2025年中考广西专用数学一轮知识点梳理复习课时15　二次函数的实际应用课件

第三单元　函　数 课时15　二次函数的实际应用 核心素养 核心知识讲练 核心知识讲练 类型一　销售问题 例1　(2024烟台)每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元．设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元． 知识点　二次函数的实际应用 (1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 分析：每辆轮椅降价x元，则降价后每辆轮椅盈利___________元；因为单价每降低10元，每天可多售出4辆，所以单价每降低x元，每天可多售出________辆；根据销售利润＝每辆轮椅的销售利润×(原销售量＋增加的销售量)，可得y＝_____________________；根据每辆轮椅的利润不低于180元，可得自变量x的取值范围是____________． (200－x)　 0.4x　 (200－x)(60＋0.4x)　 0≤x≤20　 ∵200－x≥180，且x≥0，∴0≤x≤20． 又－0.4＜0， ∴当x＝20时，利润y有最大值，最大值为12 240．　 答：y与x的函数关系式为y＝－0.4x2＋20x＋12 000；每辆轮椅降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为12 240元． (2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12 160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 解：由题意，得12 160＝－0.4(x－25)2＋12 250． 解得x1＝40(不合题意，舍去)，x2＝10．   答：这天售出了64辆轮椅． 训练　1．(2022北部湾)打油茶是广西少数民族特有的一种民俗．某特产公司近期销售一种盒装油茶，每盒的成本价为50元，经市场调研发现，该种油茶的月销售量y(盒)与销售单价x(元)之间的函数图象如图1所示． 图1 (1)求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． 解：(1)设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b． ∴y＝－5x＋500． 当y＝0时，即－5x＋500＝0．解得x＝100． ∴y与x之间的函数解析式为y＝－5x＋500(50＜x＜100)． (2)当销售单价定为多少元时，该种油茶的月销售利润最大？求出最大利润． 解：(2)设月销售利润为w元． 由题意，得w＝(x－50)(－5x＋500)＝－5x2＋750x－25 000＝－5(x－75)2＋3 125． ∵－5＜0，且50＜x＜100， ∴当x＝75时，月销售利润w有最大值，最大值是3 125． 答：当销售单价定为75元时，该种油茶的月销售利润最大，最大利润是3 125元． 类型二　面积问题 例2　【RJ九上P57改编】(2024湖北)如图2，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为42 m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形试验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写 x的取值范围)． 解：(1)由题意，得y＝－2x＋80． S＝－2x2＋80x． 图2 (2)矩形试验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． 解：(2)矩形试验田的面积S能达到750 m2． 由题意，得0＜y≤42，即0＜－2x＋80≤42． 解得19≤x＜40． 当S＝750时，即－2x2＋80x＝750． 整理，得x2－40x＋375＝0． 解得x1＝15(舍去)，x2＝25． 答：当x＝25时，矩形试验田的面积S能达到750 m2． 图2 (3)当x的值是多少时，矩形试验田的面积S最大？最大面积是多少？ 图2 解：(3)由(1)，得S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800． ∵－2＜0，且19≤x＜40， ∴当x＝20时，矩形试验田的面积S最大，最大值为800． 答：当x的值是20时，矩形试验田的面积S最大，最大面积为800 m2． 训练　2．【RJ九上P52改编】如图3，正方形纸片ABCD的边长为4，将它剪去4个全等的直角三角形(阴影部分)，得到四边形EFGH．设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式． 解：(1)∵正方形纸片ABCD的边长为4，4个直角三角形全等， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AE＝DH＝x，BE＝AH＝4－x，∠A＝∠D＝90°． 图3 (2)当x取何值时，四边形EFGH的面积为10? 解：(2)当y＝10时，2x2－8x＋16＝10． 解得x1＝1，x2＝3． 答：当x为1或3时，四边形EFGH的面积为10． 图3 (3)四边形EFGH的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 解：(3)由(1)，得y＝2x2－8x＋16＝2(x－2)2＋8． ∵2＞0， ∴当x＝2时，y有最小值，最小值为8． 答：四边形EFGH的面积有最小值，最小值为8． 图3 类型三　抛物线形、类抛物线形问题 例3　施工队要修建一个横断面为抛物线形的公路隧道，其最高点P距离地面高度为8米，宽度OM为16米．现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图4)． 图4 (1)求出这条抛物线的解析式，并写出自变量x的取值范围． 解：(1)依题意可知，点M(16，0)，顶点P(8，8)． 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx． 把点P(8，8)，M(16，0)代入， 图4 (2)隧道内的公路是单向双车道，两辆车并行时，两车之间的安全间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽2.5米、高5米的车辆？请通过计算说明． 图4 图5 (1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式．(不要求写出自变量x的取值范围) 图6 图6 (2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？ 图6 解：(2)设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． 整理，得(m－12)(m＋4)＝0． 解得m1＝12，m2＝－4(舍去)． 答：运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米． (3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围． 图6 $$