2025年九年级中考数学广西专用一轮知识点梳理复习课件　课时27　与圆有关的概念与性质

第六单元　圆 课时27　与圆有关的概念与性质 核心素养 核心知识讲练 知识梳理 　　　　　人教：九上P79－P91；湘教：九下P43－P63；沪科：九下P12－P32． 知识梳理 一、圆的基本概念及性质 圆的 定义 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． 圆上点 的特征 1．圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)； 2．到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 弦、直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦(如AC，BC)，经过圆心的弦叫做①________(如BC)． 弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做②________． 注：长度相等的弧不一定是等弧． 直径　 等弧　 圆心角 顶点在圆心上的角叫做圆心角(如∠AOB)．   圆周角 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角(如∠C)． 对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 旋转不变性 圆绕它的圆心旋转任意一个角度，都能与自身重合． 二、与圆有关的定理及推论 弦　 相等　 平分　 平分　 垂直　 一半　 相等　 直角　 直径　 三、圆内接四边形 定义 四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形． 性质 1．圆内接四边形的对角⑫________(即∠A＋∠BCD＝180°，∠B＋∠D＝180°)； *2．圆内接四边形的任意一个外角等于和它相邻的内角的对角(如∠BCE＝∠A)． 互补　 核心知识讲练 例1　【原创】如图1，AB是⊙O的直径，点C，D均在⊙O上，∠BDC＝30°，连接AC，BC，OC． (1)∠BOC＝______，∠BAC＝_______． (2)若⊙O的半径为1，则AC＝______． 知识点　 　圆周角定理及其推论 图1 60°　 30°　 图2 解：△ACD为等边三角形．理由如下： ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． ∴∠ABC＝90°－∠BAC＝60°． 训练　1．(2023广西)如图3，点A，B，C在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数是 (　　) A．50° B．60° C．70° D．80° 图3 D　 2．(2024甘肃)如图4，点A，B，C在⊙O上，AC⊥ OB，垂足为D．若∠A＝35°，则∠C的度数是 (　　) A．20° B．25° C．30° D．35° 图4 A　 3．(2022贵港)如图5，⊙O是△ABC的外接圆，AC是⊙O的直径，点P在⊙O上．若∠ACB＝40°，则∠BPC的度数是 (　　) A．40° B．45° C．50° D．55° 图5 C　 4．【RJ九上P89改编】一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图6所示的测量，测得AB＝12 cm，BC＝5 cm，则圆形镜面的半径为__________． 图6 　　　　　5．(2024连云港)如图7，AB是圆的直径，∠1，∠2，∠3，∠4的顶点均在AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝______°． 90　 图7 例2　(2024新疆)如图8，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若CD＝8，OD＝5，则BE的长为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 知识点　 　垂径定理及其推论 图8 B　 训练　6．(2024北京)如图9，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径)．若∠D＝35°，则∠C＝______°． 55　 图9 7．【RJ九上P82改编】(2023广西)赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图10，主桥拱呈圆弧形，跨度约为37 m，拱高约为7 m，则赵州桥主桥拱半径R约为 (　　) A．20 m B．28 m C．35 m D．40 m B　 图10 图11 8．【RJ九上P90改编】(2024通辽)如图11，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心．若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为 (　　) A．1.25 m B．1.3 m C．1.4 m D．1.45 m B　 例3　【RJ九上P88改编】(2024广元)如图12，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上一点，∠AOC＝128°，则∠CDE等于 (　　) A．64° B．60° C．54° D．52° 知识点　 　圆内接四边形 图12 A　 训练　9．(2024吉林)如图13，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E．若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是 (　　) A．50° B．100° C．130° D．150° 图13 C　 C　 图14 核心素养 1．【跨学科、应用意识】某数学小组研究如下问题：某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度. 小组成员查阅相关资料，得到如下信息： 信息一：如图15①，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线； 信息二：如图15②，赤道半径OA约为6 400 km，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度． 根据以上信息，可得北纬28°纬线的长度约为________ km．(参考数据：π≈3，sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88， tan 28°≈0.53) 33 792 图15 　 文字语言 图示 几何语言 圆心角、 弧、弦之 间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的③______也相等． 在同圆或等圆中， 1．圆心角相等：∠AOB＝∠A′OB′； 2．弧相等：＝； 3．弦相等：AB＝A′B′． 以上条件知其一可得其二． 推论：1．在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦④________；　 2．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 文字语言 图示 几何语言 垂径 定理 定理：垂直于弦的直径⑤________弦，并且⑥________弦所对的两条弧． ∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点M， ∴AM＝MB，＝，＝． 推论：平分弦(不是直径)的直径⑦________于弦，并且平分弦所对的两条弧． ∵CD是⊙O的直径，AM＝MB， ∴CD⊥AB于点M，＝，＝． 文字语言 图示 几何语言 圆周角定理 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑧________． ∵∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角， ∴∠C＝∠AOB． 文字语言 图示 几何语言 圆周角定理 推论1：同弧或等弧所对的圆周角⑨________． ∵∠A2和∠A3都是所对的圆周角， ∴∠A2＝∠A3． ∵∠A1是所对的圆周角，且＝， ∴∠A1＝∠A2＝∠A3． 文字语言 图示 几何语言 圆周角 定理 推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是⑩________，90°的圆周角所对的弦是⑪________． 注：一条弦对应两条弧，且这两条弧所对的圆周角互补． ∵AB是⊙O的直径，∠C是所对的圆周角， ∴∠C＝90°． ∵∠C是所对的圆周角，∠C＝90°， ∴AB是⊙O的直径． $$