广东省六校（茂名一中、惠州一中、河源一中等）2024-2025学年高一上学期12月联合学业质量检测考试数学试题

2024~2025学年度第一学期高一六校联合学业质量检测·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A A C C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AB BC ACD 1. D 由|x-1|≤3,得-3≤x-1≤3,解得-2≤x≤4,所以A=[-2,4]. 由2ˣ<8=2³,得x<3,所以B=(-∞,3),所以A∩B=[-2,4]∩(-∞,3)=[-2,3).故选D. 2. D 由2"=9"=6,可得m=log₂6,n=log₉6,所以 log₆36=2.故选 D. 3. A 由题意得 l且a>0,解得a=2, 令x+2=0得x=-2,此时g(-2)=0,故 的图象过定点(-2,0).故选 A. 4. A 由于 的定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且 f(x)为偶函数,故图象关于y轴对称,排除CD,又当x>1或x<-1时,f(x)>0,可排除B,故选A. 5. C ∵lg E=4.8+1.5M,∴lg E₁=4.8+1.5×8=16.8, lg E₂=4.8+1.5×7.5=16.05,∴E₁=10¹⁶.⁸,E₂= 故选C. 6. C 因为 所以1<a<2,因为 所以c<a<b.故选 C. 7. B 依题意,80(1+a)(1+b)=80(1+x)²,而a>0,b>0,x>0,因此 当且仅当a=b时取等号，所以 故选 B. 8. D ∵函数y=f(x)的图象与函数 且a≠1)的图象关于直线y=x对称，∴y=f(x)与y=aˣ互为反函数, ∴f(x)=logₐx,∴g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1]=(logₐx)²+(logₐ2-1)logₐx, 令t=log₄x,函数可化为 对称轴为直线 当a>1时, 为增函数，若y=g(x)在区间 上单调递增，则h(t)在 上单调递增，. 解得 不合题意，舍去. 当0<a<1时, 为减函数，若y=g(x)在区间 上单调递增，则h(t)在 上单调递减， 解得 综上得，a的取值范围是( 故选 D. 9. AB 对于 A,集合B={x|x=6z,z∈N}={x|x=3·2z,z∈N},集合A={x|x=3k,k∈N},∴B⊆A,A正确； 对于B,∵A∪B=A,∴B⊆A,∵A={a,b,c},∴集合A的子集个数是8，B正确； 对于C,因为a>b>0,c>0,所以 ab+ bc-(ab+ ac)=(b-a)c<0, 【高一六校联合学业质量检测·数学卷参考答案 第1页(共4页)】 5213A 所以 ab+ bc< ab+ ac,又因为b(b+c)>0,故两边同除以( 得 故C错误； 对于D,当a>1且b>1时,s=a+b>2,p= ab>1; 反之，当 时， ,但不满足a>1且b>1, 所以“a>1且b>1”是“s>1且p>1”的充分不必要条件,D错误.故选 AB. 10. BC ∵y=2ˣ与y=3x-7都是R上的单调递增函数,∴ 是 R 上的单调递增函数，∴f(x)在R上至多有一个零点,由表格中的数据可知:f(1.422)<0,f(1.4375)>0,∴f(x)在R上有唯一零点,零点所在的区间为(1.422,1.4375),∴h<0,A错误;方程 有实数解，B正确；f(1.375)=—0.26<0,1.4375—1.375=0.0625<0.1,即若精确度为0.1,则近似解可取为1.375,C正确; 01,即若精确度为0.01,则近似解不可取为1.4375,D错误.故选 BC. 11. ACD 画出|f(x)|与y=k的图象如下: 要想满足|f(a)|=|f(c)|=|f(b)|=|f(d)|=k,则0<k≤1,A正确; 由对称性可知,a+b=2×(-2)=-4,B错误; 令-lgx=1,解得 故 令 lgx=1,解得x=10,故1<d≤10,而| lgc|=| lgd|, 所以-lgc= lgd,故 lgc+ lgd=0,所以 cd=1,C正确; 由1<d≤10得 即 而 在 上单调递减， 所以 则 D正确.故选 ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.9 13.充分不必要 14.8 令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0)-4,所以 f(0)=4,令y=-x,则f(x+(-x))=f(x)+f(-x)-4=f(0),所以f(x)+f(-x)=8,令x=2024,所以 f(-2024)+f(2024)=8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解:(1)由题意可知-3,1是方程 的两根，………………………… 2分 所以-3+1=-a(b-a),-3×1=b,解得a=-1,b=-3或a=-2,b=-3. 故a,b的值分别为-1,--3或-2,-3. ……………………………………………………… 6分 (2)当a=1时, 若f(x)≤0在R上恒成立，即 f(x)的图象与x轴至多有一个交点，………………………………………… 8分 则 ，即 解得 … 12分 故b的取值范围是 13分 16.解:(1)令2ˣ=m,得到x=log₂m,即 … 6分 (2)令x--1=t,则x=t+1,x∈[2,4],t∈[1,3], 所以 8分 【高一六校联合学业质量检测·数学卷参考答案 第2页(共4页)】 5213A 由对勾函数的性质可得 在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增， 当t=2时, 当t=1时,y=5+a,当t=3时, ∴g(x)的值域为[4+a,5+a], …………………………………………………………………………………… 11分 当x∈[2,4]时,log₂x∈[1,2],令n=log₂x∈[1,2], 所以 由二次函数的性质可得f(x)∈[2,3], ………………………………………………………………………… 13分 ∵g(x)的值域是f(x)值域的子集,解得a=-2. …………………………………………… 15分 17.解:(1)a=1时,f(x)=|x-1|, 当x>1时, 解得x=2或x=-1(舍去), 当x<1时, ,解得x=0或x=3(舍去), 画出m(x)= min{f(x),g(x)}的图象,如图所示. …………………… 3分 用解析法表示， … 6分 由图象可得,单调递增区间为(-∞,0)和(1,2). …………………… 7分 (2) 、 . … 8分 ①当 即a≤-3时，此时最小值为 … 10分 ②当 即--3<a<1时，此时最小值为 …………………… 12分 ③当 即a≥1时，此时最小值为 … 14分 综上所述 … 15分 18.解：(1)由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则 jì 可得 所以y=90×0.9ˣ+10,x≥0. ………… ……………………………………… 6分 (2)令y=90×0.9ˣ+10=60,则 所以刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为5.57min. ……………………………………………………12分 (3)由0.9ˣ∈(0,1],即y∈(10,100],所以进行实验时的室温约为10℃. ………………………………… 17分 19.(1)解:令g(x)=f(x+a)-b,因为g(x)为奇函数, 所以g(-x)=-g(x),即f(-x+a)-b=-(f(x+a)-b), 所以-(-x+a)³+3(-x+a)²-b=-[-(x+a)³+3(x+a)²-b], 化简得 则 解得a=1,b=2,即 f(x)图象的对称中心为(1,2). ……………………………………………………………… 4分 (2)证明:令g(x)=f(x+a)-b,因为g(x)为奇函数, 所以g(-x)=-g(x),即 f(-x+a)-b=-(f(x+a)-b), 所以f(-x+a)+f(x+a)=2b, 令x+a=t,则 f(t)+f(-t+2a)=2b,即.f(x)+f(-x+2a)=2b. ………………………………………… 8分 【高一六校联合学业质量检测·数学卷参考答案 第 3页(共4页)】 5213A (3)解:因为 所以 所以 ，可得f(x)的对称中心为( 因为 两式相加得： 即a+b≥2c, …………………………… 13分 由题意知 恒成立. ⋯ 15分 方法一：由 当且仅当 时取等号. ……………………………………………………… 17分 方法二：由 令 则 当且仅当 时取等号. ……………………………………………………… 17分 【高一六校联合学业质量检测·数学卷参考答案 第 4 页(共4页)】 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期高一六校联合学业质量检测 数 学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x||x-1|≤3},B={x|2ˣ<8},则A∩B= A.[-2,4] B.(-2,4] C.[-2,3] D.[-2,3) 2.已知2m=9n=6,则 A. log₆18 B. log₆5 C.1 D.2 3.已知幂函数 在区间(0，+∞)上单调递增，则函数 1)的图象过定点 A.(-2,0) B.(-2,-1) C.(1,0) D.(1,--1) 4.函数 的图象大致为 5.地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为 lg E=4.8+1.5M.已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E₁和E₂，则 A.101.05 B.1.05 C.10⁰.75 D.0.75 【高一六校联合学业质量检测 数学卷 第1页(共4页)】 5213A 6.设 则 A. b<a<c B. c<b<a C. c<a<b D. a<c<b 7.2023年8月 29 日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则 8.已知函数y=f(x)的图象与函数. 且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记g(x)=f(x)[f(x)+f(2)-1].若y=g(x)在区间 上单调递增，则实数a的取值范围是 A.[2,+∞) B.(0,1)∪(1,2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列四个选项中，正确的是 A.若集合A={x|x=3k,k∈N},集合B={x|x=6z,z∈N},则B⊆A B.已知集合A={a,b,c},则满足A∪B=A的集合B 的个数为8 C.若a>b>0,c>0,则 D.设s=a+b,p= ab(a,b∈R),则“a>1且b>1”的充要条件是“s>1且p>1” 10.教材中用二分法求方程2ˣ+3x-7=0的近似解时,设函数f(x)=2ˣ+3x-7来研究,通过计算列出了它的对应值表如下： x 1.25 1.375 1.406 25 1.422 1.437 5 1.5 f(x) —0.87 —0.26 h —0.05 0.02 0.33 分析表中数据，下列说法正确的是 A. h>0 B.方程2x+3x--7=0有实数解 C.若精确度为0.1，则近似解可取为1.375 D.若精确度为0.01,则近似解可取为1.437 5 11.已知函数 若存在不相等的实数a,b,c,d,满足a<b<c<d且|f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=|f(d)|=k,则下列说法正确的是 A. k∈(0,1] B. a+b=-6 C. cd=1 D. a+b+c+d的取值范围为 【高一六校联合学业质量检测 数学卷 第2页(共4页)】 5213A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.计算: 13. “x>2”是“x(x-2)>0”的 条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 14.定义在R上的函数 f(x),对任意x,y∈R都满足. 则 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知函数 (1)若关于x的不等式. 的解集为( 求a,b的值; (2)当a=1时，若关于x的不等式f(x)≤0在R上恒成立，求b的取值范围. 16.(本小题满分15分) 已知 (1)求 f(x)的解析式; (2)函数 若对任意 总存在 使 f(x₂)成立,求a的取值. 17.(本小题满分15分) 已知函数 (1)∀x∈R,用m(x)表示 f(x),g(x)中的最小者,记作 当 时，分别用图象法和解析法表示函数m(x)，并写出m(x)的单调递增区间； (2)设 求h(x)的最小值φ(a). 【高一六校联合学业质量检测 数学卷 第3页(共4页)】 5213A 18.(本小题满分17分) 我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用 的水泡制，待茶水温度降至 时，饮用口感最佳.河源中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1m in测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/ min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从 经过x min后变为 ，现给出以下三种函数模型： ①y= cx+b(c<0,x≥0); (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据(1)中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间(精确到0.01)(参考数据：l (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 19.(本小题满分17分) 我们知道，函数y=f(x)的图象关于原点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数 的图象关于点 P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)求函数 图象的对称中心； (2)若函数y=f(x)的图象关于点 P(a,b)对称,证明: (3)已知函数 其中c>0，若正数a，b满足 且不等式 恒成立，求实数λ的取值范围. 【高一六校联合学业质量检测 数学卷 第4页(共4页)】 学科网（北京）股份有限公司 $$