精品解析：浙江省嘉兴市桐乡市凤鸣高级中学2025届高三上学期第二次阶段检测（12月月考）数学试题

凤鸣高中2024学年第一学期高三第二次阶段性检测 数学试题卷 （2024.12） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图表示法确定阴影部分，然后利用集合运算求解即可． 【详解】由已知， 阴影部分为. 故选：A． 2. 已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线，得到，再结合条件，得到，即可求解. 【详解】因为，设，则， 即，解得， 故选：C. 3. 下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的单调性及对称中心分别判断各个选项即可. 【详解】对于A:在上单调递减，A选项错误； 对于B:在上单调递增，且为其对称中心，B选项正确； 对于C:不是0，所以不是的对称中心，C选项错误； 对于D:在上单调递减，D选项错误； 故选：B. 4. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况结合对数函数的单调性去解不等式即可得解. 【详解】由题可得或，又为增函数， 所以解得或，故解集为. 故选：D. 5. “直线与圆有公共点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与圆有公共点则圆心到直线的距离小于等于半径列式求解，再根据充分与必要条件的性质判断即可. 【详解】直线与圆有公共点则 ， 由，反之推不出，故为必要不充分条件. 故选：B 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定理算得圆锥高. 【详解】 设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r， 因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆， 则，解得， 则该圆锥的高为. 故选：A. 7. 某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】甲获胜的情形有三种：第一种，甲第一次就摸到红球；第二种，甲、乙第一次都摸到白球，甲第二次摸到红球；第三种，甲、乙第一、二次都摸到白球，第三次摸甲摸到红球.利用古典概率的加法求解即可 【详解】； 故选：C. 8. 已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的周期为 D. 的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，B，C利用赋值法即可判断，对于D，令和，再结合函数的对称性即可判断. 【详解】令得，因为不恒为，所以，所以A错误； 令得，得，则为偶函数，所以B错误； 令得， 则， 则，得周期为，所以C错误； 令得，，即， 令得，即关于中心对称 ，即， 所以，所以D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C. 若随机变量，则当减小时，保持不变 D. 一组数据的极差不小于该组数据的标准差 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二项分布的方差公式计算方差判断A，由残差的定义判断B，根据正态分布的性质判断C，由极差与标准差的概念判断D． 【详解】由于，所以A正确； 残差平方和越小，模型的拟合效果越好，所以B错误； 根据正态分布的概率分布特点知为定值，C正确； 由于， 标准差，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设得是首项、公比为3的等比数列，即可判断A、B、C；应用错位相减法、等比数列前n项和判断D. 【详解】由题设，且，故是首项、公比为3的等比数列， 所以，则，故不是等比数列，A错，B、C对； 由，则， 所以， 所以，D对. 故选：BCD 11. 如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ） A. ，，，四点不共面 B. 该几何体的体积为8 C. 过四点，，，四点的外接球表面积为 D. 截面四边形的周长的最小值为10 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用证明四点共面；对于B，通过补形可知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，进而求体积；对于C，过，，，构造正方体，则外接球直径为正方体的体对角线，进而求表面积；对于D，利用面面平行的性质定理证明四边形为平行四边形，则周长，进而求的最小值即可. 【详解】对于A，取中点，取靠近的三等分点， 易知四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 所以，，则， 所以，，，四点共面，故错误； 对于B，由对称性知，此几何体体积是底面边长为2的正方形，高为4的长方体体积的一半，所以，故B正确； 对于C，过四点，，，构造正方体， 所以，外接球直径为正方体的体对角线， 所以，则，所以此四点的外接球表面积为，故C正确； 对于D， 由题意，平面平面，平面平面，平面平面， 所以，同理可得， 所以四边形为平行四边形，则周长， 沿将相邻两四边形推平，当，，三点共线时，最小，最小值为5， 所以周长的最小值为，故D正确， 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线渐近线方程的求法求得正确答案. 【详解】由得，即，焦点在轴上，所以渐近线方程为. 故答案为： 13. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和可得，结合展开式的通项运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：. 14. 一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出标有数字的4只球排序情况，标有数字最大的球分为第3次摸到和第4次摸到两种情形，结合古典概型即可得结果. 【详解】标有数字的4只球排序共有种情况. 要摸到标有数字最大的球，有以下两种情况： ①标有数字最大的球第3次摸到，其他的小球随意在哪个位置，有种情况. ②标有数字最大的球第4次摸到，标有数字第二大的球在第1次或第2次被摸出， 其他的球在哪次摸出任意，有种情况.故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若，的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用边化角及和差公式、辅助角公式即可求解； （2）由面积公式和正弦定理即可求解. 【小问1详解】 由条件得，从而. 所以，由正弦定理得，故. 从而，得，故. 所以. 【小问2详解】 设的面积为，则. 16. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）； （2）当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合垂直关系求出值. （2）分类讨论判断值的正负情况，求出函数的单调区间. 【小问1详解】 函数，求导得， 由曲线在点处的切线垂直于直线，得， 所以. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，方程中，， 若，则，，函数在上单调递增； 若，则，关于x的方程有两个正根，，， 当或时，；当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间是； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 17. 如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若为钝角，且二面角的大小为，求. 【答案】（1）证明如下： 如图，在平面ABC内取点O，过O作于M，过O作于N， 平面平面ABC，平面平面，平面ABC， 平面PAC，又平面PAC，，同理可证， 又，平面ABC， 平面ABC； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，根据面面垂直的性质可得平面PAC，利用线面垂直的性质可得、，结合线面垂直的判定定理即可证明； （2）法一：如图，根据线面垂直的判定定理与性质可得平面PAC，得，设，，则，根据建立方程，解之即可求解. 法二：建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，结合三角恒等变换的化简计算即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：如图，过点B作于点H，过H作于点Q，连接BQ， 平面ABC，平面ABC，， 又，平面PAC， 平面PAC，则为二面角的平面角，即 设，， 则，， 所以，又，所以， 所以，由得， 整理得，又，解得或（舍去）， 综上. 法二：如图，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，设，， 则，，，， 易知平面PAC的法向量为， 设面PAB的法向量为， 则， ， 则， 整理得，由， 得，解得或（舍）， 综上，. 18. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. （1）求点T的轨迹W的方程； （2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 【答案】（1） （2） 由（1）知，，设直线，，， 联立消去x，整理得，则 ， 根据题意可设，，则由， 可得，同理可得， 所以直线FM与直线FN的斜率之积， . 所以直线FM与直线FN的斜率之积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的定义可知点T的轨迹为椭圆，然后求得，即可得到标准方程； （2）根据题意，设直线，然后联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到的纵坐标，然后代入斜率公式计算，即可证明. 【小问1详解】 由题意：点T在线段BF的垂直平分线上，则，可得. 由椭圆定义可得，点T的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且椭圆长轴长为，焦距为，， 所以点T的轨迹W的方程为 【小问2详解】 略 19. 一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辐角.我们规定在范围内的辐角称为辐角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为. （1）写出一次操作后所有可能的复数； （2）当，记的取值为X，求X的分布列； （3）求为实数的概率. 【答案】（1）1，i，，，， （2）X的分布列为 X 1 2 3 4 P （3）【解析】 【分析】（1）根据题意，直接得到结果； （2）根据题意，由条件可得X的取值为1，，2，3，，4，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列； （3）根据题意，由条件可得或，分别得到一次操作后得到的复数的辅角主值，然后在次操作中，分别设得到i，的次数为，的次数为，的次数为，即可得到，然后得到与之间的关系，即可得到结果. 【小问1详解】 一次操作后可能的复数为：1，i，，，，， 【小问2详解】 一次操作后复数的模所有可能的取值为是：1，1，，，2，2 由，故X的取值为1，，2，3，，4 ，，. ，，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 【小问3详解】若为实数，则或. 而1，i，，，，的辅角主值分别是0，，0，，，， 设在n次操作中，得到i，的次数为，得到的次数为，得到的次数为， 于是， 从而，即 因此，所有的概率即为是3的倍数的概率，下面研究与之间的关系. （ⅰ）是3的倍数，且第次操作得到的复数是1，i，，（概率为）； （ⅱ）被3除余1，且第次操作得到的复数是（概率为）； （ⅲ）被3除余2，且第次操作得到的复数是（概率为）； 因此由全概率公式可以得到： 变形得，其中，故 【点睛】关键点睛：本题主要考查了复数与离散型随机变量以及数列的综合应用，难度较大，结合数列的递推关系式从而得到与之间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤鸣高中2024学年第一学期高三第二次阶段性检测 数学试题卷 （2024.12） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列四个函数中，以为其对称中心，且在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. “直线与圆有公共点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆锥的侧面展开图是一个面积为的半圆，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 7. 某袋子中有大小相同的4个白球和2个红球，甲乙两人先后依次从袋中不放回取球，每次取1球，先取到红球者获胜，则甲获胜的概率（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上且不恒为的连续函数，若，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的周期为 D. 的值域为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 残差平方和越大，模型的拟合效果越好 C. 若随机变量，则当减小时，保持不变 D. 一组数据的极差不小于该组数据的标准差 10. 已知数列的前n项和为，满足，且，则下列结论中正确的是（ ） A. 为等比数列 B. 为等比数列 C. D. 11. 如图，是边长为2的正方形，，，，都垂直于底面，且，点在线段上，平面交线段于点，则（ ） A. ，，，四点不共面 B. 该几何体的体积为8 C. 过四点，，，四点的外接球表面积为 D. 截面四边形的周长的最小值为10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的渐近线方程为______. 13. 已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为______.（用数字作答） 14. 一只盒子中装有4个形状大小相同的小球，小球上标有4个不同的数字.摸球人不知最大数字是多少，每次等可能地从中摸出一个球，不放回.摸球人决定放弃前面两次摸出的球，从第3次开始，如果摸出的球上标有的数字大于前面摸出的球上的数字，就把这个球保存下来，摸球结束，否则继续摸球.问摸球人最后保存下来是数字最大的球的概率是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足. （1）求角A； （2）若，的面积为，求的值. 16. 已知函数，其中. （1）若曲线在点处的切线垂直于直线，求a的值； （2）讨论函数的单调性. 17. 如图，三棱锥中，，平面平面，平面平面. （1）证明：平面； （2）若为钝角，且二面角的大小为，求. 18. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段BF的垂直平分线l和半径BC相交于点T. （1）求点T的轨迹W的方程； （2）已知点，过点F的一条直线，斜率不为0，交曲线W于P、Q两点，直线AP，AQ分别与直线交于M，N两点，求证：直线FM与直线FN的斜率之积为常数. 19. 一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是以x轴非负半轴为始边，射线OZ为终边的角，称为复数的辐角.我们规定在范围内的辐角称为辐角主值，通常记作argz，如，，.发现，就是说两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数辐角的和.考虑如下操作：从写有实数0，1，的三张卡片中随机抽取两张，将卡片上的两个数依次作为一个复数的实部和虚部.设n为正整数，重复n次上述操作，可得到n个复数，将它们的乘积记为. （1）写出一次操作后所有可能的复数； （2）当，记的取值为X，求X的分布列； （3）求为实数的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $