2025年中考广西专用数学一轮知识点梳理复习课时26　正方形课件

第五单元　四边形 课时26　正方形 核心素养 核心知识讲练 知识梳理 　　　　　人教：八下P58－P60；湘教：八下P72－P74；沪科：八下P92－P94． 知识梳理 一、正方形的性质与判定   文字语言 几何语言 性质 四条边都①________ AB＝BC＝CD＝AD 四个角都是②______角 ∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90° 对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角． AC⊥BD于点O，OA＝OC＝OB＝OD， AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC 相等　 直　   文字语言 几何语言 判定 (定义)有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． 有一组邻边③________的矩形是正方形． ∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形． 对角线④____________的矩形是正方形． ∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形． 有一个角是⑤________的菱形是正方形． ∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是正方形． 对角线相等的菱形是正方形． ∵四边形ABCD是菱形，AC＝BD， ∴四边形ABCD是正方形． 相等　 互相垂直　 直角　 二、平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系 1．性质对比   边 角 对角线 平行四边形 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 菱形 对边平行，四条边相等 对角相等 对角线互相垂直平分 正方形 对边平行，四条边相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等 2．判定之间的关系 三、中点四边形 概念 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形 原图形 任意四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且相等的四边形 中点四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形 菱形 矩形 正方形 核心知识讲练 图1 例1　【RJ八下P67改编】如图1，在正方形ABCD中，AB＝8，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，AD上，且AE＝BF＝CG＝DH，连接EF，FG，GH，HE． (1)求证：四边形EFGH是正方形； 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°． ∵AE＝BF＝CG＝DH， ∴BE＝CF＝DG＝AH． 知识点　 　正方形的判定与性质 ∴△AEH≌△BFE(SAS)． ∴HE＝EF，∠AEH＝∠BFE． 同理，得△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG． ∴HE＝EF＝FG＝GH．∴四边形EFGH是菱形． ∵∠B＝90°，∴∠BFE＋∠BEF＝90°． ∴∠AEH＋∠BEF＝90°．∴∠HEF＝90°． ∴四边形EFGH是正方形． 图1 (2)若AE＝3，求四边形EFGH的周长； 图1 解：∵AB＝8，AE＝3， ∴BE＝AB－AE＝5．∴AH＝5． (3)当四边形EFGH的面积最小时，求BE的长． 解：设BE＝x，四边形EFGH的面积为S，则BF＝AE＝8－x． 在Rt△BFE中，EF2＝BE2＋BF2＝x2＋(8－x)2． ∵S＝EF2，∴S＝x2＋(8－x)2＝2(x－4)2＋32． ∵2＞0，∴当x＝4时，S有最小值，最小值为32． ∴当四边形EFGH的面积最小时，BE的长为4． 图1 训练　1．(2024兰州)如图2，四边形ABCD为正方形．△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝_____． 图2 2　 2．【RJ八下P67改编】如图3，在正方形ABCD中，点F在对角线BD上，若∠BAF＝35°，则∠BFC的度数为_________． 100°　 图3 3．【RJ八下P62改编】如图4，在平面直角坐标系中，若点B的坐标是(－2，－2)，点C的坐标是(3，－2)，则正方形ABCD的顶点D的坐标是 (　　) A．(－2，2) B．(3，3) C．(3，2) D．(2，3) B　 图4 4．(2024桂林模拟改编)如图5，正方形ABCD和正方形CEFG，点G在CD上，连接AC，CF，AF．若BC＝6，CE＝2，则AF的长为 (　　) 图5 C　 5．(2021玉林)如图6，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a．两组对边分别相等；b．一组对边平行且相等；c．一组邻边相等；d．一个角是直角．顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是 (　　) A．仅① B．仅③ C．①② D．②③ C　 图6 6．(2024广西)如图7，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点．连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为 (　　) A．1 B．2 C．5 D．10 图7 C　 7．(2024重庆改编)如图8，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ADC＝90°，E是边BC上一点，F是边CD延长线上一点，且FD＝BE．连接AE，AF，AE⊥AF．求证：四边形ABCD是正方形． 证明：∵AD∥BC，∠ADC＝90°， ∴∠C＝90°． 又∠B＝90°， ∴四边形ABCD是矩形． ∴∠BAD＝90°． ∴∠BAE＋∠EAD＝90°． 图8 ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°，即∠EAD＋∠DAF＝90°． ∴∠BAE＝∠DAF．       ∴△ABE≌△ADF(AAS)． ∴AB＝AD．∴四边形ABCD是正方形． 图8 8．【RJ八下P69改编】如图9，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的动点，将EA绕点E顺时针旋转90°得EF，交CD于点G，连接CF． (1)求证：∠BAE＝∠CEF； (1)证明：由题意，得∠AEF＝90°． ∴∠AEB＋∠CEF＝90°． ∵∠B＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°． ∴∠BAE＝∠CEF． 图9 (2)求∠ECF的度数； (2)解：如答图1，在AB上截取BP＝BE， 连接EP，则AP＝EC，∠BPE＝45°． 由旋转的性质，得AE＝EF． 又AP＝EC，∠PAE＝∠CEF， ∴△APE≌△ECF(SAS)． ∴∠ECF＝∠APE＝180°－∠BPE＝180°－45°＝135°． 答图1 (3)求CG的长的最大值． 图9 解：(3)解：由(1)，得∠BAE＝∠CEF． ∵∠ABE＝∠ECG＝90°， ∴△ABE∽△ECG． 例2　如图10，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP．判断四边形CODP的形状，并说明理由． 知识点　 　平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质 解：四边形CODP是菱形．理由如下： ∵DP∥OC，DP＝OC， ∴四边形CODP是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC＝OD．∴四边形CODP是菱形． 图10 变式　1．如图11，如果题目中的矩形变为菱形，结论应变为什么？请说明理由． 解：四边形CODP是矩形．理由如下： ∵DP∥OC，DP＝OC， ∴四边形CODP是平行四边形． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． ∴∠DOC＝90°．∴四边形CODP是矩形． 图11 变式　2．如图12，如果题目中的矩形变为正方形，结论又变为什么？请说明理由． 解：四边形CODP是正方形．理由如下： ∵DP∥OC，DP＝OC， ∴四边形CODP是平行四边形． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DOC＝90°，OC＝OD． ∴四边形CODP是正方形． 图12 (1)求证：四边形DBCE是平行四边形； 证明：∵E是AC的中点， 又BD∥AC，即BD∥CE， ∴四边形DBCE是平行四边形． 图13 (2)求证：四边形ADBE是菱形； 证明：∵BD∥AC，即BD∥AE，BD＝AE， ∴四边形ADBE是平行四边形． 由(1)，得四边形DBCE是平行四边形， ∴DE∥BC． ∴∠AOE＝∠ABC＝90°．∴AB⊥DE． ∴四边形ADBE是菱形． 图13 (3)若AB＝8，BC＝6，求四边形ADBE的面积； 解：∵四边形DBCE是平行四边形， ∴DE＝BC＝6． ∵四边形ADBE是菱形， (4)当∠C＝______°时，四边形ADBE是正方形．　 图13 45　 核心素养 1．【推理能力】如图14，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD＝60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE＝OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是 (　　) A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 图14 A　 文字语言 几何语言 性质 周长：C正方形ABCD＝4AB；面积：S正方形ABCD＝AB2＝AC2． 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形．对称中心是对角线的交点，对称轴有四条，分别为过两组对边中点的直线和两条对角线所在的直线． 注：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． $$