x成反比例，且其函数图象经过点． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求x的值． 19．生理学家发现每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“嗐转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y（米）是其两腿迈出的步长之差x（厘米）的反比例函数，y与x之间有如表关系， x（厘米） 1 2 3 5 y（米） 7 请根据表中的信息解决下列问题： (1)求出y与x之间的函数解析式； (2)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为35米，则其两腿迈出的步长之差是多少厘米？ 20．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻R为时，求电流I的大小． 21．若以30升/分钟的速度向一个空水池内注水，40分钟可以注满水池，设注水的速度为升/分钟，注满水池需要分钟． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸用24分钟就将这个空水池注满水，求注水的速度． 22．已知当小汽车从甲地到乙地的平均速度为时，所需的行驶时间为．设小汽车从甲地到乙地的平均速度为，所需的行驶时间为． (1)写出v与t之间的关系式； (2)若从甲地到乙地的行驶时间为，求小汽车的平均速度； (3)若从甲地到乙地这段公路规定小汽车的速度不能超过，则从甲地到乙地最少需要多长时间？ 23．如图，已知一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第四象限内的图像交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，的取值范围是多少？ 25．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数关系，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数关系（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为200件．    (1)写出该商品上市以后日销售量y（件）与上市的天数x（天）之间的表达式． (2)当上市的天数为多少时，日销售量为100件？ 26．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，、分别在坐标轴上，点的坐标为，直线分别交，于点，，反比例函数的图象经过点，． (1)求反比例函数的表达式及点、的坐标； (2)点P在第一象限内的反比例函数图象上，且的面积是四边形面积的倍，求点的坐标． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C D B B C C 1．A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． ，是反比例函数，故该选项符合题意； B． ，是正比例函数，故该选项不符合题意；     C． ，是正比例函数，故该选项不符合题意； D． ，不是的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了反比例函数的图象分布，对于反比例函数，当时，图象经过一、三象限；当时，图象经过二、四象限；据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴ 故选：A 3．C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，利用反比例函数的定义，一般地，形如，的函数是反比例函数，对每个式子逐一判断即可得出结论． 【详解】解：反比例函数形式为：， 则①是反比例函数，②不是反比例函数，③是反比例函数， ④是反比例函数，⑤不是反比例函数，⑥不是反比例函数， 故①③④是反比例函数， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，反比例函数的性质；先根据题意得出的值，进而根据反比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得： ∴反比例数解析式为 ∵点、均在反比例函数的图象上， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先判断出反比例函数的图象所在的象限，再根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限随的增大而减小， 点，，均在第三象限， ， ． 故选：B． 6．B 【分析】设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a，根据直角三角形30°角的性质和勾股定理分别计算点A和B的坐标，写出A和B两点的坐标，代入解析式求出k1和k2的值，相比即可． 【详解】∵在直角三角板AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°， ∴∠OAC＝60°， ∵AB⊥OC， ∴∠ACO＝90°， ∴∠AOC＝30°， 设AC＝a，则OA＝2a，OC＝a， ∴A（a，a）， ∵A在函数y1＝（x＞0）的图象上， ∴k1＝a•a＝a2， Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a， ∴BC＝＝3a， ∴B（a，﹣3a）， ∵B在函数y2＝（x＞0）的图象上， ∴k2＝﹣3a•a＝﹣3a2， ∴； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的特征、直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半，正确写出A、B两点的坐标是关键． 7．C 【分析】先求出正比例函数解析式，反比例函数解析式，令，确定两个函数自变量的值，其差就是持续的时间． 【详解】设正比例函数解析式为，反比例函数解析式为， 把分别代入解析式，得， 解得， 故函数的解析式为， 当时，， 解得， 故持续时间为（小时）， 故选C． 【点睛】本题考查了正比例函数解析式，反比例函数解析式的确定，应用，熟练掌握解析式的确定和应用是解题的关键． 8．C 【分析】由反比例函数的性质可知，反比例函数当或时，随的增大而减小，且关于对称；经过平移后得到，关于对称，增减性不变． 【详解】解：A．当时，随的增大而减小，本选项错误，不符合题意； B．该函数的图象与轴无限接近，但是没有交点，故本选项错误，不符合题意； C．该函数图象与轴的交点为，故本选项正确，符合题意； D．当时，的取值范围是，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数图象的平移；解题的关键是掌握反比例函数图象与系数的关系． 9．0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，纵横坐标之积相等是解题的关键 根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解答； 【详解】解：点与点均在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， 故答案为：0 10． 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，适合函数解析式的某点一定在函数的图象上．把P的坐标代入一次函数的解析式求得P的坐标，然后求得关于y轴的对称点，然后代入反比例函数的解析式即可求得答案． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 则P的坐标是：，P关于y轴的对称点是：，． 把代入反比例函数的解析式得： 解得：． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了反比例函数的性质；由得双曲线的两支分别位于第一、三象限，由即可判断大小；能根据图象分布象限判断函数值的正负是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， 故答案：． 12． 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，根据矩形的面积公式得到y与x之间的函数关系式即可． 【详解】解：∵长方形的面积为，一边长为，另一边长为， ∴，即． 故答案为：． 13． 【分析】直接利用已知结合运算公式计算，进而得出答案． 【详解】解：，导线的电阻为，通电时间为时导线产生的热量， ， 解得：， 则的值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确运用已知运算公式是解题关键． 14． 【分析】本题考查了反比例函数的定义，关于y轴对称的点的特征，先根据关于y轴对称的点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点关于y轴的对称点为，再代入，计算即可． 【详解】解：与关于y轴的对称， ， 解得：， 故答案为：． 15． 【分析】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图像在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 16． 【分析】过D作DE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F，设A（a，0），B（0，b）；由正方形的性质可得△ABO≌△DAF，△ABO≌△BCE，从而可得D（a+b，a）、C（b，a+b）两点坐标，根据两点在双曲线上，代入可得a=b；由D（2a，a）代入求得a2即可解答； 【详解】解：如图，过D作DE⊥x轴于E，过C作CF⊥y轴于F， 设A（a，0），B（0，b）， ABCD是正方形，则AD=AB=BC，∠BAD=∠ABC=90°， ∵∠BAO+∠DAF=90°，∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠DAF， ∵AB=DA，∠AOB=∠DFA=90°， ∴△ABO≌△DAF（AAS），∴OA=DF=a，OB=FA=b， ∴D点坐标（a+b，a）， 同理可得△ABO≌△BCE（AAS），∴OA=BE=a，OB=EC=b， ∴C点坐标（b，a+b）， ∵C、D两点在双曲线上， ∴b（a+b）=10，a（a+b）=10， ∴b（a+b）=a（a+b），∴b=a， ∴△ABO是等腰直角三角形， 将D（2a，a）代入，得：a2=5， ∴AB=， 故答案为：； 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数解析式，勾股定理等知识；综合性强，正确作出辅助线是解题关键． 17．另一个根是，的值是 【分析】把方程的一个根是代入一元二次方程可求出的值，再把的值代入即可求解另一个根． 【详解】解：∵方程的一个根是， ∴，解得，， ∴一元二次方程为， ∴，解得，， ∴另一个根是，的值是． 【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的根求参数，求根，掌握根据方程的根求参数的方法，解一元二次方程的方法是解题的关键． 18．(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质： （1）设y与x的函数关系式为，将代入即可； （2）将代入（1）中所求解析式，即可求出x的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 将代入，得：， 解得， y与x的函数关系式为； （2）解：由（1）得， 将代入，得：， 解得． 19．(1)y与x之间的函数解析式为 (2)某人走出的大圆圈的半径为35米，其两腿迈出的步长之差是厘米 【分析】（1）将代入函数解析式为，运用待定系数法解答即可； （2）令，求得x的值即可解答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数解析式为，    将代入得，    ∴， ∴y与x之间的函数解析式为； （2）当时，即，   解得    ∴某人走出的大圆圈的半径为35米，其两腿迈出的步长之差是厘米 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与实际的综合应用等知识点，理解反比例函数的定义及图象的特点是解题的关键． 20． 【分析】 本题主要考查了反比例函数的实际应用，先设出电流I（单位：）与电阻R（单位：）的函数关系式为，利用待定系数法求出解析式，进而求出当时，I的值即可得到答案． 【详解】解：设电流I（单位：）与电阻R（单位：）的函数关系式为， 把代入中得：， ∴， ∴电流I（单位：）与电阻R（单位：）的函数关系式为， ∴当时，， ∴电流I的大小为． 21．(1) (2)50升/分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据水池容积不变，得到等式，即可求解； （2）将代入（1）所得方程，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 则， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，有， 解得， 注水的速度为50升/分钟． 22．(1)； (2)小汽车的平均速度为； (3)从甲地到乙地最少需要． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求出函数关系式是解题关键． （1）由题意得到甲地到乙地的距离为，再根据速度距离时间，即可得到的关系式； （2）将代入（1）所得关系式，即可求解； （3）由题意可知，则当时，为最小值，即可求解． 【详解】（1）解：小汽车从甲地到乙地的平均速度为时，所需的行驶时间为， 甲地到乙地的距离为， v与t之间的关系式为； （2）解：当时，则， 即小汽车的平均速度为； （3）解：小汽车的速度不能超过， ， 当时，为最小值， 即从甲地到乙地最少需要． 23．(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）把代入函数，再求出反比例函数解析式即可； （2）求解点的坐标为，设，根据，结合三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，将点代入， 得，即， ∴． 又∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为 （2）解：当时， ∴， ∴点的坐标为， 设，可得， ∴， 解得∶或， ∴点的坐标为或． 24．(1) (2)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图像解不等式等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数图像与性质是解决问题的关键． （1）利用待定系数法将点的坐标代入解方程即可得到答案； （2）当时，的取值范围是反比例函数图像在直线上方部分对应的范围，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入，得，解得， ∴直线的表达式为， ∵点在直线上， ， ， ∵点在反比例函数的图像上， ， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：联立方程组，解得， ，， 时，令，，则，即反比例函数图像在直线上方，过与的交点作轴的垂线，垂直于轴的三条直线将平面分成4部分，如图所示： 观察图像可知，当时，的取值范围是或． 25．(1)当时，；当时，； (2)10天或40天 【分析】（1）将已知点的坐标分别代入到正比例函数和反比例函数中，利用待定系数法确定其解析式即可； （2）直接利用函数解析式分别得出答案． 【详解】（1）当时，设，把代入得：， ∴； 当时，设，把代入得：， ∴， ∴当时，；当时，； （2）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 故当上市的天数为10天或40天时，日销售量为100件． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数模型． 26．(1)，， (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积，矩形的性质等知识； （1）根据点的坐标，矩形的性质可求点的纵坐标，点的横坐标，把点的纵坐标、点的横坐标代入直线解析式可求点的横坐标、点的纵坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求出，即可求解； （2）根据割补法求出四边形面积，然后根据“的面积是四边形面积的倍”可求点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵，四边形是矩形， ∴， 将代入得：， 解得， ∴， 把的坐标代入得：， 解得， ∴反比例函数的表达式是． 将代入得：， ∴． （2）解：由题意可得： ， ∵的面积是四边形面积的3倍， ∴， 即，解得， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$