期末专题复习讲义05 一元函数的导数及应用-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2024-2025学年度人教版（2019）高二上学期期末专题复习讲义05-一元函数的导数及应用 一．导数的定义： 2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③取极限得导数： 二．导数的几何意义： 函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。 题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况： （1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是： （2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。 三．导数的运算 （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①；②；； ③； ④ ⑤ ⑥； ⑦； ⑧ 法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3： (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数的导数求法： ①换元，令，则②分别求导再相乘③回代 四．函数的单调性和导数 函数的单调性：设函数在某个区间内可导， （1）该区间内为增函数； （2）该区间内为减函数； 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。 （3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立； （4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 1、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性： 步骤： （1）求导数 (2)判断导函数在区间上的符号 (3)下结论 ①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数； 2、利用导数求单调区间 求函数单调区间的步骤为： （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间 3、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题） 思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立； （2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。 五．函数的极值与其导数的关系 ①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。 ②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。 ③求极值的步骤： 第一步：求导数； 第二步：求方程的所有实根； 第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化， 若的符号由正变负，则是极大值； 若的符号由负变正，则是极小值； 若的符号不变，则不是极值，不是极值点。 六．函数的最值与导数 ①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或） ②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。 ③求可导函数在闭区间上的最值方法： 第一步；求在区间内的极值； 第二步：比较的极值与、的大小： 第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。 注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。 2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值） 3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。 注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值； 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 七：同构函数 同构式：在成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度。找到这个函数模型的方法，我们称为同构法。具有相同结构的两个代数式称为同构式。 例如：若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)] ≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法。 1、常见类型同构函数 (1) 构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑. (2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式； 构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式. (3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式. (4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式. 2、指对数同构 ① ②来进行研究 ③ ④ ⑤ 3、指对互化关系 同构转化关系：已知含有则可同构转化如下 (同左边),则构造函数 (同右边),则构造函数 (取对数),则构造函数 八、函数的零点、隐零点问题 1、函数零点个数问题 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 利用函数的极值(最值)判断函数零点个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围． 2、零点存在性赋值理论 （1）、确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点． （2）、赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x0 落在规定区间内；确保运算可行 三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算. 3、隐零点问题 （1）、函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”。 （2）、利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为,再利用导函数的单调性确定所在区间,最后根据,研究,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若中含有参数a，关系式是关于的关系式，确定的合适范围，往往和的范围有关 考点一 导数的几何意义及切线方程 1、（23-24高二上·北京大兴·期末）函数在区间，上的平均变化率为15，则实数的值为　　 A． B． C．1 D．2 2、（23-24高二上·江西南昌·期末）已知函数，则的值为（       ） A． B． C．10 D．20 3、（23-24高二上·河北邯郸·期末）某铁球在时，半径为．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为　　（参考公式： A．0 B． C． D． 4、（2023上·河南南阳·高二 统考期中）已知直线与曲线相切，则（    ） A． B． C．1 D．2 5、（23-24高二上·山西大同·期末）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6、（23-24高二上·北京海淀·期末）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 7、（23-24高二上·湖南长沙·期末）若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数，则下列选项中错误的是（       ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 8、（23-24高二上·四川泸州·期末）设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若总存在两条直线和曲线与都相切，求的取值范围. 考点二 导数的运算及复合函数求导 1、（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知函数，则（1）　　 A．1 B．2 C．3 D．4 2、（23-24高二上·湖北黄冈·期末）下列导数运算正确的是　　 A． B． C． D． 3、（23-24高二上·广东东莞·期末）已知函数的导函数为，且满足，则（       ） A．1 B． C． D．4 4、（23-24高二上·福建厦门·期末）若函数的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 5、（23-24高二上·福建福州·期末）（多选）下列求导运算不正确的是　　 A． B． C． D． 6、（23-24·全国高二专题练习）求下列函数的导数： （1）y＝；（2）y＝e2x＋1；（3）y＝ln(3x－1)； （4）y＝sin；（5）y＝esin(ax＋b)；（6）y＝5log2(2x＋1). 考点三 导数研究函数的单调性、极值与最值问题 1、（23-24高二上·陕西西安·期末）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 2、（23-24高二上·广东广州·期末）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 3、（23-24高二上·江苏宿迁·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·山东青岛·期末）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5、（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6、（23-24高二上·天津红桥·期末）已知函数.若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7、（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值和最大值； (2)若，求证：在处取得极小值． 8、（23-24高二上·北京通州·期末）已知函数，，. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； 9、（23-24高二上·辽宁丹东·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的极小值为，求的值． 10、（23-24高二上·北京·期末）已知函数， (1)当时，求在的最小值； (2)求的单调减区间． (3)若有最小值，请直接写出的取值范围． 考点四 导数中的构造问题 1、（23-24高二上·浙江杭州·期末）函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为 A． B． C．，或 D．，或 2、（23-24高二上·湖南常德·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是　　 A． B． C． D． 3、（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·江苏南通·期末）若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数）的解集为 5、（23-24高二上·河北保定·期末）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 考点五 导数中的比大小问题 1、（23-24高二上·北京·期末）已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高二上·江苏扬州·期末）设，，，则( ) A. B. C. D. 3、（23-24高二上·福建宁德·期末）已知，则的大小关系是（       ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·广东揭阳·期末）若，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 5、（23-24高二上·湖北武汉·期末）设，，，则（       ） A． B． C． D． 6、（23-24高二上·河南郑州·期末）已知，，则( ) 7、（23-24高二上·山东烟台·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 考点六 导数中的不等式恒成立与能成立问题 1、（23-24高二上·北京·期末）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 2、（23-24高二上·福建三明·期末）已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的最大值． 3、（23-24高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 4、（23-24高二上·江西抚州·期末）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若关于的不等式在上能成立，求实数的取值范围． 5、（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 6、（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数，，． (1)求的最大值； (2)若对，总存在使得成立，求的取值范围. 7、（2023·上海·高二上海市宜川中学校考期末）已知函数(其中为自然对数的底数). (1)当时，试求函数在上的最值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，证明：. 考点八 导数中的零点与隐零点 1、（23-24高二上·天津·期末）设函数，则的零点个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 2、（23-24高二上·江苏南京·期末）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3、（2023·广东韶关·高二统考期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·四川绵阳·期末）函数． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点． 5、（23-24高二上·四川成都·期末）设函数，其中. (1)讨论函数在上的极值； (2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围. 6、（23-24高二上·湖南株洲·期末）函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数. (1)若，求的值和函数的单调区间； (2)若，讨论的零点个数. 7、（23-24高二上·河北张家口·期末）已知函数f(x)＝x－aln x－1(a∈R). (1)当a＝1时，求证：f(x)≥0； (2)若x＝1是f(x)唯一的零点，求f(x)的单调区间. 8、（23-24高二上·江西新余·期末）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的零点个数． 考点九 导数中的极值点偏移问题 1、（2023·内蒙古赤峰·高二赤峰红旗中学松山分校校联考期末）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)令，若有两个不相等的实数根. （i）求a的取值范围； （ii）求证：. 2、（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 3、（23-24高二上·湖北随州·期末）设，为函数（）的两个零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 4、（23-24高二上·江苏镇江·期末）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 一、单选题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 3．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若函数在处有极小值，则（　　） A． B． C．或 D． 4．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·福建南平·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山西运城·期末）定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·宁夏银川·期末）下列有关导数的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·江苏南京·期末）下列不等式恒成立的有（    ）. A．当时， B．当时， C．（其中，为自然对数的底数） D．当时， 11．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二上·山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ． 13．（23-24高二上·河南开封·期末）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是 ． 14．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 16．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求的取值范围. 17．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若存在零点，求实数的取值范围. 18．（23-24高二上·山西·期末）已知函数. (1)证明：； (2)设，求证：对任意的，都有成立. 19．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数． (1)若在定义域内单调递增，求的取值范围； (2)若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度人教版（2019）高二上学期期末专题复习讲义05-一元函数的导数及应用 一．导数的定义： 2.利用定义求导数的步骤： ①求函数的增量：；②求平均变化率：； ③取极限得导数： 二．导数的几何意义： 函数在处导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。 题型三．用导数求曲线的切线 注意两种情况： （1）曲线在点处切线：性质：。相应的切线方程是： （2）曲线过点处切线：先设切点，切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。 三．导数的运算 （1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式： ①；②；； ③； ④ ⑤ ⑥； ⑦； ⑧ 法则1：；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 法则2：(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号) 法则3： (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) （2）复合函数的导数求法： ①换元，令，则②分别求导再相乘③回代 四．函数的单调性和导数 函数的单调性：设函数在某个区间内可导， （1）该区间内为增函数； （2）该区间内为减函数； 注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。 （3）在该区间内单调递增在该区间内恒成立； （4）在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 1、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性： 步骤： （1）求导数 (2)判断导函数在区间上的符号 (3)下结论 ①该区间内为增函数； ②该区间内为减函数； 2、利用导数求单调区间 求函数单调区间的步骤为： （1）分析 的定义域； （2）求导数 （3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间 （4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间 3、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题） 思路一.（1）在该区间内单调递增在该区间内恒成立； （2）在该区间内单调递减在该区间内恒成立； 思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。 五．函数的极值与其导数的关系 ①极值的定义：设函数在点附近有定义，且若对附近的所有的点都有（或，则称为函数的一个极大（或小）值，为极大（或极小）值点。 ②可导数在极值点处的导数为0（即），但函数在某点处的导数为0，并不一定函数在该处取得极值（如在处的导数为0，但没有极值）。 ③求极值的步骤： 第一步：求导数； 第二步：求方程的所有实根； 第三步：列表考察在每个根附近，从左到右，导数的符号如何变化， 若的符号由正变负，则是极大值； 若的符号由负变正，则是极小值； 若的符号不变，则不是极值，不是极值点。 六．函数的最值与导数 ①最值的定义：若函数在定义域D内存，使得对任意的，都有，（或）则称为函数的最大（小）值，记作（或） ②如果函数在闭区间上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间上必有最大值和最小值。 ③求可导函数在闭区间上的最值方法： 第一步；求在区间内的极值； 第二步：比较的极值与、的大小： 第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。 注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个。 2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值） 3、注意：极大值不一定比极小值大。如的极大值为，极小值为2。 注意：当x=x0时，函数有极值 f/(x0)＝0。但是，f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值； 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 七：同构函数 同构式：在成立或恒成立命题中，有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度。找到这个函数模型的方法，我们称为同构法。具有相同结构的两个代数式称为同构式。 例如：若F(x)≥0能等价变形为f[g(x)] ≥f[h(x)]，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)≥h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法。 1、常见类型同构函数 (1) 构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑. (2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式； 构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式. (3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式. (4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式. 2、指对数同构 ① ②来进行研究 ③ ④ ⑤ 3、指对互化关系 同构转化关系：已知含有则可同构转化如下 (同左边),则构造函数 (同右边),则构造函数 (取对数),则构造函数 八、函数的零点、隐零点问题 1、函数零点个数问题 用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断；另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决．对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值；从图象的对称性,分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数． 利用函数的极值(最值)判断函数零点个数，主要是借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负、函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者利用零点个数求参数范围． 2、零点存在性赋值理论 （1）、确定零点是否存在或函数有几个零点,作为客观题常转化为图象交点问题,作为解答题一般不提倡利用图象求解,而是利用函数单调性及零点赋值理论.函数赋值是近年高考的一个热点, 赋值之所以“热”, 是因为它涉及到函数领域的方方面面：讨论函数零点的个数(包括零点的存在性, 唯一性)； 求含参函数的极值或最值； 证明一类超越不等式； 求解某些特殊的超越方程或超越不等式以及各种题型中的参数取值范围等,零点赋值基本模式是已知 f (a) 的符号,探求赋值点 m (假定 m a )使得 f (m) 与 f (a) 异号,则在 (m,a) 上存在零点． （2）、赋值点遴选要领：遴选赋值点须做到三个确保：确保参数能取到它的一切值； 确保赋值点 x0 落在规定区间内；确保运算可行 三个优先：（1）优先常数赋值点；（2）优先借助已有极值求赋值点；（3）优先简单运算. 3、隐零点问题 （1）、函数零点按是否可求精确解可以分为两类：一类是数值上能精确求解的，称之为“显零点”；另一类是能够判断其存在但无法直接表示的，称之为“隐零点”。 （2）、利用导数求函数的最值或单调区间,常常会把最值问题转化为求导函数的零点问题,若导数零点存在,但无法求出,我们可以设其为,再利用导函数的单调性确定所在区间,最后根据,研究,我们把这类问题称为隐零点问题. 注意若中含有参数a，关系式是关于的关系式，确定的合适范围，往往和的范围有关 考点一 导数的几何意义及切线方程 1、（23-24高二上·北京大兴·期末）函数在区间，上的平均变化率为15，则实数的值为　　 A． B． C．1 D．2 【解答】解：由区间，，可知，可得， 又由，解得． 故选：． 2、（23-24高二上·江西南昌·期末）已知函数，则的值为（       ） A． B． C．10 D．20 【答案】D 【分析】根据导数的定义可得，再用求导公式可得，代入即可得解. 【详解】 因为，所以， 所以. 故选：D 3、（23-24高二上·河北邯郸·期末）某铁球在时，半径为．当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为时铁球的半径为，其中为常数，则在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为　　（参考公式： A．0 B． C． D． 【解答】解：根据题意，当温度为时铁球的半径为，其体积， 其导数， 则，即在时，铁球体积对温度的瞬时变化率为， 故选：． 4、（2023上·河南南阳·高二 统考期中）已知直线与曲线相切，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】设切点为，则， 故， 由可得：代入可得： ，则，解得：，． 故选：A. 5、（23-24高二上·山西大同·期末）已知函数若对任意，曲线在点和处的切线互相平行或重合，则实数（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由函数， 可得， 因为曲线在点和处的切线互相平行或重合， 可得为偶函数，所以，解得. 故选：C. 6、（23-24高二上·北京海淀·期末）已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，即时，，解得， 时，，无解，故， 设过点与曲线相切的直线的切点为， 当时，，则有， 有，整理可得，即， 即当时，有一条切线， 当时，，则有， 有，整理可得， 令， 则， 令，可得， 故当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 由， ，故在上没有零点， 又， 故在上必有唯一零点， 即当时，亦可有一条切线符合要求， 故. 故选：B. 7、（23-24高二上·湖南长沙·期末）若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对的偏导数，记为，已知二元函数，则下列选项中错误的是（       ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】B 【分析】根据条件求出、，然后可逐一判断ABC，，然后利用导数求出右边的最小值即可. 【详解】因为（，）， 所以，则， 又，所以， 因为， 所以当时，取得最小值，且最小值为， ， 令（），， 当时，，当时，， 故， 从而当时，取得最小值，且最小值为. 8、（23-24高二上·四川泸州·期末）设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若总存在两条直线和曲线与都相切，求的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【详解】（1），， 令，得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）∵ ∴在处的切线方程为， ∵， ∴在点处的切线方程为， 由题意得，则， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且当时，， 所以时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以， 若总存在两条直线和曲线与都相切， 则曲线与轴有两个不同的交点， 则，所以， 此时，而， 故， 所以的取值范围为. 考点二 导数的运算及复合函数求导 1、（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知函数，则（1）　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：， （1）， 故选：． 2、（23-24高二上·湖北黄冈·期末）下列导数运算正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，错误， ，正确， ，错误， ，错误， 故选：． 3、（23-24高二上·广东东莞·期末）已知函数的导函数为，且满足，则（       ） A．1 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先对进行求导，然后把代入，可列出关于的等式，即可解出，从而得出的解析式，即可求出. 【详解】解：因为， 所以，把代入， 得，解得：， 所以，所以. 4、（23-24高二上·福建厦门·期末）若函数的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，令，则，解得，所以，.故选：D. 5、（23-24高二上·福建福州·期末）（多选）下列求导运算不正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，错； ，对； ，错； ，错． 故选：． 6、（23-24·全国高二专题练习）求下列函数的导数： （1）y＝；（2）y＝e2x＋1；（3）y＝ln(3x－1)； （4）y＝sin；（5）y＝esin(ax＋b)；（6）y＝5log2(2x＋1). 【答案】（1）；（2）2e2x＋1；（3）；（4）；（5） ；（6）. 【解析】（(1)设，，则； (2)设则. (3)设，则 (4)设，则 (5)设， 则； (6)设，则 考点三 导数研究函数的单调性、极值与最值问题 1、（23-24高二上·陕西西安·期末）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若，则单调递减，图像可知，， 若，则单调递增，由图像可知， 故不等式的解集为．故选：C 2、（23-24高二上·广东广州·期末）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，则，可得， 而，则， 所以，即，则且递增， 当时，即递减，故递减区间为(-,0).故选：A 3、（23-24高二上·江苏宿迁·期末）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立， 令，则， 所以在上递增，又，所以.所以的取值范围是.故选：B 4、（23-24高二上·山东青岛·期末）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为，所以，即， ，令，得或（舍去）， 因为在定义域的一个子区间内不是单调函数， 所以，得，综上，，故选：D 5、（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解析】∵，∴， 若在区间内存在单调递增区间，则有解， 故，令，则在单调递增， ，故.故选：D. 6、（23-24高二上·天津红桥·期末）已知函数.若对任意，且，都有，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，不妨取，则可转化为， 即. 令，则对任意，，且，都有， 所以在上单调递增，即在上恒成立， 即在上恒成立.令，，则，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数a的取值范围是，故选:A 7、（23-24高二上·北京朝阳·期末）已知函数． (1)若，求在区间上的最小值和最大值； (2)若，求证：在处取得极小值． 【答案】(1)最小值为，最大值为； (2)证明见解析. 【详解】（1）由题设，则， 在上，即递增， 所以最小值为，最大值为. （2）由题意，则， 令，则，且. 所以，即在处有递增趋势， 综上，若且无限趋向于0， 在上，递减， 在上，递增， 所以在处取得极小值． 8、（23-24高二上·北京通州·期末）已知函数，，. (1)求的值； (2)求在区间上的最大值； 【答案】(1) (2)时，， 时， 时， ， 【详解】（1）由得，所以， （2）由得， 当时，，故在区间上单调递增，所以， 当时，令，则，令，则， 故在上单调递减，在上单调递增， 当时，，此时在区间上单调递减，所以， 当时，，此时在区间上单调递增，所以， 当时，，此时在区间上单调递增，在单调递减， 综上可得：时，， 时， 时， ， 9、（23-24高二上·辽宁丹东·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若的极小值为，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)4 【详解】（1）因为的定义域为，所以， 当时，，则在上递增， 当时： 若时，解之得：或， 所以得：在区间，上单调递增， 若时，解之得：， 所以得：在区间上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减. （2）由（1）知，当时在上单调递增，故不存在极值， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在处取得极小值， 所以，解之得，故的值为4. 10、（23-24高二上·北京·期末）已知函数， (1)当时，求在的最小值； (2)求的单调减区间． (3)若有最小值，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【详解】（1）由题设， 当，令，故， 则，即时. （2）由， 又定义域为，令， 当时，在上，上， 此时的递减区间为，递增区间为； 当时，在上， 此时的递减区间为，无递增区间； 当时，在上，上， 此时的递减区间为，递增区间为； （3）当时，在上，且， 由（2），在上递减，上递增，故为极小值， 此时，有最小值； 当时，在上递减且，上递增且， 此时，没有最小值； 当时，在上递减且，且， 由（2），在上递减，上递增，故为极大值， 此时，没有最小值； 综上，时有最小值. 考点四 导数中的构造问题 1、（23-24高二上·浙江杭州·期末）函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为 A． B． C．，或 D．，或 【解析】令，则， ， ， ，即在上单调递减， 又，， 故当时，，即，整理得， 的解集为． 故选：． 2、（23-24高二上·湖南常德·期末）已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是　　 A． B． C． D． 【解析】构造函数， 则， 对任意的，满足， ，即函数在，单调递增， 则②，即， ，即，故正确； ③，即， ，故③正确； ④，即， ，故④正确； 由排除法， 故选：． 3、（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由变形得， 从而有，， 所以， 因为，所以，则， 则， 故当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，， 又，而，所以， 所以. 故选：D. 4、（23-24高二上·江苏南通·期末）若定义在上的函数满足，，则不等式为自然对数的底数）的解集为 【解析】设，， 则， ， ， ， 在定义域上单调递减， ， ， 又， ， 故答案为：． 5、（23-24高二上·河北保定·期末）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 解析：由已知， 令，则，显然在上单调递增， 所以对恒成立． 令，则，所以当时，；当时，， 故在上的最大值是，所以．故答案为：． 总结：同乘补全结构，再指对分离即可 考点五 导数中的比大小问题 1、（23-24高二上·北京·期末）已知，，，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】，，， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以，所以 2、（23-24高二上·江苏扬州·期末）设，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 法一：观察到，则考虑构造函数， 则， 故 法二：令，则，，，故 ，故在上递增，即， 而，故 3、（23-24高二上·福建宁德·期末）已知，则的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数判断在上的单调性，即可得的大小关系. 【详解】令，可得， 当时，恒成立，所以在上单调递减，所以， 即，可得，，所以，， 所以，，即，.所以.故选：B. 4、（23-24高二上·广东揭阳·期末）若，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，应用导数研究其单调性，进而比较，，的大小，若有两个解，则，，构造，利用导数确定，进而得到，即可判断a、c的大小，即可知正确选项. 【详解】令，则，，， 而且，即时单调增，时单调减，又， ∴，. 若有两个解，则，， 即，， 令，则，即在上递增， ∴，即在上，，若即，故，有 ∴当时，，故， 综上：. 5、（23-24高二上·湖北武汉·期末）设，，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用函数的导数讨论函数的单调性. 【详解】令 ，， 则， 所以在上单调递增 ， 所以，即， 所以， 故选：D 6、（23-24高二上·河南郑州·期末）已知，，则( ) 【答案】D ，，故 ，，故 观察，发现都含有，把换成， 自变量在内，可以得出的大小，故. 7、（23-24高二上·山东烟台·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数证明，进而比较大小，再根据正余弦函数性质比较大小即可得答案. 【详解】解：当，又，所以，故 记，所以， 令，得，令，得， 所以在单调递减，在单调递增. 所以，即，当时取等号. 所以，所以. 考点六 导数中的不等式恒成立与能成立问题 1、（23-24高二上·北京·期末）已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 ． 【解】原不等式等价于对所有都成立. 构造函数，则； （上面的变形应用了含参的二次三项式的“十字相乘法”分解） 令，解得（区间端点），． 当即时，，在，所以，满足题意； 当即时，在，所以，不合题意； 综上，实数的取值范围是． 2、（23-24高二上·福建三明·期末）已知函数，． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， 于是，， 则函数在点处的切线方程为 ，即； （2）因为在上恒成立，所以在上恒成立， 设，，则， 令，，则在上恒成立， 因此在上单调递减，于是， 因此在上恒成立，在上单调递减， 则，由此可知，，于是实数的最大值为． 3、（23-24高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以， 当时，， 故恒成立，所以； 当时，令， 解得（舍去负根）， 令，得，此时单调递增； 令，得，此时单调递减． 综上所述：当时，在上单调递减; 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由恒成立，得在上恒成立， 所以在上恒成立． 令， 则． 令， 易知在上单调递减且， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为 4、（23-24高二上·江西抚州·期末）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若关于的不等式在上能成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）依题意，，故． 则；而， 故所求切线方程为，即． （2）依题意，， 令，，则函数在上的最小值小于0，． ①当，即时，，在上单调递减， 则函数在上的最小值，故，舍去． ②当，即时，， 在上单调递增， 所以在上的最小值， 解得，又，故． ③当时，即时， 在上单调递减，在上单调递增 所以在上的最小值为． 因为，所以，所以， 所以，不合题意，舍去． 综上所述，实数的取值范围为． 5、（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且， 由解得：；由解得：， 所以的增区间为，减区间为． （2）［方法一］：【最优解】放缩法 当时，. 设，则. 当时，； 当时，.所以是的最小值点. 故当时，.因此，当时，. ［方法二］：【通性通法】隐零点讨论 因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以． 设，则． 所以在区间内单调递减，故，即成立． ［方法三］：分离参数求最值 要证时，即，则证成立． 令，则． 令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减． 所以，而，所以恒成立，原命题得证． ［方法四］：隐零点讨论＋基本不等式 ，结合与的图像，可知有唯一实数解，不妨设，则．易知在区间内是减函数，在区间内是增函数．所以． 由，得． ． 当且仅当，即时，，所以． 6、（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数，，． (1)求的最大值； (2)若对，总存在使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）由已知可得，定义域为，. 当时，有，所以在上单调递增； 当时，有，所以在上单调递减. 所以，在处取得唯一极大值，也是最大值. （2）设在上的最大值为， 根据已知可得出，，而， 当时，有在上恒成立， 此时有恒成立，满足题意； 当时，解可得，. 所以当时，；当时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 若，即，此时，在上单调递增， 所以，，满足题意； 若，即， 此时在上单调递减，在上单调递增， 因为恒成立，故只需即可， 则，解得，所以； 若，即，此时在上单调递减， 所以，不满足题意. 综上所述，. 7、（2023·上海·高二上海市宜川中学校考期末）已知函数(其中为自然对数的底数). (1)当时，试求函数在上的最值； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析． 【分析】（1）根据导函数正负得出函数单调性计算求解； （2）由题意，得恒成立，当时，即恒成立，令，求导并且判断单调性，即可得最小值，得参数的取值范围；当，时，恒成立，时，取，则显然不成立，再取交集即可； （3）由（2）得，两边取对并且化简累加进而证明不等式. 【详解】（1）当时，，， 当时，；当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得最小值， 易知，则最大值． （2）若对任意，不等式恒成立，即：恒成立 当时，恒成立． 令，则． 当，，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以时，取最小值，所以． 当时，若时，恒成立； 若，取，则显然不满足，所以 综上， （3）在（2）中，令可知对任意实数x都有，当时，取等号， 两边同量取对数得：，当时，取等号，故：(当时，取等号)， 所以： 则： 即： 考点八 导数中的零点与隐零点 1、（23-24高二上·天津宁河·期末）设函数，则的零点个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】导数研究函数单调性，根据解析式确定函数的零点，即可得答案. 【详解】，则，故单调递增， 又，所以函数只有一个零点. 故选：A 2、（23-24高二上·江苏南京·期末）函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用参变分离将函数图象有两个交点问题转化为和的图象有两个交点，由导数求得的单调性并求得最大值即可得出结论. 【详解】由得，则问题转化为和的图象有两个交点， 而， 令，解得，令，解得， 故在上单调递增，在单调递减，则， 大致图象如下所示：      结合图象可知，的取值范围是 故选：D 3、（2023·广东韶关·高二统考期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，分类讨论求导函数判断函数单调性及极值点，结合零点存在定理可得参数范围. 【详解】已知函数，函数的定义域为 ， 当时，恒成立，所以在上单调递减，故时，至多有一个零点； 当时，令得，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增． 此时最小值为， ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，即，故没有零点； ③当时，即，又 ； ， 由零点存在定理知在上有一个零点；在有一个零点． 所以有两个零点，a的取值范围为； 故选:A． 4、（23-24高二上·四川绵阳·期末）函数． (1)若为奇函数，求实数的值； (2)已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）解：因为为奇函数， 所以可知的定义域为，且， 即， 即， 所以，解得. （2）证明：①当时，， 所以函数不可能有两个零点，此时不合题意； ②当时，令，解得：或， 又因， 则要使得f（x）仅有两个零点，则， 即，此方程无解，此时不合题意； ③当时，即， 令，解得或，符合题意，所以. 令，则， 令，解得：或，令解得：， 故在，上递增，在上递减， 又， 故函数仅有一个零点．    5、（23-24高二上·四川成都·期末）设函数，其中. (1)讨论函数在上的极值； (2)若函数f(x)有两零点，且满足，求正实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出，分、讨论，可得答案； （2）由零点存在定理可知，而题设，消去a可得，令，且，求出，，将其代入得，再利用导数分、讨论可得答案.. 【详解】（1）由知， 1）当时，且有，，单调递增，故无极值； 2）当时，有，，单调递减，而，，单增，故，无极大值. 综上，当时，无极值； 当时，极小值为，无极大值； （2）由（1）可知当时，，， 且， 由零点存在定理可知，而题设可知，消去a可得 ，令，且，即，， 将其代入，整理可令得， 而， 1)当时，且，有，单调递增，，满足题设； 2)当时，且，有，单调递减，，不满足题设； 综上，的取值范围为. 6、（23-24高二上·湖南株洲·期末）函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数. (1)若，求的值和函数的单调区间； (2)若，讨论的零点个数. 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为和. (2)当时，有三个零点；当时，有两个零点；当时，有一个零点. 【分析】（1）先得，，根据得，进而利用导函数求单调区间； （2）先由得，进而得函数的极小值为，极大值为，进而根据极小值与零比较可判断零点个数. 【详解】（1）由题可知，，， ，解得. 所以，. 令，得或；令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. （2）由（1）可知，，，，所以. 令，解得或；令，解得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为，的极大值为. 当时，，当时，， 故当，即时，有三个零点； 当，即时，有两个零点； 当，即时，有一个零点. 7、（23-24高二上·河北张家口·期末）已知函数f(x)＝x－aln x－1(a∈R). (1)当a＝1时，求证：f(x)≥0； (2)若x＝1是f(x)唯一的零点，求f(x)的单调区间. 【详解】(1)证明　当a＝1时，f(x)＝x－ln x－1， 定义域为(0，＋∞)， 则f′(x)＝1－＝. 当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 故f(x)min＝f(1)＝0. 故当a＝1时，f(x)≥0. (2)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝1－＝. ①当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 又f(1)＝0，所以x＝1是函数f(x)唯一的零点. 此时满足题意，故f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，没有单调递减区间. ②当a>0时，当0<x<a时，f′(x)<0； 当x>a时，f′(x)>0. 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增. 所以f(x)min＝f(a)＝a－aln a－1. (ⅰ)当a＝1时，f(x)min＝0，且x＝1是f(x)唯一的零点， 此时满足题意，其单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞). (ⅱ)当0<a<1时，由f(x)在(a，＋∞)上单调递增，得f(a)<f(1)＝0， 取ae－∈(0，a)， 因为f(ae－)＝ae－－a－1 ＝ae－－aln a＝a>0， 所以存在x0∈， 使得f(x0)＝0， 即f(x)在上有一个零点，故f(x)在其定义域上不止一个零点，不合题意. (ⅲ)当a>1时，由f(x)在(0，a)上单调递减，得f(a)<f(1)＝0， 由(1)得x－ ln x－1≥0(当且仅当x＝1时取等号)， 即ln x≤x－1，则ln a<a－1， 所以f(a3)＝a3－aln a3－1 ＝a3－3aln a－1>a3－3a(a－1)－1 ＝(a－1)3>0， 所以f(x)在(a，a3)上有一个零点， 所以f(x)在其定义域上不止一个零点，不合题意. 综上，当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)， 没有单调递减区间； 当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(0，1)， 单调递增区间为(1，＋∞). 8、（23-24高二上·江西新余·期末）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)答案见解析 【分析】（1）原函数求导，令再分析，进而得到原函数的单调区间，进而得到极值. （2）分情况讨论单调区间，借助极限知识，大概知晓函数图像趋势和函数值，进而得到零点个数. 【详解】（1）当时，， ∴， 易知函数的定义域为，且函数和都在区间上单调递减， 令，则在区间上单调递减，且， ∴当时，；当时，；当时，， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴函数的极大值为，无极小值． （2）当时，易知，函数单调递增， 又当时，；当时，， ∴当时，函数只有一个零点， 当时，令，易知在区间上单调递减， 当时，；当时，， ∴存在使得，即， ∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减， 又当时，；当时，， 下面讨论与0的大小关系， ∵，， ∴，即， ∴， ∴当时，；当时，；当时，． ∴当时，有2个零点；当时，只有1个零点；当时，没有零点． 综上， 当时，函数只有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数没有零点． 考点九 导数中的极值点偏移问题 1、（2023·内蒙古赤峰·高二赤峰红旗中学松山分校校联考期末）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)令，若有两个不相等的实数根. （i）求a的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1)在上单调递减 (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，再根据导函数的符号即可得解； （2）（i）由得：，构造函数，利用导数求出函数的单调区间及极值，进而可得出答案； （ii）由（i）不妨设，由，得，则，要证，即证，等价于，等价于证明，即证，构造函数，利用导数求出其最小值即可得证. 【详解】（1）的定义域为， 当时，， 设，则， 由得：， 当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴的最大值为， ∴，即在上恒成立， ∴在上单调递减； （2）（i）由得：， 设，则， 由得：， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴有极大值也是最大值， 当时，，当时，， 要使有两个不同的实数根，则， 即，即实数a的取值范围为； （ii）由（i）不妨设， 由，得， 则， 要证，即证，等价于， 而，等价于证明， 即证， 令， 要证，即证， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以. 2、（23-24高二上·江苏苏州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：． 【答案】(1)在上单调递增，上单调递减， (2)见解析 【分析】（1）求出，根据导数的符号判断函数的单调性； （2）由，得，设，画出的图象可得；由，设，对求导可得，又，再由在上单调递减，可得，即可证明. 【详解】（1）由题意可得，所以， 的定义域为， 又，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， （2）由，得，设， ，由，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又，，且当趋近于正无穷，趋近于， 的图象如下图， 所以当时，方程有两个根， 证明：不妨设，则，， 设， ，所以在上单调递增， 又，所以，即， 又，所以， 又，，在上单调递减，所以， 故. 3、（23-24高二上·湖北随州·期末）设，为函数（）的两个零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出定义域，求导，得到的单调性和极值情况，根据函数零点个数，得到，求出，结合题目条件，得到当时，，根据零点存在性定理得到在内存在唯一零点，同理得到在内存在唯一零点，从而求出答案； （2）设，由可得，令，故，，推出要证，即证，构造，，求导，对分子再构造函数，证明出，在定义域内单调递减，故，即，证明出结论. 【详解】（1）的定义域为R，， 当时，，当时，， 故在内单调递减，在单调递增， 故要使有两个零点，则需，故， 由题目条件，可得， 当时，因为，又， 故在内存在唯一零点， 又，故在内存在唯一零点， 则在R上存在两个零点，故满足题意的实数的取值范围为； （2）证明：由（1）可设，由可得， 令，则，所以，故， 所以， 要证， 即证， 即证， 因为，即证，即， 令，，， 令，则，当时，， 当时，， 故在内单调递减，在单调递增，所以， 所以，令得， 故，在定义域内单调递减， 故，即，，， 则，证毕． 4、（23-24高二上·江苏镇江·期末）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【答案】(1)无最小值，最大值为 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解. （2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明. 【详解】（1）由题意得，则. 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 无最小值，最大值为. （2），则， 又有两个不同的极值点， 欲证，即证， 原式等价于证明①. 由，得，则②. 由①②可知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 恒成立，在上单调递增， 当时，，即， 原不等式成立，即. 一、单选题 1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 3．（23-24高二上·山西吕梁·期末）若函数在处有极小值，则（　　） A． B． C．或 D． 4．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）设，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·福建南平·期末）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山西运城·期末）定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·宁夏银川·期末）下列有关导数的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·江苏南京·期末）下列不等式恒成立的有（    ）. A．当时， B．当时， C．（其中，为自然对数的底数） D．当时， 11．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二上·山东聊城·期末）若直线与曲线相切，也与曲线相切，则的斜率为 ． 13．（23-24高二上·河南开封·期末）若函数在上有且仅有一个极值点，则实数的最小值是 ． 14．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知实数x，y满足，则的最大值为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 16．（23-24高二上·福建福州·期末）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)若函数恰有三个零点，求的取值范围. 17．（23-24高二上·湖南张家界·期末）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若存在零点，求实数的取值范围. 18．（23-24高二上·山西·期末）已知函数. (1)证明：； (2)设，求证：对任意的，都有成立. 19．（23-24高二上·河南开封·期末）已知函数． (1)若在定义域内单调递增，求的取值范围； (2)若函数有两个极值点，且恒成立，求实数的取值范围． 参考答案： 1．D 【分析】根据条件，利用导数的定义即可得到，再由导数的几何意义即可得出结果. 【详解】由，得到， 由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为， 即， 故选：D. 2．A 【分析】对函数求导，利用以及解出，进而得出答案． 【详解】由题意得，因为在处有极小值， 所以，解得， 所以， 令，解得或， 故函数在和上为增函数， 令，解得， 故函数在上为减函数， 所以在处有极小值，符合题意， 所以， 故选：A. 3．A 【分析】求得，由，求得或，分别求得函数的单调区间，结合函数极值点的定义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在处取得极小值，可得，解得或， 当时，令，解得或；令，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以在处有极大值，不符合题意，舍去； 当时，令，可得或；令，可得， 函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 所以在处有极小值，符合题意， 综上可得，. 故选：A. 4．A 【分析】构造函数，用导数求函数的单调性，即可求得题目. 【详解】由， 设函数，则， 当时，单调递减， 因为，所以， 所以． 故选：A． 5．B 【分析】由题意得，所以构造函数求导即可进一步求解. 【详解】已知正数满足，则，令， 则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，也就是说的最小值为. 故选：B. 6．A 【分析】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，由导数判断函数的单调性、极值，由函数图象的交点个数得的范围. 【详解】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点， 函数的定义域为， , 令，解得 ， ,的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 单调递增 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故当时，有极小值， 令，解得， 当时，；当时，， 当无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0；当无限趋向于正无穷大时时，无限趋向于正无穷大， 由此作出函数的大致图象： 由图象得：当时，交点为0个； 当或时，交点为1个； 当时，交点为2个. 若函数的图象与的图象有两个交点， 则由图可知，实数的取值范围为. 故选：A. 7．C 【分析】依题意，在区间上恒成立，分离参数可得实数a的最大值. 【详解】由题意， 因为函数在区间上单调递减， 所以在区间上恒成立，即， 令，则， 又，所以，所以在为减函数， 所以， 所以，即实数a的最大值是. 故选：C 8．C 【分析】根据已知条件构造函数，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解. 【详解】由，得. 令，则，即为偶函数. 当时，，所以在上单调递增； 所以在上单调递减. 由， 得，即. 又为偶函数，所以， 因为在上单调递减， 所以，即，解得，或， 所以a的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式. 9．AC 【分析】根据导数的定义判断A，根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算判断BCD. 【详解】对于选项A，因为，故A正确； 对于选项B，因为，故B错误； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，因为，故D错误. 故选：AC 10．ABD 【分析】分别构造，，，，即可利用导数求解单调性得解. 【详解】对于A，令，则，故在单调递增，故，故，A正确， 对于B，设，则当时在单调递减， 当时，在单调递增，故，故，B正确， 对于C，令, ，当在单调递增， 当在单调递减，所以，故，故C错误， 对于D，令，则， 故在单调递增，故，故，D正确， 故选：ABD 11．AC 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数的单调性，再逐项分析判断即得. 【详解】令函数，由，得， 则函数在上单调递减， 对于A，，即，则，A正确； 对于B，，即，则，B错误； 对于C，，即，则，而，因此，C正确； 对于D，由选项B知，，又，因此，D错误. 故选：AC 12．/ 【分析】设直线切曲线于点，切曲线于点，利用导数的几何意义写出直线的两个方程，可得出关于、的方程组，消去，求出的值，即为所求. 【详解】设直线切曲线于点，切曲线于点， 由得，则直线的方程为， 即； 由可得，则直线的方程为， 即， 所以，， 消去可得，即，可得， 因此，直线的斜率为. 故答案为：. 13． 【分析】求导，将原问题转化成在区间上只有一个变号的根，构造函数解决问题. 【详解】，令，得， 由题意知在区间上只有一个变号的根， 令，则，令，得， 当时，单调递减；当时，单调递增． 又，如图： 所以当时，在区间上只有一个变号的根， 即函数在上有且仅有一个极值点时，的最小值为． 故答案为：. 14． 【分析】利用同构将目标式转化为一元函数，利用导数求解最值即可. 【详解】因为，所以. 令，所以，所以在上单调递增， 又，所以，所以，所以， 令，所以，令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最大值为. 故答案为： 15．(1)单调递增区间为：和，单调递减区间为： (2)或 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）首先求函数的导数，并化简为，，再讨论的取值，结合函数的单调性，判断函数极值点的个数，从而求解实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为          令，得或，     所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为： （2） ①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．     ②当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符．     ③当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符．     ④当时，， 故在上单调递增，无极值点，舍去．     ⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．     综上可得：或 16．(1) (2) 【分析】（1）求导，再利用导数求出函数的极值及端点的函数值，即可求出函数的最大值； （2）利用导数求出函数的极值，再结合题意列出不等式组即可得解. 【详解】（1）， 可知时，，单调递增， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 由，， ； （2）， 当或时，，当时，， 所以在和上单调递增，在单调递减， 所以，， 当时，，当时，， 因为有三个零点，所以，即， 解得，故的取值范围为. 17．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导并对参数进行分类讨论，即可求得出函数的单调性； （2）分离参数并构造函数，求导得出函数单调性并利用函数与方程的思想画出图象即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）由. 求导可得， 当时，，此时，函数在上单调递增； 当时，令，解得； 若，解得在上单调递增； 若，解得在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）令，易知，分离参数得， 令，其中， 则， 当时，； 当时，， 函数的减区间为，增区间为， 所以当时，取得最小值，画出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与函数的图象有交点，即存在零点； 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 18．(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）构造新函数，根据导数的性质判断新构造函数的单调性，利用单调性进行运算证明即可； （2）根据对数的运算性质，结合分析法、构造函数法进行运算证明即可. 【详解】（1）设， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 于是有，即. （2）要证明成立， 即证明成立， 即证明成立， 也就是证明成立， 因为，所以原问题就是证明成立， 由，设， 即证明，也就是证明成立， 设， 所以当时，函数单调递增，即有， 从而成立. 【点睛】关键点睛：本题的关键是构造新函数，利用导数的性质判断其单调性，运用函数的单调性进行证明. 19．(1) (2) 【分析】（1）先由在定义域内单调递增得，再结合不等式求最小值即可； （2）先根据极值点得出导函数为0得出韦达定理，再应用参数分离，构造函数根据单调性求出最大值即可. 【详解】（1）的定义域为，， 由在定义域内单调递增，得对任意的恒成立， 即恒成立，即恒成立． 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是． （2），因为函数有两个极值点， 所以方程有两个不相等的实数根， 故且， 所以， ， 又恒成立，即恒成立， ． 设，则 在上恒成立，故在上单调递减， 所以， 所以，即实数的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$