一元二次方程、函数和不等式期末复习讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

一元二次方程、函数和不等式复习讲义 一元二次方程、函数和不等式知识框架 考点一 作差法与作商法比较大小 1.作差法比较两个实数大小 基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与__________的大小． 注意：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1) 作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． (2) 变形的方法：①配方；②因式分解；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2.作商法比较两个实数大小 基本事实：已知，，则 从上述基本事实可知，要比较两个正实数的大小，可以转化为比较它们的商与__________的大小． 1．（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则 （填“”或“”） 【答案】> 【详解】，故. 故答案为：> 2．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【答案】 【详解】由题恒成立， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）若，则 （从“”中选择一个填空）． 【答案】 【详解】由，故. 故答案为： 4．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知，若，，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【详解】 ， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 6．（21-22高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 考点二 利用不等式的性质比较大小 1.等式的性质 (1) 对称性：如果，那么___________. (2) 传递性：如果，，那么___________. (3) 可加减性：如果，那么___________. (4) 可乘性：如果，那么___________. (5) 可除性：如果，，那么___________. 2．不等式的性质 (1) 对称性：如果，那么 ；如果，那么___________.即⇔ . (2) 传递性：如果，，那么 .即，⇒ . (3) 可加减性：如果，那么 . (4) 可乘除性：如果，，那么 ， ；如果，，那么 ， . (5) 同向相加性：如果，，那么 . (6) 同向相乘性：如果，，那么 . (7) 如果，那么 ()． 3.糖水不等式 (1) 已知,此时，则. (2) 已知,此时，则. 1．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习·多选）已知实数，，，满足，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，故B错误； 对于C，， 因为，，所以，即，故C错误； 对于D，因为，，则，所以， 则， 所以，故D正确． 故选：AD 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习·多选）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【详解】对A，取，且成立，此时，故A错误； 对B，由与，则，所以，故B正确； 对C，， 因为，， 所以，所以，故C正确； 对D，由，得，又，所以，故D错误. 故选：BC 3．（24-25高一上·四川泸州·期中·多选）已知，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为， 对于选项AC：例如，则，故A错误； 且，即，故C错误； 对于选项B：因为，即， 且，可得，故B正确； 对于选项D：因为，即， 且，可得， 又因为，所以，故D正确； 故选：BD. 4．（24-25高一上·山东烟台·期中·多选）已知均为实数，下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于选项A：因为，所以，又，所以，所以选项A正确； 对于选项B：因为不一定为正数，例如：，但，所以选项B错误； 对于选项C：因为，易知，根据不等式性质，可知，所以选项C正确； 对于选项D：因为， 又，所以，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中·多选）下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，若，则， 所以，故C正确； 对于D，若，则，则，故D正确. 故选：CD. 6．（24-25高一上·甘肃嘉峪关·期中·多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】A选项：由，可知，则，A选项正确； B选项：当，时，满足，，此时，B选项错误； C选项：由，，则，，即，C选项错误； D选项：由，则，，即，D选项正确； 故选：AD. 考点三 利用不等式的性质求不等式的范围 1.只有同向相加性，没有同向相减性. 如果题目给出，，求的范围（、为正数）. 此时需要先得到，，进而得到. 2.只有同向相乘性，没有同向相除性. 如果题目给出，，求的范围（、、、为正数）. 此时需要先得到，进而得到. ※注意：如果，则. 3.同向相乘性需注意只有正数才能同向相乘，如果遇到负数，需转化为正数之后再使用. 4.如果题目给出，，求的范围（、为正数）. 此时设. 令，联立解出、，再转化为（1）. ※注意：切忌不能由，求出、的范围再求的范围，因为多次使用同向相加性会放大不等式的范围. 1．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，∴， 又，∴， 即的取值范围是. 故选：C. 2．（24-25高一上·山西·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，，所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 所以， 又，所以， 故选：C. 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，， 又，所以. 故选：D. 6．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，， 所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 考点四 基本不等式（均值不等式）的直接使用 (1) 原型：若，则； (2) 常见变形：；； (3) 使用步骤：一正、二定、三相等. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 当或时，恒成立， 综上所述的最大值为， 故选：D. 2．（24-25高一上·北京东城·阶段练习）若在处取得最小值，则（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值2，因此. 故选：B 3．（24-25高一上·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】，，， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故选：C 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】C 【详解】因为，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最大值. 故选：C. 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：C 6．（24-25高一上·北京·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【详解】因为，根据基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立； 所以的最小值为5， 故选：D. 考点五 利用基本不等式求最值----负数型 若，则，此时，当且仅当取等号，所以. ※核心：将两个负数转化为之后，即可利用基本不等式进行求解，注意最后再转化为负数. 1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】B 【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当. 故选：B. 2．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知，则最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， （当且仅当，即时取等号）， 的最大值为. 故选：D. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 若，则，时等号成立； 若，则，时等号成立 ∴的取值范围为， 故选：A. 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】因为，则， 则 ， 当且仅当，即时取等． 故选：A． 5．（24-25高一上·山东威海·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：B 6．（24-25高一上·广东潮州·期中）当时，则函数的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由，则，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 即最大值为， 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海奉贤·期中）代数式的范围是 ． 【答案】 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号； 当时，，当且仅当，即时取等号； 故的范围是； 另解：令，由图象可知. 故答案为：. 考点六 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 (1) 凑项：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. (2) 凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式凑系数变形为，则可使用基本不等式. (3) 凑项与凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. ※核心：当形式不一致，导致乘积或和无法称为定值时，可通过适当的凑项与凑系数使得式子符合要求. 1．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是3. 故选：C. 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以． 当且仅当，即时取等号，即最小值为， 故选：B. 3．（24-25高一上·广东佛山·期中）若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：由题意得． 当且仅当，即时，等号成立． 故选：B. 4．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 【答案】B 【详解】因为， ， 当且仅当，即时取等号， 又不等式恒成立，所以，即， 所以实数的最大值6，没有最小值，故B正确. 故选：B. 5．（24-25高一上·广东·期中）若，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：3 6．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故答案为： 考点七 利用基本不等式求最值----分式型 (1) 形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以，得，再使用基本不等式. (2) 形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以x，得，再使用基本不等式. (3) 形如，无法直接用基本不等式，分子需要进行分解，得到的形式，再使用基本不等式.（也可利用换元法将（3）转换为（2）） 1．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：因为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：A 2．（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数在处取最小值，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】C 【详解】由题意，，而， 当且仅当，即时，等号成立，所以． 故选：C 3．（24-25高一上·河北唐山·期中）若，则有（    ） A．最小值4 B．最小值2 C．最大值 D．最大值 【答案】D 【详解】. 因为，所以，， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 则，即有最大值. 故选：D. 4．（24-25高一上·河北唐山·期中）若，则函数的最小值为 ． 【答案】3 【详解】， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为3． 故答案为：3 5．（24-25高一上·安徽宿州·期中）若，则的最小值为 . 【答案】8 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8． 故答案为：. 6．（24-25高一上·海南海口·期中）若，则的最小值为 . 【答案】2 【详解】由题意得，， ∵，∴，， ∴， 当且仅当，即时，. 故答案为：2. 考点八 利用基本不等式求最值---- “1”的妙用 (1) 若，求的最值，则=. (2) 若为非0常数，则，求的最值，则=. (3) 若求形如的最值，因为，则=. (4) 利用“1”消元：若，也可化为或，回代进行求解. 1．（24-25高一上·重庆·期中）设，，若，则的最小值为（     ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 则， 当且仅当，即，时取等， 所以的最小值为8. 故选：A. 2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【详解】方法一：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 方法二：， 则 ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B. 3．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 4．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，则的最小值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【详解】因为，则， 则由题意得， ， 当且仅当，即时取等号． 故选：B． 5．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 故 ， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即的最小值为， 故答案为： 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，则的最小值为 ． 【答案】16 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 8．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】由题意，得， 则， 当且仅当，且，即，时，等号成立． 所以的最小值是. 故答案为： 10．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为 . 【答案】3 【详解】由题意，， 因为，，所以，， 由基本不等式得，当且仅当时，等号成立； 则的最小值为， 故答案为： 考点九 利用基本不等式求最值----等式联立不等式 (1) 若出现， 其中、、、、，求的最值. 可先利用基本不等式得①式：，再将化为②式：，联立①②即可求解的取值范围. (2) 若出现， 其中、、、、，求的最值. 可先利用基本不等式得①式：，再将化为②式：，联立①②即可求解的取值范围. (3) 可令所求目标为新变量，回代使得原等式变为二次方程，利用判别式求最值. 1．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知，，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，由基本不等式，得， 又，所以， 即，得，解得， 当且仅当，即，时，等号成立. 则的最小值是. 故选：C. 2．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且，所以， 即，即，解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，即，又， 所以，可得，当且仅当时等号成立，A对，B错； 由，即， 所以，当且仅当时等号成立，C、D错. 故选：A 4．（24-25高一上·重庆·期中·多选）已知实数，，且满足，则（     ） A．的最小值为9 B．的最小值为7 C．的最大值为18 D．的最小值为1 【答案】AD 【详解】对于A：因为，所以，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故A正确； 对于B：，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故B不正确； 对于C：因为，由选项A可知，，所以，当且仅当时取等，所以有最小值18，C不正确； 对于D：由可得，， 所以，当且仅当即时取等号，所以D正确. 故选：AD. 5．（24-25高二上·浙江温州·期中·多选）已知，且满足则下列正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由可得， 即可得，也即，解得； 所以，当且仅当时，等号成立，即A正确； 对于B，又可得，即， 解得或（舍），因此的最大值为4，即B错误； 对于C，易知，即， 因此， 当且仅当时，即时等号成立，即C正确； 对于D，由易得， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立，即D正确. 故选：ACD 6．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）设正数，满足，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为正数，满足，所以， 解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为. 故答案为： 7．（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 【答案】 2 【详解】因，由，可得， 即得，当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最大值是； 因，，即得， 当且仅当，即或时取等号， 即当或时，的最小值是. 故答案为：2；. 考点十 利用基本不等式求最值----万能设法 若已知①式：，求的最值. 可设，化简得或，代入①式整理可得二次方程，令二次方程的判别式，即可求的范围，即的最值. 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）若，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】，，由基本不等式，，即，当且仅当时等号成立. ， 即，解得，当，即，时，有最大值. 故答案为： 2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【详解】方法一：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 方法二：， 则 ， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B. 3．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为， 故 ， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即的最小值为， 故答案为： 4．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，且，设，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以，的最小值为. 故答案为： 5．（24-25高一上·福建宁德·阶段练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】依题意，， 当且仅当时等号成立. 所以的最大值为. 故答案为： 6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】27 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值为27. 故答案为： 7．（24-25高一上·江苏·期中）已知，，若，则的最小值为 【答案】 【详解】， 由，，故，， 故， 即，当且仅当， 即，时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 考点十一 基本不等式的实际应用 1.周长、面积、体积问题：核心表示出边长. 2.工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. 3.行程问题：核心表示出路程、速度、时间. 4.销售问题：核心表示出单价、数量、总价. 5.利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） 6.增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. ※注意单位统一 1．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为； （2）如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. (1)求y关于x的函数表达式； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 【答案】(1) (2)海报长，宽时，用纸量最少 【详解】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， ， 整理得. （2）由（1）知，即，     ，由基本不等式可得，       令，则， 解得（舍去）或. ，当且仅当，即时等号成立， ∴海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 3．（24-25高一上·福建福州·期中）某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】(1) (2)当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故； （2）当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 4．（24-25高一上·广东茂名·期中）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 【答案】(1) (2)160 【详解】（1）当时， ， 当时， ， 故. （2）当时， 开口向下，对称轴为， 故的最大值为（万元）； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最大值为（万元）， 因为， 所以封装160万片时，公司可获得最大利润. 5．（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）设矩形ABCD(其中AB>BC)的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB交DC于点P. 设 AB=x，则 (1)用含x的式子表示DP的长； (2)求的最大面积. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在矩形中，，则，设，则， 由，得，， 在中，由勾股定理得，解得， 则，由，得的取值范围为, 所以. （2）由（1）得：， 当且仅当即时取等号， 所以的最大面积为. 6．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为. （2）解：如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 7．（24-25高一上·北京房山·期中）某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. (1)写出与的函数关系式，并注明函数定义域； (2)当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 【答案】(1) (2)当左､右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为14400元 【详解】（1）由题意可知，总造价为元，左､右两面墙的长度均为米， 则屋子前面新建墙体长为米. 则. 所以. （2）因为， 所以. 当且仅当，即时，等号成立， 所以当左､右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元. 8．（24-25高二上·浙江温州·期中）随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元． (1)写出年利润(万元)关于年销量万件的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润． 【答案】(1) (2)时，取得最大值为1150万元. 【详解】（1）因为当销售8万件衣服时，年利润为990万元， 所以，解得. 当销售20万件衣服时，年利润为1145万元， 所以，解得. 当时，； 当时， 所以 （2）当时，，所以； 当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为1150， 综上可知，当时，取得最大值为1150万元. 9．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 【答案】(1)； (2)千克，最大利润是元． 【详解】（1）根据题意知 ， 整理得； （2）当时，， 由一元二次函数图象可知在时取得最大值， 当时， , 当且仅当，即时等号成立， ，的最大值是， 当单株施肥量为千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是元． 10．（24-25高一上·辽宁锦州·期中）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为40元，年销售6万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入160万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 【答案】(1)60元 (2)10.5万件， 60元 【详解】（1）设每件定价为元，依题意得， 整理得， 解得. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为60元. （2）依题意知当时，， 等价于时，， 由于，当且仅当，即时等号成立， 所以， 当该商品改革后销售量至少达到10.5万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为60元. 考点十二 二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的求解 1. 二次不等式的解题步骤：对于二次不等式（或） (1) 令，求根； (2) 画函数的图像； (3) 根据图像，数形结合确定不等式的解集. 2. 二次不等式的常见结论：对于二次不等式（或） 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 3. 分式不等式的解法---化分式不等式为整式不等式 类型 转化 先移项转化为上述两种形式 4. 绝对值不等式的解法 （1）几何意义转化为到定点的距离 （2）分类讨论 （3）平方去绝对值号 1．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】化为：，得， 则不等式的解集为：， 故选：A 2．（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，解得或， 因此，解集为， 故选：D. 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为， 且，但推不出， 所以是的充分不必要条件， 故选：A 4．（24-25高一上·云南楚雄·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原不等式化为，即，解得， 故原不等式的解集为  .   故选：B. 5．（24-25高一上·陕西西安·期中）解关于的不等式； 【答案】答案见解析 【详解】，即， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 6．（24-25高一上·广东佛山·期中）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 【答案】(1){或} (2)答案见解析 【详解】（1）由，得，解得或， 故不等式的解集为{或}； （2）当时，原不等式即为，该不等式的解集为； 当时，，原不等式即为. ①若，则，原不等式的解集为{或}； ②若，则，原不等式的解集为{或}. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为{或}； 当时，原不等式的解集为{或}. 考点十三 一元二次不等式恒成立问题 1. 一元二次不等式恒成立问题 (1) 不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为. 一元二次不等式，它的解集为的充要条件为 一元二次不等式，它的解集为的充要条件为 一元二次不等式的解集为∅的充要条件为 ※如果题目未说明不等式是否为二次不等式，需讨论是否成立. (2) 分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： ①恒成立； ②恒成立. 1．（24-25高三上·湖南·期中）已知命题：“”为真命题，则的取值范围是 ． 【答案】（] 【详解】因为命题“”为真命题，当时，成立， 当时，则，解得，故的取值范围是， 故答案为： 2．（24-25高一上·湖南·期中）已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意知，且，解得. 故答案为：. 3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海金山·期中）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】当时，即时，原不等式即为恒成立； 当时， 则，解得， 综上可得，的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高一上·云南·期中）已知命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，， 当，取得最大值，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为 【答案】 【详解】由题意可得，：，为真命题， 即当时，恒成立. 因为函数的对称轴为， 所以当时，， 所以，即，解得或， 即实数m的取值范围为. 故答案为：. 7．（24-25高一上·广东·期中）恒成立，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】当时，由可得恒成立， 故， 由于，当且仅当时等号成立， 故， 当时，原不等式为恒成立， 综上可得， 故答案为： 8．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为当时，不等式恒成立， 所以当时，不等式恒成立，即恒成立， 令， 因为，，当且仅当即时取等号， 所以， 所以. 故答案为：. 考点十四 已知二次不等式解集求参数范围 1. 已知二次不等式解集求参数范围 (1) 若二次不等式的解集为，则 (2) 若二次不等式的解集为，则 核心：①不等式解集的端点值是不等式等于0的解,再转化为韦达定理. ②注意二次函数开口方向 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期中·多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 【答案】ACD 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以，解得, 所以，解得，故A正确； 由，可得，故B错误； ，即为， 即，即，解得，故C正确； 由B选项可得，设，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为不等式恒成立， 所以，解得，故D正确. 故选:ACD. 2．（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习·多选）若不等式的解集是，则（   ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 【答案】AB 【详解】由题意知，即相应二次函数开口向下，所以A正确； 由题意可得是方程的两个根，所以， 得，，所以B正确； 因为是方程的根，所以，所以C不正确； 把代入不等式，可得， 因为，所以即可，所以D不正确. 故选：AB 3．（24-25高三上·河南信阳·阶段练习·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，是方程的根，且，故A正确； 所以，所以，则，故B正确； 所以，故C错误； ，故D正确； 故选：ABD. 4．（23-24高一上·广东揭阳·期末·多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由不等式的解集为， 可得相应的二次函数的图像开口向下，所以，所以A错误； 又由2和是方程的两个根，则有， 因为，故，所以BC正确； 因为，所以，所以D错误. 故选：BC. 5．（23-24高一上·云南·期中·多选）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】根据题意不等式的解集为,可得， 由得，， 即，，,,,． 故选： 6．（23-24高一上·湖南株洲·期中·多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【详解】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误； 因为，故B正确； 不等式可以化简为，解得，故D正确； 故选：ABD 考点十五 二次方程根的分布 1.二次方程根的分布 (1) 若讨论一元二次方程解的数量，需要讨论的正负. (2) 若讨论一元二次方程解的正负，需要讨论判别式的正负和韦达定理的正负. ①若方程有两个不相等的正根，则且且. ②若方程有两个不相等的负根，则且且. ③若方程有一个正根与一个负根，则且. (3) 已知一元二次方程一个根大于，另一个根小于（）. 若，则且. 若，则且. 1．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 2．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设一元二次方程的两个正实根分别为、， 由题意可得，解得， 因为， 所以，“”是“一元二次方程有两个正实根”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 4．（24-25高一上·湖北·阶段练习）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由一元二次方程的两个根为， 又方程有一个正实数根和一个负实数根， ，， 即“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为， 则其充分不必要条件的范围应为的真子集， 结合选项可得选项C符合题意， 故选：C. 5．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【详解】当方程没有根时，，即， 解得； 当方程有根，且根都不为负根时，可得，解得， 综上可知， 即关于的方程没有一个负根时，， 所以至少有一个负根的充要条件是. 故选：B 6．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由题意可得，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 考点十六 二次函数的图像与性质 1.对于一元二次函数 (1) 决定二次函数的__________，二次函数的对称轴为. (2) 当，开口向_______，二次函数在上单调递__________，在上单调递__________. (3) 当，开口向_______，二次函数在上单调递__________，在上单调递__________. 2.对于一元二次函数，且 （、为常数） (1) 若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (2) 若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (3) 若，则函数在单调递_____，在单调递_____，在处取得最____值，若在处取得最_____值，若在处取得最_____值. 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 【答案】(1)最小值为，最大值为 (2)答案见解析 【详解】（1）∵函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在上单调递减，在上单调递增，且． ∴，． （2）由（1）知对称轴为直线， ①当，即时， ，． ②当，即时， ，． ③当，即时， ，． ④当，即时， ，． 设函数的最大值为，最小值为， 则有， . 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）函数，. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)如果函数在区间上只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）当时，则， 因为，所以时，； （2）， 当时， ，令，得， 所以函数在上有一个零点, 故时成立 当时，令，得方程， 因为函数在区间上只有一个零点， 则, 解得，或（）， ①当, 即，或时. 当时，， 由，解得，满足题意； 当 时,．由，得，. 所以当 时, 均恰有一个零点在上 ②当, 即，或，或时， 当时，二次函数图象开口向下， 对称轴，由，则， 故在单调递增，在单调递减； 又，又，即， 故此时函数在有两个零点，不满足题意； 当时，二次函数图象开口向下， 对称轴，由，则，故在单调递增， 又， 由零点存在性定理可知， 此时函数在有且仅有一个零点，满足题意； 当时，二次函数图象开口向上，对称轴， 若， 则，故在单调递增； 又，且图象开口向上， 则在至少有一个零点，在至少有一个零点. 由二次函数至多两个零点， 故函数在有且仅有一个零点，此时满足题意； 若，则，由， 解得，所以函数在有两个零点，不合题意； 若，二次函数图象开口向上， 对称轴，由，则， 故在单调递减，在单调递增； 又，又，即， 所以函数在与各有一个零点，即在有两个零点，不合题意； 综上所述，函数在区间上存在零点，实数的取值范围是或. 3．（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知关于的二次函数. (1)若的解集为或，求的值； (2)若函数在上具有单调性，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【详解】（1）的解集或， 和1是方程的根， ，解得. （2）函数图象的对称轴方程为， 在上具有单调性， 或，解得或， （3）原不等式化为 当，即时，不等式化为，则解集为； 当，即时，解得，不等式的解集为； 当时，解得，不等式的解集为； 综上，时，解集为，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为. 4．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）二次函数的图象顶点为，且图象在轴上截得线段长为． (1)求函数的解析式： (2)令 ①求不等式的解集； ②求函数在的最大值． 【答案】(1) (2)详见解析； 【详解】（1）解：因为二次函数的图象顶点为， 所以设， 令，即， 则， 由题意得， 解得， 所以； （2）①由（1）得， 即，即， 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得， 所以当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是， ②，对称轴方程为：， 当，即时，的最大值为； 当，即时，的最大值为； 当，即，的最大值为. 5．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）设函数，其中. (1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）当时，，由， 由题意：，所以. 所以的取值范围为. （2）对任意，恒成立， 即，恒成立. 所以或. 所以所求的取值范围是：. （3）问题转化为，的最大值与最小值的差小于等于8. 抛物线的对称轴为：. 当时，函数在上单调递增， 由，结合，无解； 当时，函数函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最大值为，最小值为， 由，结合，得； 当时，函数函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最大值为，最小值为， 由，结合得：； 当时，函数在上单调递减， 由，结合，无解. 综上可知，的取值范围是： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$一元二次方程、函数和不等式复习讲义 一元二次方程、函数和不等式知识框架 考点一 作差法与作商法比较大小 1.作差法比较两个实数大小 基本事实： 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与__________的大小． 注意：作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1) 作差法比较的步骤：作差―→变形―→定号―→结论． (2) 变形的方法：①配方；②因式分解；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论． 2.作商法比较两个实数大小 基本事实：已知，，则 从上述基本事实可知，要比较两个正实数的大小，可以转化为比较它们的商与__________的大小． 1．（24-25高一上·广西北海·期中）已知，则 （填“”或“”） 2．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 3．（24-25高一上·山东滨州·阶段练习）若，则 （从“”中选择一个填空）． 4．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知，若，，则的大小关系是 ． 5．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 6．（21-22高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 考点二 利用不等式的性质比较大小 1.等式的性质 (1) 对称性：如果，那么___________. (2) 传递性：如果，，那么___________. (3) 可加减性：如果，那么___________. (4) 可乘性：如果，那么___________. (5) 可除性：如果，，那么___________. 2．不等式的性质 (1) 对称性：如果，那么 ；如果，那么___________.即⇔ . (2) 传递性：如果，，那么 .即，⇒ . (3) 可加减性：如果，那么 . (4) 可乘除性：如果，，那么 ， ；如果，，那么 ， . (5) 同向相加性：如果，，那么 . (6) 同向相乘性：如果，，那么 . (7) 如果，那么 ()． 3.糖水不等式 (1) 已知,此时，则. (2) 已知,此时，则. 1．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习·多选）已知实数，，，满足，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·阶段练习·多选）下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 3．（24-25高一上·四川泸州·期中·多选）已知，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东烟台·期中·多选）已知均为实数，下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中·多选）下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25高一上·甘肃嘉峪关·期中·多选）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 考点三 利用不等式的性质求不等式的范围 1.只有同向相加性，没有同向相减性. 如果题目给出，，求的范围（、为正数）. 此时需要先得到，，进而得到. 2.只有同向相乘性，没有同向相除性. 如果题目给出，，求的范围（、、、为正数）. 此时需要先得到，进而得到. ※注意：如果，则. 3.同向相乘性需注意只有正数才能同向相乘，如果遇到负数，需转化为正数之后再使用. 4.如果题目给出，，求的范围（、为正数）. 此时设. 令，联立解出、，再转化为（1）. ※注意：切忌不能由，求出、的范围再求的范围，因为多次使用同向相加性会放大不等式的范围. 1．（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山西·期中）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）若，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四 基本不等式（均值不等式）的直接使用 (1) 原型：若，则； (2) 常见变形：；； (3) 使用步骤：一正、二定、三相等. 总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最小值. 1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京东城·阶段练习）若在处取得最小值，则（    ） A． B．3 C． D．4 3．（24-25高一上·四川德阳·期中）若实数，，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 5．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 6．（24-25高一上·北京·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．5 考点五 利用基本不等式求最值----负数型 若，则，此时，当且仅当取等号，所以. ※核心：将两个负数转化为之后，即可利用基本不等式进行求解，注意最后再转化为负数. 1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 2．（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知，则最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·福建福州·期中）已知，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 5．（24-25高一上·山东威海·期中）已知，则的最大值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 6．（24-25高一上·广东潮州·期中）当时，则函数的最大值为 ． 7．（24-25高一上·上海奉贤·期中）代数式的范围是 ． 考点六 利用基本不等式求最值----凑项与凑系数 (1) 凑项：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. (2) 凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式凑系数变形为，则可使用基本不等式. (3) 凑项与凑系数：形如，无法直接用基本不等式，可以把原式添项变形为，则可使用基本不等式. ※核心：当形式不一致，导致乘积或和无法称为定值时，可通过适当的凑项与凑系数使得式子符合要求. 1．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·福建厦门·期中）若，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东佛山·期中）若，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高一上·山东青岛·期中）若，不等式恒成立，则实数的（    ） A．最大值是4 B．最大值是6 C．最小值是4 D．最小值是6 5．（24-25高一上·广东·期中）若，则的最小值为 ． 6．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）的最小值是 . 考点七 利用基本不等式求最值----分式型 (1) 形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以，得，再使用基本不等式. (2) 形如，无法直接用基本不等式，可以上下同时除以x，得，再使用基本不等式. (3) 形如，无法直接用基本不等式，分子需要进行分解，得到的形式，再使用基本不等式.（也可利用换元法将（3）转换为（2）） 1．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一上·山东青岛·期中）若函数在处取最小值，则（   ） A． B．2 C．4 D．6 3．（24-25高一上·河北唐山·期中）若，则有（    ） A．最小值4 B．最小值2 C．最大值 D．最大值 4．（24-25高一上·河北唐山·期中）若，则函数的最小值为 ． 5．（24-25高一上·安徽宿州·期中）若，则的最小值为 . 6．（24-25高一上·海南海口·期中）若，则的最小值为 . 考点八 利用基本不等式求最值---- “1”的妙用 (1) 若，求的最值，则=. (2) 若为非0常数，则，求的最值，则=. (3) 若求形如的最值，因为，则=. (4) 利用“1”消元：若，也可化为或，回代进行求解. 1．（24-25高一上·重庆·期中）设，，若，则的最小值为（     ） A．8 B．4 C． D． 2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 3．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高一上·安徽·期中）已知，且，则的最小值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 6．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 . 7．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知，则的最小值为 ． 8．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 9．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知正实数满足，则的最小值是 ． 10．（23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值为 . 考点九 利用基本不等式求最值----等式联立不等式 (1) 若出现， 其中、、、、，求的最值. 可先利用基本不等式得①式：，再将化为②式：，联立①②即可求解的取值范围. (2) 若出现， 其中、、、、，求的最值. 可先利用基本不等式得①式：，再将化为②式：，联立①②即可求解的取值范围. (3) 可令所求目标为新变量，回代使得原等式变为二次方程，利用判别式求最值. 1．（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知，，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）若，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·贵州·期中）已知，且，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·重庆·期中·多选）已知实数，，且满足，则（     ） A．的最小值为9 B．的最小值为7 C．的最大值为18 D．的最小值为1 5．（24-25高二上·浙江温州·期中·多选）已知，且满足则下列正确的是（    ） A．的最大值为4 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 6．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）设正数，满足，则的最小值为 ． 7．（24-25高一上·重庆·期中）若满足，则的最大值是 ，的最小值是 . 考点十 利用基本不等式求最值----万能设法 若已知①式：，求的最值. 可设，化简得或，代入①式整理可得二次方程，令二次方程的判别式，即可求的范围，即的最值. 1．（23-24高一上·广东深圳·期末）若，，且，则的最大值为 ． 2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 3．（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 4．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，且，设，则的最小值为 . 5．（24-25高一上·福建宁德·阶段练习）已知，则的最大值为 ． 6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知，则的最小值为 . 7．（24-25高一上·江苏·期中）已知，，若，则的最小值为 考点十一 基本不等式的实际应用 1.周长、面积、体积问题：核心表示出边长. 2.工程问题：核心表示出工作总量、工作效率、工作时间. 3.行程问题：核心表示出路程、速度、时间. 4.销售问题：核心表示出单价、数量、总价. 5.利润问题：核心表示出总收入和总支出.（期中总收入可能直接给出，也可利用总价等于单价×数量） 6.增长率模型：，期中为起始值，为增长率，为增长轮之后的值. ※注意单位统一 1．（24-25高一上·山东济南·阶段练习）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）如图所示，某高中校运动会，拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏发布预赛成绩与决赛成绩，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度均为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为. (1)求y关于x的函数表达式； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸是最少？ 3．（24-25高一上·福建福州·期中）某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． (1)求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； (2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 4．（24-25高一上·广东茂名·期中）长江存储是我国唯一一家能够独立生产3DNAND闪存的公司，其先进的晶栈Xtacking®技术使得3DNAND闪存具有极佳的性能和极长的寿命．为了应对第四季度3DNAND闪存颗粒库存积压的情况，某下游闪存封装公司拟对产能进行调整，已知封装闪存的固定成本为300万元，每封装x万片，还需要万元的变动成本，通过调研得知，当x不超过120万片时，；当x超过120万片时，，封装好后的闪存颗粒售价为150元/片，且能全部售完． (1)求公司获得的利润的函数解析式； (2)封装多少万片时，公司可获得最大利润？ 5．（24-25高一上·山东潍坊·阶段练习）设矩形ABCD(其中AB>BC)的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC对折后，AB交DC于点P. 设 AB=x，则 (1)用含x的式子表示DP的长； (2)求的最大面积. 6．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. (1)某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； (2)一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值． 7．（24-25高一上·北京房山·期中）某小区计划利用其一侧原有墙体，建造一个高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的值班室，由于值班室的后背靠墙，无需建造费.因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体（包括门窗所占面积）每平方米元，左､右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元，设屋子的左､右两面墙的长度均为米，总造价为元. (1)写出与的函数关系式，并注明函数定义域； (2)当左､右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？并求出最低报价. 8．（24-25高二上·浙江温州·期中）随着互联网的普及，网络购物得到了很好的发展.双十一期间，某服装公司在各大网络平台销售运动衣，经调研，每件衣服的售价(单位：元)与销量(单位：万件)之间满足关系式已知公司每年固定成本为万元，每生产万件衣服需要再投入万元设该公司一年内生产的衣服全部销售完.当公司销售万件衣服时，年利润为万元；当公司销售万件衣服时，年利润为万元． (1)写出年利润(万元)关于年销量万件的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，公司利润最大并求出最大利润． 9．（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）安徽省人民政府办公厅在关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见中提出要打造区域性特色农产品品牌推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树经调研发现该果树的单株产量单位：千克与施肥量单位：千克满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入如培育管理、施肥人工费等费用为元已知这种水果的市场售价为21元千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为(单位：元． (1)求函数的解析式 (2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大最大利润是多少 10．（24-25高一上·辽宁锦州·期中）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为40元，年销售6万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入160万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价. 考点十二 二次不等式、分式不等式、绝对值不等式的求解 1. 二次不等式的解题步骤：对于二次不等式（或） (1) 令，求根； (2) 画函数的图像； (3) 根据图像，数形结合确定不等式的解集. 2. 二次不等式的常见结论：对于二次不等式（或） 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 判别式正负 图像（） 交点依次记为、 解集 解集 3. 分式不等式的解法---化分式不等式为整式不等式 类型 转化 先移项转化为上述两种形式 4. 绝对值不等式的解法 （1）几何意义转化为到定点的距离 （2）分类讨论 （3）平方去绝对值号 1．（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·甘肃张掖·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东泰安·阶段练习）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一上·云南楚雄·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·陕西西安·期中）解关于的不等式； 6．（24-25高一上·广东佛山·期中）求下列关于的不等式的解集： (1)； (2). 考点十三 一元二次不等式恒成立问题 1. 一元二次不等式恒成立问题 (1) 不等式对任意实数恒成立，就是不等式的解集为. 一元二次不等式，它的解集为的充要条件为 一元二次不等式，它的解集为的充要条件为 一元二次不等式的解集为∅的充要条件为 ※如果题目未说明不等式是否为二次不等式，需讨论是否成立. (2) 分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即： ①恒成立； ②恒成立. 1．（24-25高三上·湖南·期中）已知命题：“”为真命题，则的取值范围是 ． 2．（24-25高一上·湖南·期中）已知一元二次不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为 . 3．（24-25高三上·甘肃兰州·阶段练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·上海金山·期中）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 . 5．（24-25高一上·云南·期中）已知命题“，”为假命题，则的取值范围为 . 6．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）若命题：，使得为假命题，则实数m的取值范围为 7．（24-25高一上·广东·期中）恒成立，则实数a的取值范围是 8．（24-25高一上·四川达州·阶段练习）若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围为 . 考点十四 已知二次不等式解集求参数范围 1. 已知二次不等式解集求参数范围 (1) 若二次不等式的解集为，则 (2) 若二次不等式的解集为，则 核心：①不等式解集的端点值是不等式等于0的解,再转化为韦达定理. ②注意二次函数开口方向 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期中·多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 2．（24-25高一上·甘肃平凉·阶段练习·多选）若不等式的解集是，则（   ） A．相应的一元二次函数的图象开口向下 B．且 C． D．不等式的解集是R 3．（24-25高三上·河南信阳·阶段练习·多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东揭阳·期末·多选）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·云南·期中·多选）若关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·湖南株洲·期中·多选）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 考点十五 二次方程根的分布 1.二次方程根的分布 (1) 若讨论一元二次方程解的数量，需要讨论的正负. (2) 若讨论一元二次方程解的正负，需要讨论判别式的正负和韦达定理的正负. ①若方程有两个不相等的正根，则且且. ②若方程有两个不相等的负根，则且且. ③若方程有一个正根与一个负根，则且. (3) 已知一元二次方程一个根大于，另一个根小于（）. 若，则且. 若，则且. 1．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·期中）“”是“一元二次方程有两个正实根”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 4．（24-25高一上·湖北·阶段练习）“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是（    ） A． B． C．或 D． 6．（22-23高一上·江苏扬州·阶段练习）已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点十六 二次函数的图像与性质 1.对于一元二次函数 (1) 决定二次函数的__________，二次函数的对称轴为. (2) 当，开口向_______，二次函数在上单调递__________，在上单调递__________. (3) 当，开口向_______，二次函数在上单调递__________，在上单调递__________. 2.对于一元二次函数，且 （、为常数） (1) 若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (2) 若，则函数在单调递______，在处取得最______值，在处取得最_____值； (3) 若，则函数在单调递_____，在单调递_____，在处取得最____值，若在处取得最_____值，若在处取得最_____值. 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数． (1)若，求函数的最值； (2)若，求函数的最值． 2．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）函数，. (1)当时，求函数在上的最大值； (2)如果函数在区间上只有一个零点，求实数的取值范围. 3．（24-25高一上·湖南怀化·期中）已知关于的二次函数. (1)若的解集为或，求的值； (2)若函数在上具有单调性，求的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 4．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）二次函数的图象顶点为，且图象在轴上截得线段长为． (1)求函数的解析式： (2)令 ①求不等式的解集； ②求函数在的最大值． 5．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）设函数，其中. (1)若，且对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围； (3)若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$