精品解析：期中综合素质评价 试题 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

期中综合素质评价 限时：90分钟 满分：120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为（　　） A. B. C. D. 2. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为（　　） A. 1：2 B. 1：3 C. 1： D. ：1 3. 下列关于抛物线的说法正确的是 A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为 C. 在对称轴右侧，随的增大而增大 D. 抛物线与轴有两个交点 4. 在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是( ) A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图象经过点，且当时，．若也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　） A 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90° 7. 如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（　　） A. B. C. D. 8. 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此大桥主架顶端离水面的高为（ ） A. B. C D. 9. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 若二次函数y＝的图象开口向下，则m的值为__________． 12. 在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________． 13. 定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．则抛物线与直线的“向心值”为______． 14. 在平行四边形中，锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 15. 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是__________（填写序号）． 三、解答题(共75分) 16. 计算： （1） ． （2）． 17. 如图，的边在x轴上，其中B点坐标为且． （1）求经过A，B，O三点的抛物线的表达式； （2）将（1）中的抛物线沿x轴向右平移，设点A，B的对应点分别为点，，若四边形为菱形，求平移后的抛物线的表达式． 18. 在日常生活中我们经常使用订书机，如图，是订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知． （1）如图1，当，B、E之间的距离为，求连接杆的长度． （2）现将压柄从图1的位置旋转到与底座垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离． 19. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 20. 如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）． （1）请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明； （2）根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标； （2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中综合素质评价 限时：90分钟 满分：120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sinB的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的值，再利用正弦函数的定义计算即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2， ∴AB=， ∴sinB==， 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义． 2. 某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度为（　　） A. 1：2 B. 1：3 C. 1： D. ：1 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡面距离和垂直距离，利用勾股定理求出水平距离，然后求出坡度． 【详解】水平距离==4， 则坡度为：2：4=1：2． 故选A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比． 3. 下列关于抛物线的说法正确的是 A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为 C. 在对称轴的右侧，随的增大而增大 D. 抛物线与轴有两个交点 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知二次函数二次项系数为负数，故开口方向向上；顶点坐标为（0，2）；在对称轴的右侧y随x的增大而减小. 【详解】由题可知二次函数二次项系数为负数，故开口方向向下；顶点坐标为（0，2）；在对称轴右侧y随x的增大而减小， 故选D. 【点睛】了解二次函数的图像特点是解题的关键. 4. 在平面直角坐标系中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由四条抛物线的顶点为，根据待定系数法求得解析式即可判定． 【详解】解：由图象可知，四条抛物线的顶点为，设抛物线解析式为 ∵抛物线与轴的交点为，∴； ∵抛物线与轴的交点为，∴； ∵抛物线与轴的交点为，∴ ； ∵抛物线与轴的交点为，且，∴； 综上，二次项系数绝对值最小的是． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质以及待定系数法求二次函数的解析式，根据点的坐标求得解析式是解题的关键． 5. 已知二次函数的图象经过点，且当时，．若也在该二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先利用抛物线的对称性确定抛物线的对称轴为直线，再确定抛物线的开口方向，然后根据二次函数的性质，通过比较点M、N、P到直线的距离大小得到对应函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数图象经过， ∴二次函数的对称轴为直线， 将分别代入二次函数表达式得， 解得， ∴二次函数表达式为， 当时，， 时，， ， ， 又到对称轴的距离从远即近为， 故选C． 6. 已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　） A. 0°＜∠A＜30° B. 30°＜∠A＜45° C. 45°＜∠A＜60° D. 60°＜∠A＜90° 【答案】C 【解析】 【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律，再通过具体数值确定其大致范围. 【详解】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，则可知正切值随角增大而增大， 由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°． 故选择C． 【点睛】熟悉特殊角的正切值以及由此判断正切函数随角度变化的变化规律是解题关键. 7. 如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC中，AC＝k，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD＝AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在直角三角形ABC中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半表示出AB的长，再利用勾股定理求出BC的长，由CB+BD求出CD的长，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出所求即可． 【详解】在Rt△ABC中,AC=k,∠ACB=90°,∠ABC=30°， ∴AB=BD=2k,∠BAD=∠BDA=15°,BC=k， ∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°， 在Rt△ACD中,CD=CB+BD=k+2k， 则tan75°=tan∠CAD===2+， 故选B 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键. 8. 南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A处测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离，则此大桥主架顶端离水面的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出和是解题的关键． 在和中，由三角函数得出，，根据即可求解． 【详解】和中，，， ∴，， ∴． 故选C． 9. 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案． 【详解】解：由方程组得ax2＝−a， ∵a≠0 ∴x2＝−1，该方程无实数根， 故二次函数与一次函数图象无交点，排除B． A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错； C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选C． 【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上． 10. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 二、填空题(每题3分，共15分) 11. 若二次函数y＝的图象开口向下，则m的值为__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据二次函数y＝的图象开口向下，可以求得m的值． 【详解】∵二次函数的图象开口向下， ∴， 解得，m＝﹣1， 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查二次函数的性质、定义和图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 12. 在中，，．若是锐角三角形，则边长的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是正确作出辅助线．作的高，，根据题意可得，，在中，根据三角函数可得，即，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作的高，， 是锐角三角形， ，在的内部， ，， 在中，，， ， ， 又， ， 故答案为：． 13. 定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，叫做这两个函数的“向心值”．则抛物线与直线的“向心值”为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，解题的关键是熟练掌握正确分析“向心值”的概念．根据“向心值”的概念让两个表达式相减，然后求解得到的二次函数最小值即可． 【详解】解：∵两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离为这两个函数的“向心值”， ∴设“向心值”为w， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 14. 在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则__________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 【详解】解：当在之间时，作下图， 根据，不妨设， 由翻折的性质知：， 沿直线翻折至所在直线， ， 。 ， 过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图， 根据，不妨设， 同理知：， 过作的垂线交于， ， ， 故答案为：或． 15. 抛物线（a，b，c是常数，）经过，两点，且．下列四个结论： ①； ②若，则； ③若，则关于x的一元二次方程 无实数解； ④点，在抛物线上，若，，总有，则． 其中正确的是__________（填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得抛物线对称轴，即可判断①，根据，两点之间的距离大于，即可判断②，根据抛物线经过得出，代入顶点纵坐标，求得纵坐标的最大值即可判断③，根据④可得抛物线的对称轴，解不等式，即可求解． 【详解】解：∵（a，b，c是常数，）经过，两点，且． ∴对称轴为直线， ， ∵， ∴，故①错误， ∵ ∴，即，两点之间的距离大于 又∵ ∴时， ∴若，则，故②正确； ③由①可得， ∴，即， 当时，抛物线解析式为 设顶点纵坐标为 ∵抛物线（a，b，c是常数，）经过， ∴ ∴ ∴ ∵，，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为，而， ∴关于x的一元二次方程 无解，故③正确； ④∵，抛物线开口向下，点，在抛物线上， ，，总有， 又， ∴点离较远， ∴对称轴 解得：，故④正确． 故答案为：②③④． 三、解答题(共75分) 16. 计算： （1） ． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数的混合运算、实数的混合运算： （1）将特殊角三角函数值代入，再进行二次根式的混合运算即可； （2）先化简绝对值，代入特殊角三角函数值，计算零次幂，再进行加减运算． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，的边在x轴上，其中B点坐标为且． （1）求经过A，B，O三点的抛物线的表达式； （2）将（1）中的抛物线沿x轴向右平移，设点A，B的对应点分别为点，，若四边形为菱形，求平移后的抛物线的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意推出，设所求抛物线的表达式为，将B的坐标代入求解，即可解题； （2）利用勾股定理得到，结合菱形性质推出，再根据平移特点得到，即可求解平移后抛物线的表达式． 【小问1详解】 解： B点坐标为且， 作于点， ， ． 又， 设所求抛物线的表达式为， 将点B的坐标代入，可得， ， ，即； 小问2详解】 解：由题意可得，， 四边形为菱形， ， 抛物线沿x轴向右平移， ， 的顶点为B，且B的对应点为点， 易知平移后抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，待定系数法求函数解析式，等腰三角形性质，勾股定理，菱形性质，二次函数平移的特点，解题的关键在于熟练掌握相关定理性质． 18. 在日常生活中我们经常使用订书机，如图，是订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B滑动，在滑动过程中，的长保持不变，已知． （1）如图1，当，B、E之间的距离为，求连接杆的长度． （2）现将压柄从图1的位置旋转到与底座垂直，如图2所示，求在此过程中点E滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作交与点P，在中，通过解直角三角形可求出的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度； （2）在中，利用勾股定理可求出的长度，结合（1）中的长度即可求出答案． 【小问1详解】 解：在图1中，过点D作交与点P， 在中，， 在中，， ∴， 即连接杆的长度为； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴在此过程中点E滑动的距离为， 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 19. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． （1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 【答案】（1），每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元 （2）这天售出了64辆轮椅 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于的一元二次方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； ∵每辆轮椅的利润不低于180元， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，每天的利润最大，为元； 答：每辆轮椅降价20元时，每天的利润最大，为元； 【小问2详解】 当时，， 解得：（不合题意，舍去）； ∴（辆）； 答：这天售出了64辆轮椅． 20. 如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪（皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小）． （1）请你设计测量教学楼的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上（测出的距离用等表示，测出的角用等表示），并对设计进行说明； （2）根据你测量的数据，计算教学楼的高度（用字母表示）． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为即可； （2）过C作于E，分别在和中，利用正切的定义求出、，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到的距离为m，用测角仪测出A的仰角为，测出B的俯角为； 【小问2详解】 解：如图，过C作于E， 则四边形是矩形，，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 答：教学楼的高度为． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标； （2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接，，求面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1），顶点坐标为 （2）最大值为，此时点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）由待定系数法求抛物线解析式，进而求解顶点坐标即可； （2）利用割补法将的面积分割成更容易计算的形式，过点作直线轴交直线于点，将分割成和两部分，进而求解即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴， 解得：， 抛物线的函数表达式为， ， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ； 设直线的表达式为， 则 ， 解得：， ∴直线的表达式为， 过点作轴，交于点，如图． 设，则， ； ， ， ∴当时，的值最大，最大值为，此时点的坐标为； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$