精品解析：2024-2025学年北师大版九年级上学期期末数学模拟试题（九上全＋九下第一章）

2024-2025学年九年级上学期期末数学模拟试题 （九上全＋九下第一章） 考试范围：北师大版九上全＋九下第一章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，，DE=6，则BC的长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 5. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0.4 D. 0.6 6. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A B. C. D. 7. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 (　　　) ． A. 4.8 B. 3 C. 5 D. 3 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小强从热气球上A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（ ）米． A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 10. 如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题） 二、填空题 11 若，则________． 12. 如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝32°，则∠ADE的度数为_____． 13. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 14. 如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点.，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则______． 15. 如图，在矩形中，点在上，若且，则的长为__________． 三、解答题 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）利用网格线画，使它与关于直线对称； （2）在直线上作点，使的值最小，此时_______； （3）在直线上找一点，使点到、两边的距离相等． 18. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF正方形？请说明理由． 19. 我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有_______名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是_______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或面树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率． 20. 世纪华联超市准备进一批每个进价为35元的小家电，经市场调查预测，当每个售价定为45元时可售出360个：每个定价每增加1元，销售量将减少6个． （1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示） （2）世纪华联超市若准备获得利润7200元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？ （3）世纪华联超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？ 21. 如图，反比例函数y=与反比例函数y=k2+b的图象的交点为A（m,1）、B（-2,n），OA与轴正方向的夹角为α，且tanα=． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）设直线AB与x轴交于点C，且AC与x轴正方向的夹角为β，求tanβ的值． 22. 【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是________ A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 23. 平面内有一个等腰直角三角板，，点直线上，过作于，过作于．当点与点重合时（如图①），易证：． （1）当三角板绕点顺时针旋转至图②、图③的位置时，请猜想，，之间的数量关系，并直接写出猜想的结论．（提示：过点做直线的垂线，交直线于．） （2）请选择（1）中的任意一种结论进行证明． （3）若，，则_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期期末数学模拟试题 （九上全＋九下第一章） 考试范围：北师大版九上全＋九下第一章；考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 如图是一个零件的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看该零件的示意图是一个大矩形，且中间有2条实线段， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意， B．若，不是一元二次方程，故本选项不符合题意， C．，方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D．整理为：，不是一元二次方程，故本选项不符合题意， 故选：C． 3. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的定义．先把方程化为一般式，再利用根的判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即m取值范围为且． 故选：D 4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，，DE=6，则BC的长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可得，再根据，DE=6，即可得出，进而得到BC长． 【详解】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 又∵，DE=6， ∴， ∴BC=10， 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 5. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ） A. 8 B. 12 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键． 【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在阴影部分的概率为， 设阴影部分面积为S，则， 即：， ∴黑色阴影的面积为12， 故选：B． 6. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得F，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意做出示意图，则，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴（负值舍去）． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键． 7. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 (　　　) ． A. 4.8 B. 3 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由折叠的性质得出EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，由ASA证明△ODP≌△OEG，得出OP＝OG，PD＝GE，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6−x，DG＝x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：如图所示，设BE与CD交于点G, ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8， 根据题意得：△ABP≌△EBP， ∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8， 在△ODP和△OEG中， ∠D＝∠EOD＝OE,∠DOP＝∠EOG， ∴△ODP≌△OEG（ASA）， ∴OP＝OG，PD＝GE， ∴DG＝EP， 设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6−x，DG＝x， ∴CG＝8−x，BG＝8−(6−x)＝2＋x， 根据勾股定理得：BC2＋CG2＝BG2， 即62＋(8−x)2＝(x＋2)2， 解得：x＝4.8， ∴AP＝4.8， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 8. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 9. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（ ）米． A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】由求出的值，由求出的值，对计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴米 ∵ ∴米 ∴米 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于根据特殊角的正切值进行求解． 10. 如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可证明△DAP≌△ABQ，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD•OP，故②正确；根据△CQF≌△BPE，得到S△CQF=S△BPE，根据△DAP≌△ABQ，得到S△DAP=S△ABQ，即可得到S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE的长，进而求得QE的长，证明△QOE∽△POA，根据相似三角形对应边成比例即可判断④正确，即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°． ∵BP=CQ， ∴AP=BQ． 在△DAP与△ABQ中，∵， ∴△DAP≌△ABQ， ∴∠P=∠Q． ∵∠Q+∠QAB=90°， ∴∠P+∠QAB=90°， ∴∠AOP=90°， ∴AQ⊥DP； 故①正确； ∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°， ∴∠DAO=∠P， ∴△DAO∽△APO， ∴， ∴AO2=OD•OP．故②正确； 在△CQF与△BPE中，∵， ∴△CQF≌△BPE， ∴S△CQF=S△BPE． ∵△DAP≌△ABQ， ∴S△DAP=S△ABQ， ∴S△AOD=S四边形OECF；故③正确； ∵BP=1，AB=3， ∴AP=4． ∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°， ∴△PBE∽△PAD， ∴， ∴BE， ∴QE， ∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°， ∴△QOE∽△POA， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质即可得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12. 如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝32°，则∠ADE的度数为_____． 【答案】26°． 【解析】 【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到∠ADB和∠EDB的度数，然后即可得到∠ADE的度数． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∠CDB＝∠EDB， ∵AD∥BC，∠CBD＝32°， ∴∠CBD＝∠ADB＝32°， ∵∠C＝90°， ∴∠CDB＝58°， ∴∠EDB＝58°， ∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝58°﹣32°＝26°， 故答案为：26°． 【点睛】本题考查折叠性质，平行线的性质，明确题意，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 13. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=____m． 【答案】5.5 【解析】 【详解】在△DEF和△DBC中，， ∴△DEF∽△DBC， ∴， 40cm=0.4m，20cm=0.2m， 即， 解得BC=4， ∵AC=1.5m， ∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m 故答案为：5.5m 【点睛】考点：相似三角形 14. 如图，点A是双曲线上一点，过点A分别作轴，轴，垂足分别为B，C两点.，与双曲线分别交于D，E两点，若四边形的面积为6，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，掌握反比例函数上的点向轴和轴引垂线形成的矩形的面积等于反比例函数的值是解题的关键． 由反比例函数的几何意义得，，，再根据即可求出k的值． 【详解】解：∵D，E在反比例函数的图像上且图像在第二象限， ∴，， ∵点A是双曲线上一点，且图像在第二象限， ∴， ∵， ∴，解得：． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点在上，若且，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别以AB、DC为直角边，以A、D为直角顶点作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形DCG构造出一线三等角，此时可以得出，，设AB为x，则，解得，舍去负数的情况，则． 【详解】解：如图所示，分别以AB、DC为直角边，以A、D为直角顶点作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形DCG， ∴, ∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设AB长为x，， ， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线构建一线三等角模型． 三、解答题 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，实数的混合运算， （1）运用因式分解的方法解一元二次方程即可； （2）先计算绝对值，特殊角的三角函数值，负指数幂，去括号运算，再根据实数的混合运算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得，； （2） ． 17. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的． （1）利用网格线画，使它与关于直线对称； （2）在直线上作点，使的值最小，此时_______； （3）在直线上找一点，使点到、两边的距离相等． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形、正方形的性质、等腰三角形的三线合一、角平分线的性质定理，熟练掌握轴对称图形的画法是解题关键． （1）先分别画出点关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线交点即为点，再根据正方形的性质即可得的度数； （3）连接，与直线的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所作． ． 【小问2详解】 解：如图，点即为所作． 由网格可知，是正方形两条对角线形成的夹角， 则， 故答案为：． 【小问3详解】 解：如图，点即为所作． ． 18. 如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）等腰直角三角形. 【解析】 【详解】试题分析： （1）先证四边形ABDF是平行四边形，再证结论； （2）由四边形ADCF是正方形来证明△ABC是等腰直角三角形. 试题解析： （1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB， ∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，则AF=DC=AD， ∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形； （2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCF是正方形， 理由：∵四边形ADCF是正方形，∴∠ADC=90°，AC=DF，AF=DC. ∵点D，E分别是边BC，AC的中点，AB=2DE，∴AB=DF，所以AB=AC. ∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，∴BD=CD=AD， ∴∠BAC=90°， ∴△ABC是等腰直角三角形. 19. 我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题： （1）本次被调查的学生有_______名，补全条形统计图； （2）扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是_______； （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或面树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率． 【答案】（1）本次被调查的学生人数为名；补全条形统计图见解析； （2）； （3）甲和乙同学同时被选中的概率为． 【解析】 【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键，理解条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （）根据篮球的人数和占所占的百分比求出总人数；用总人数乘以足球所占百分比，即可求出足球的人数，从而补全统计图； （）用排球的人数除以总人数再乘以360°即可求出扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数的值； （）根据题意先画出树状图得出所有等可能的情况数和同时选中甲和乙的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 本次被调查的学生人数为（名）， 选择“足球”的人数为（名），补全条形统计图如下： 【小问2详解】 扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是： 【小问3详解】 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有种， ∴（甲和乙同学同时被选中） ， 答：甲和乙同学同时被选中的概率为． 20. 世纪华联超市准备进一批每个进价为35元的小家电，经市场调查预测，当每个售价定为45元时可售出360个：每个定价每增加1元，销售量将减少6个． （1）设每个定价增加x元，此时的销售量是多少？（用含x的代数式表示） （2）世纪华联超市若准备获得利润7200元，并且使进货量较少，则每个应定价为多少元？ （3）世纪华联超市若要获得最大利润，则每个应定价多少元？ 【答案】（1）（个）；（2）75元；理由见解析；（3）每个定价为70元时，获得的最大利润为7350元；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据总利润=单个利润销售量解一元二次方程，舍去较大值可计算得答案； （3）根据总利润=单个利润销售量，利用二次函数的性质即可得解． 【详解】解：（1）：定价每增加1元，销售量将减少6个 设每个定价增加x元，此时的销售量是（个）； （2）由题意可得： 整理得： 解得， 使进货量较少，（舍去）， 每个定价元； （3）由题意可知，所获利润 当时， 所以每个定价为70元时，获得的最大利润为7350元． 【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用；解决本题的关键在于根据题干列出代数式，用总利润=单个利润销售量建立一元二次方程和二次函数，根据其相关的要求和性质准确作答． 21. 如图，反比例函数y=与反比例函数y=k2+b的图象的交点为A（m,1）、B（-2,n），OA与轴正方向的夹角为α，且tanα=． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）设直线AB与x轴交于点C，且AC与x轴正方向的夹角为β，求tanβ的值． 【答案】（1）反比例函数为 ，直线AB的解析式为y＝x－1；（2）. 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数表达式，需要知道图像上点的坐标，根据，构造直角三角形OAE，把三角函数值转化为边的比，可求出A点横坐标，把A坐标代入，求得反比例函数解析式 ，把B坐标代入求出n=-2，把A、B坐标代入y=k2x+b即可求出一次函数解析式；（2）易求C坐标（2,0），在Rt△ACE中，AE=1，CE=2，可求出tanβ的值. 【详解】(1)过A作AE⊥x轴于E， ∵tan∠AOE=，∴OE=4AE.又∵A（m，1），∴AE=1，OE=4，∴点A（4,1）.∵A点在反比例函数图像上，∴k1=4,∴反比例函数为 .∵B（-2，n）在反比例函数图像上，∴n=-2， ∴B的坐标是（-2，-2）, 将A，B两点的坐标代入直线y=k2x+b得： ，解得k2= ，b=-1∴直线AB的解析式为y=x-1； (2)∵直线AB的表达式为y=x-1，令y=0，得x=2∴C（2,0）, 又∵A（4,1），∴CE=2，AE=1. ∴tanβ== 考点：1函数表达式的确定;2三角函数. 22. 【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考． （1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________． 【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考： 设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可． （2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质： ①下表列出了与的几组对应值，其中________． … 1 2 3 4 … … 4 4 … ②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象； ③结合表格观察函数图象，以下说法正确是________ A．当时，随的增大而增大． B．该函数的图象可能与坐标轴相交． C．该函数图象关于直线对称． D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间． 【答案】（1）；（2）①；②见解析；③D 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理以及面积法求得各边长和斜边上的高，设正方形的边长为，根据，利用“相似三角形对应的高的比等于相似比”列式计算即可求解； （2）①将代入计算即可求解； ②描点、连线，即可画出图象； ③结合表格观察函数图象即可判断． 【详解】解：（1）作交于点N，交于点M， 设正方形的边长为，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 此时正方形的边长是， 故答案为：； 解：（2）①当时，， 故答案为：； ②描点、连线，图象如图所示， ③由图可知： A、当时，随的增大，先减小后增大，原说法错误； B、a不能为零，可知与y轴无交点，a为正数可知，,与横轴无交点，即该函数的图象不可能与坐标轴相交，原说法错误； C、该函数图象没有对称轴，原说法错误； D、当，函数值先减少后增加，故当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间，说法正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，函数的图象和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 23. 平面内有一个等腰直角三角板，，点在直线上，过作于，过作于．当点与点重合时（如图①），易证：． （1）当三角板绕点顺时针旋转至图②、图③的位置时，请猜想，，之间的数量关系，并直接写出猜想的结论．（提示：过点做直线的垂线，交直线于．） （2）请选择（1）中的任意一种结论进行证明． （3）若，，则_____________． 【答案】（1）图②：；图③：； （2）证明见解析 （3）2或 【解析】 【分析】（1）分别根据图②和图③写出结论即可； （2）图②证明：过作交的延长线于点．根据证明，可得，． 再证明是正方形，进而可证； 图③证明：过点作，交延长线于点，证明四边形是矩形，得，，再根据证明，可得，进而可证； （3）图②证明：先求出，根据勾股定理求出，然后利用即可求解； 图③证明：先求出，根据勾股定理求出，然后利用即可求解； 【小问1详解】 图②：；图③：； 【小问2详解】 图②证明：过作交的延长线于点． ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵，，， ∴四边形是矩形． ∵， ∴矩形是正方形． ∴． 图③证明：过点作，交延长线于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∴， ∵，，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 如图②，∵，， ∴． 在中，，，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 如图③，∵，， ∴． 同图②可求． ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及解直角三角形，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$