精品解析：吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

高二数学12月考 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 在长方体中，若，即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，过点引直线与圆相切，切点分别为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 已知直线经过点，，则到的距离为 D. 若，则为钝角 10. 已知直线，则下列选项正确的是（ ） A. 当直线与直线平行时， B. 当直线与直线垂直时， C. 当实数变化时，直线恒过点 D. 直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4 11. 如图，在长方体中，，点是平面上的动点，满足，（ ） A. 在底面上的轨迹是一条直线 B. 三棱锥的体积是定值 C. 若角是直线和平面所成角，则的最大值是 D. 不存在点，使得 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过的定点坐标是__________． 13. 已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为__________． 14. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，，分别为的两个焦点，动点P在上（异于的左、右顶点），的重心为G，若直线与的斜率之积为非零常数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为45°，且经过点． （1）求与两坐标轴围成的三角形面积； （2）若直线，且到的距离为，求的方程． 16. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，为线段AD的中点，为PC上的一点，且． （1）求直线EF与平面所成的角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知圆. （1）若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. （2）在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 19. 某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，. （1）求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率； （2）求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学12月考 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与轴平行，求出倾斜角. 【详解】因为直线方程为：，与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故选：A. 2. 在长方体中，若，即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的线性与空间向量的基本定理即可求解 【详解】因为， 所以向量在单位正交基底下的坐标为， 故选：A 3. 已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线焦距可得与，进而可得渐近线方程. 【详解】由已知双曲线的焦距，即， 所以，解得， 即双曲线方程为， 则其渐近线方程为， 故选：B. 4. 已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线l的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量基底的概念证明必要性，然后举出反例说明“不充分”，由此得出正确选项. 【详解】当时，由于是不共线的向量，故可用作为基底表示出来， 即共面，所以“必要性”成立. 当共面时，直线l可能在平面内，故“充分性”不成立. 所以是必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知P是直线l：上一动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB的外接圆的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四边形PACB的外接圆的直径为PC，且其最小值为圆心C到直线的距离求解. 【详解】圆的方程，即为，圆心， 易知四边形PACB的外接圆的直径为PC， PC的最小值为圆心C到直线的距离，即， 则四边形PACB的外接圆的半径为， 所以四边形PACB的外接圆的面积的最小值为. 故选：D 6. 已知双曲线的左右焦点分别为，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线写出渐近线和焦点坐标，利用点到线距离公式列方程可得，再由双曲线参数关系及离心率公式求结果. 【详解】由题设可得双曲线渐近线为，且， 所以，即，又，所以， 所以. 故选：D 7. 已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，过点引直线与圆相切，切点分别为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程得到焦点坐标，即可求得圆心，通过面积关系得到等式，即可求得结果. 【详解】因为椭圆，即， 所以右焦点坐标为， 又圆的圆心为椭圆的右焦点，半径， 所以圆的标准方程为：， 设，根据圆的性质得， ， 因为，四边形的面积， 即， 设，则， 因为点在椭圆上，所以， 将代入到中得 ， 对于二次函数，其对称轴为， 所以，，所以， 当时，， 当时，， 所以， 故选：B. 8. 在三棱锥中，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与所成角的余弦值列方程，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积. 【详解】设外接球的半径为，则，由于是外接球的直径， 所以， ，所以， 所以，所以， 所以， ， 设与所成角为，则， 整理得，所以外接球的表面积为. 故选：A 【点睛】方法点睛： 求解外接球有关问题，关键是找到球心并计算出半径；求解异面直线所成的角，可以利用几何法来求解，也可以利用向量法来进行求解. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B. 直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 已知直线经过点，，则到的距离为 D. 若，则为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】根据空间向量的性质即可判断A；只需判断与是否平行判断B；利用向量法的点到直线线距离公式计算可判断C；由反向共线的情况判断D. 【详解】A：对于空间向量，若， 空间中任意两个向量均是共面的，即、均共面， 所以一定共面，故A对； B：因为，,所以与不平行， 故不成立，故B错； C：由题设，， 则直线上的单位方向向量为， 故， 所以到直线的距离，故C对； D：当反向共线时，也有，但此时不是钝角，故D错. 故选：AC 10. 已知直线，则下列选项正确的是（ ） A. 当直线与直线平行时， B. 当直线与直线垂直时， C. 当实数变化时，直线恒过点 D. 直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线平行、垂直的判定求参数判断A、B；将直线化为，即可得定点判断C；求直线与坐标轴的交点，应用三角形面积公式及换元法、基本不等式求面积的最小值，注意取值条件，判断D. 【详解】A：由题意，，则，对； B：由题意，，则，错； C：直线可化为，联立，直线恒过点，对； D：由题意，直线与负半轴均有交点， 令，则，令，则，易知， 所以直线和负半轴构成的三角形面积， 令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以直线和负半轴构成的三角形面积最小值是4，对. 故选：ACD 11. 如图，在长方体中，，点是平面上的动点，满足，（ ） A. 在底面上的轨迹是一条直线 B. 三棱锥的体积是定值 C. 若角是直线和平面所成角，则的最大值是 D. 不存在点，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】在上取，连接并延长交延长线于，并证明，结合已知即得在底面上的轨迹是直线、且面，判断A、B；先找到直线和平面所成角的平面角，再确定取最大时的位置，即可判断C；问题化为判断是否存在使，即可判断D. 【详解】A：在上取，连接并延长交延长线于， 在和中，且， 所以，则， 所以，由长方体性质易得，而都在面内， 所以面，面，故， 根据题设，易知，，同理可证， 由且都在面内，所以面， 即面，又面面，由， 只需在直线，即在底面上的轨迹是一条直线，对； B：由长方体的结构特征知：面，即面， 所以到面的距离恒定不变，即三棱锥的体积是定值，对； C：由面，易知是直线和平面所成角的平面角， 所以，要使该值最大，只需最小，显然当时最小， 而，，且， 所以，则，则，，故，对； D：由面，面，则， 若存在，使，又且都在面内， 此时面，面，只需， 显然，在面上以为直径的圆与的交点作为点，满足， 故存在点，使得，错. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：对于A，注意作辅助线找到一个平面与垂直，并确定该平面与底面的交线，对于D，将问题化为判断在面上是否存在使成立. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过的定点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】化直线方程为，即可得出答案. 【详解】化直线方程为：，即定点坐标为． 故答案为：. 13. 已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为__________． 【答案】65 【解析】 【分析】由平均数和方差的定义求解即可. 【详解】因为x，y，8，10，11．它的平均数为8，所以， 由，得， 则， 可得：. 故答案为：65. 14. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，，分别为的两个焦点，动点P在上（异于的左、右顶点），的重心为G，若直线与的斜率之积为非零常数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，，则，由P在上和直线与的斜率之积为常数，可得到， ，再利用，求解即可. 【详解】设椭圆的标准方程为，点，， 则代入中，得① 又因为，即，即② 比较得，， 即，， 又，即，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为45°，且经过点． （1）求与两坐标轴围成的三角形面积； （2）若直线，且到的距离为，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，即可得直线与坐标轴交点坐标，从而可求面积； （2）根据垂直关系可得直线的斜率，再由点到直线的距离公式求解直线方程. 【小问1详解】 直线的斜率是， 其方程为：，直线与坐标轴交点坐标为和， 则所求三角形面积为：． 【小问2详解】 直线的斜率是，设其方程为， 所以到的距离，得或， 所以的方程为或． 16. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，为线段AD的中点，为PC上的一点，且． （1）求直线EF与平面所成的角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量和，再代入空间向量的线面角公式即可； （2）求出平面和平面的法向量，代入空间向量的二面角公式计算即可； 【小问1详解】 连接AC，因为底面是正方形，侧棱平面， 以为原点，DA，DC，DP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， ，，平面， 平面，，，， 取平面的法向量为， ，，又， ， 而，， 记直线EF与平面所成的角为，则， 所以直线EF与平面所成的角的正弦值为． 【小问2详解】 设平面的法向量为，，，， ，即，令，则取， 易知平面，取平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知圆. （1）若直线方程为与圆C相交于A、B两点，求. （2）在（1）的前提下，若点Q是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由圆的弦长公式结合点到直线距离公式即可计算求解； （2）求出点Q到直线距离的最大值即可求解. 【小问1详解】 由题意可得圆的标准方程为，所以圆心，半径， 又直线方程为， 则圆心C到直线的距离，直线AB与圆相交， 所以. 【小问2详解】 圆的圆心，半径， 则点到直线：的距离为， 所以点Q到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为. 18. 如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. （1）求椭圆的方程； （2）若，求MN的方程； （3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】（1） （2） （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【小问1详解】 由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔.第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格.若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试.面试合格者代表年级组参加全校的决赛.现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，. （1）求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率； （2）求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率计算公式求解即可； （2）先求出乙能够代表年级组参加全校的决赛的概率，再根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率计算公式求解即可. 【小问1详解】 由题意甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率为： ； 【小问2详解】 由题意乙能够代表年级组参加全校的决赛的概率为： ， 所以甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率为： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $