期末专题复习讲义01 空间向量与立体几何-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024-2025学年度人教版（2019）高二上学期期末专题复习讲义01-空间向量与立体几何 1．空间向量的定义及表示 《要点诠释》 (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小． 2．几类特殊的空间向量 3.空间向量及其线性运算 空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： ①a＋b＝b＋a； ②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； ③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R). 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. 4.共线向量及共线向量定理 (1)共线向量(平行向量) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a∥b. 规定零向量与任意向量共线. (2)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 5.空间向量的夹角 6.空间向量的数量积 (1)定义：设a，b是空间两个非零向量，数量|a‖b|cos 〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a‖b|cos__〈a，b〉. (2)性质：①规定：零向量与任一向量的数量积为0. ②空间两个非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由cos 〈a，b〉＝求得. ③a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)，|a|2＝a·a＝a2. (3)运算律：与平面向量一样，空间向量的数量积也满足下列运算律： ①a·b＝b·a； ②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 7.空间向量的投影向量 (1)向量a在向量b上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b(如图)，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1，上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②意义：a·b＝·b，即向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. (2)向量m在平面α上的投影向量 ①定义：如图，设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量m在平面α上的投影向量. ②意义： 对于平面α内的任一向量n，有m·n＝·n，即空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积. 8.共面向量 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量． 注意点： (1)共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量． (2)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了． 9.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示. 　(1)空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3. (2)空间向量基本定理的推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝ 10.基底的有关概念 11.空间直角坐标系 如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz，点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面. 12.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组(a1，a2，a3)叫作向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(a1，a2，a3). 13.空间中点的坐标的求法 如图，在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量为点P的位置向量.把与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫作点P的坐标，记作P(x，y，z). (4)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标. 14.空间向量数量积的坐标运算 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 15.空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 (1)空间两点间的距离公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A，B两点间的距离为AB ＝. (2)空间中点坐标公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为 . 16.直线的方向向量 把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量. 　(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 17.平面的法向量 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向向量来刻画平面的“方向”. 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫作平面α的法向量. (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量； (2)一个平面的法向量有无数多个，它们互相平行； (3)零向量不能作为直线的方向向量与平面的法向量. 18.空间向量与平行关系 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表： (1)用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合； (2)证明线面平行时，必须说明直线不在平面内. 19.空间向量与垂直关系 20.两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 21.直线和平面所成的角 直线的方向向量与平面的法向量所成的角是不是直线与平面所成的角？ 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n， 则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. (1)线面角的范围为. (2)斜线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 22.二面角 (1)由于平面的法向量垂直于平面，这样，两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.因为二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°，所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角相等或互补. (2)二面角的计算：设两个半平面α，β所在平面的法向量分别是n1，n2，二面角的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 23.点到平面的距离 如图，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则·n＝|||n|cos θ，其中θ＝〈，n〉. 从而||cos θ＝. 因为||cos θ的绝对值即为点P到平面α的距离d，所以d＝. 　(1)点A为平面α内的任意一点，可视题目情况灵活选择. (2)点P到平面α的距离的实质就是平面α的单位法向量与从该点出发的任一条斜线段AP对应的向量的数量积的绝对值. 24.点到直线的距离 (1)如图，P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则·n＝|||n|cos θ，其中θ＝〈，n〉，从而点P到直线l的距离为d＝. (2)如图，P是直线l外一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，设e是直线l的方向向量，记φ＝〈，e〉，则cos φ＝，故点P到直线l的距离为d＝||sinφ. 25.直线(平面)到平面的距离 (1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. (2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解 考点一 空间向量及其线性运算 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）如图,在四面体中,是中点,是中点,则等于（    ） A． B． C． D． 2、（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3、（2024·江苏南京·高二统考期末）如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则等于　　 A． B． C． D． 4、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）      A． B． C． D． 5、（2024·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 6、（2024·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.    (1)请用表示； (2)求证：三点共线. 考点二 空间向量的数量积运算 1、（2020秋•仓山区校级期末）已知正四面体D﹣ABC的各棱长为1，点E是AB的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 2、（2024·广东广州·高二统考期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 . 3、（2024·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为 ． 4（2024高二上•安徽合肥期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夹角都是60°，则 ． 5、（2024·内蒙古呼和浩特·高二统考期中）如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，． (1)试用基底表示向量，，； (2)求和的值． 6、（2024·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若，    (1)用表示； (2)求； (3)求此平行六面体的体积. 考点三 空间向量基本定理及坐标表示 1、（2024·山东·高二统考期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的（    ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 2、已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A. B. C. D. 3、（23-24高二上·广西玉林市·期末）（多选）已知空间向量，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 4、（2024·贵州·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 5、（23-24高二上·河北保定·期末）（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 6、（23-24高二上·广西百色市·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 7、（2024·广东珠海·高二校考阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 考点四 空间向量在立体几何中的应用 1、（2024高二上•辽宁葫芦岛期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（　　） A． B． C． D． 2、（23-24高二上·湖南长沙·期末）在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3、（多选题）（2024·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4、（23-24高二上·广东东莞·期末）如图，在长方体，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．当时，，，三点共线 B．当时， C．当时，平面 D．当时，平面 5、（23-24高二上·福建厦门·期末）长方体中，，，已知点H，A，三点共线，且，则点H到平面ABCD的距离为______． 6、（2024·广东清远·高二校联考期末）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 7、（23-24高二上·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由． 8、如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.    (1)证明：. (2)点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积. 一、单选题 1．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）以下四个命题中，正确的是（    ） A．若，则三点共线 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 C． D．若，且，则 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（   ）    A． B． C． D．3 6．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 7．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·辽宁·期末）正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．48 D．50 二、多选题 9．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间直角坐标系中，同在球F的球面上，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．球F的表面积为 C．E点的轨迹长度为 D．球的弦长度的最大值为 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 三、填空题 12．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 13．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 14．（23-24高二上·安徽黄山·期末）人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为 ，直线l与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，. (1)用向量，，表示并求 (2)求的值和异面直线与的夹角余弦值. 16．（24-25高二上·云南文山·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 17．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 18．（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图1，已知直角梯形AEFD中，，点B，C分别在AE，DF上，且，，，，将图1沿BC翻折，使平面平面BEFC得图2．    (1)在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由； (2)当时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值． 19．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．    (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度人教版（2019）高二上学期期末专题复习讲义01-空间向量与立体几何 1．空间向量的定义及表示 《要点诠释》 (1)平面向量是一种特殊的空间向量． (2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小． 2．几类特殊的空间向量 3.空间向量及其线性运算 空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律： ①a＋b＝b＋a； ②(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； ③λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R). 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算. 4.共线向量及共线向量定理 (1)共线向量(平行向量) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量. 向量a与b平行，记作a∥b. 规定零向量与任意向量共线. (2)共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b＝λa. 5.空间向量的夹角 6.空间向量的数量积 (1)定义：设a，b是空间两个非零向量，数量|a‖b|cos 〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a‖b|cos__〈a，b〉. (2)性质：①规定：零向量与任一向量的数量积为0. ②空间两个非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由cos 〈a，b〉＝求得. ③a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)，|a|2＝a·a＝a2. (3)运算律：与平面向量一样，空间向量的数量积也满足下列运算律： ①a·b＝b·a； ②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 7.空间向量的投影向量 (1)向量a在向量b上的投影向量 ①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b(如图)，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1，上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ②意义：a·b＝·b，即向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积. (2)向量m在平面α上的投影向量 ①定义：如图，设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量m在平面α上的投影向量. ②意义： 对于平面α内的任一向量n，有m·n＝·n，即空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积. 8.共面向量 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量． 注意点： (1)共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量． (2)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了． 9.共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示. 　(1)空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3. (2)空间向量基本定理的推论 设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得＝ 10.基底的有关概念 11.空间直角坐标系 如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}.以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫作坐标轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系O－xyz，点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和zOx平面. 12.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(a1，a2，a3)，使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组(a1，a2，a3)叫作向量a在空间直角坐标系O－xyz中的坐标，记作a＝(a1，a2，a3). 13.空间中点的坐标的求法 如图，在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量为点P的位置向量.把与向量对应的有序实数组(x，y，z)叫作点P的坐标，记作P(x，y，z). (4)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标. 14.空间向量数量积的坐标运算 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则 15.空间两点间的距离公式及线段的中点坐标 (1)空间两点间的距离公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则A，B两点间的距离为AB ＝. (2)空间中点坐标公式 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为 . 16.直线的方向向量 把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量. 　(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 17.平面的法向量 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向向量来刻画平面的“方向”. 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫作平面α的法向量. (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量； (2)一个平面的法向量有无数多个，它们互相平行； (3)零向量不能作为直线的方向向量与平面的法向量. 18.空间向量与平行关系 设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表： (1)用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合； (2)证明线面平行时，必须说明直线不在平面内. 19.空间向量与垂直关系 20.两条异面直线所成的角 设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝. 21.直线和平面所成的角 直线的方向向量与平面的法向量所成的角是不是直线与平面所成的角？ 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n， 则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝. (1)线面角的范围为. (2)斜线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角. 22.二面角 (1)由于平面的法向量垂直于平面，这样，两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.因为二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°，所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角相等或互补. (2)二面角的计算：设两个半平面α，β所在平面的法向量分别是n1，n2，二面角的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝. 23.点到平面的距离 如图，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点，设n为平面α的法向量，则·n＝|||n|cos θ，其中θ＝〈，n〉. 从而||cos θ＝. 因为||cos θ的绝对值即为点P到平面α的距离d，所以d＝. 　(1)点A为平面α内的任意一点，可视题目情况灵活选择. (2)点P到平面α的距离的实质就是平面α的单位法向量与从该点出发的任一条斜线段AP对应的向量的数量积的绝对值. 24.点到直线的距离 (1)如图，P为直线l外一点，A是l上任意一点，在点P和直线l所确定的平面内，取一个与直线l垂直的向量n，则·n＝|||n|cos θ，其中θ＝〈，n〉，从而点P到直线l的距离为d＝. (2)如图，P是直线l外一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，设e是直线l的方向向量，记φ＝〈，e〉，则cos φ＝，故点P到直线l的距离为d＝||sinφ. 25.直线(平面)到平面的距离 (1)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解. (2)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解 考点一 空间向量及其线性运算 1．（23-24高二上·广西百色市·期末）如图,在四面体中,是中点,是中点,则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在四面体中,是中点,是中点， .故选:C. 2、（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，如下图所示， 因为，， 所以，所以． 故选：A. 3、（2024·江苏南京·高二统考期末）如图，在空间四边形中，设，分别是，的中点，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】连接，，分别是，的中点， 则． 故选：． 4、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以，即， 又， 所以. 故选：D    5、（2024·山东枣庄·高二枣庄市第三中学校考阶段练习）如图，在正方体中，点M是上靠近点C的三等分点，点N满足，若N为AM与平面的交点，则t＝（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在正方体中，由点M是上靠近点C的三等分点， 得，于是， 由N为AM与平面的交点，得点共面，则，所以. 故选：C 6、（2024·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.    (1)请用表示； (2)求证：三点共线. 【解析】（1）． （2）； 则， 又有公共起点，，，三点共线． 考点二 空间向量的数量积运算 1、（2020秋•仓山区校级期末）已知正四面体D﹣ABC的各棱长为1，点E是AB的中点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意画出图形，结合图形利用向量的线性运算和数量积运算法则，计算即可． 【解答过程】解：如图所示， 正四面体ABCD的棱长是a，E是AB的中点； ∴•（）•1×1×cos60°+1×1×cos60°； 故选：A． 2、（2024·广东广州·高二统考期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 . 【答案】 【解析】在正四面体中，， 又，，， 所以. 故答案为： 3、（2024·湖南张家界·高二张家界市民族中学校考阶段练习）已知正四面体的棱长为2，点，分别是，的中点，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题设，， 所以 . 故答案为： 4（2024高二上•安徽合肥期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝2，AD＝1，且AB，AD，AA1的夹角都是60°，则 ． 【解题思路】设出向量，，，它们两两之间夹角为600，然后表示出向量，，再利用数量积的定义和运算法则进行运算． 【解答过程】解：如图，可设，，， 于是可得， 同理可得 ， 于是有（）•（） 222+2• ＝﹣4+4+1+2×||•||cos60° ＝1+2×2×1 ＝3 故答案为：3 5、（2024·内蒙古呼和浩特·高二统考期中）如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，． (1)试用基底表示向量，，； (2)求和的值． 【解析】（1）因为，分别是，的中点， 所以， ， ， 又，所以， 则. （2）因为，，，，， 所以， 又， 所以 . 6、（2024·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若，    (1)用表示； (2)求； (3)求此平行六面体的体积. 【解析】（1）在中，. （2） . . . （3），到底面的距离， 所以平行六面体的体积. 考点三 空间向量基本定理及坐标表示 1、（2024·山东·高二统考期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的（    ） A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C．若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D．对于空间的任意一个向量，总存在实数使得 【答案】C 【解析】对于A选项：由于与共线，则，所在的直线也可能重合，故A不正确； 对于B选项：根据自由向量的意义知，空间任意两向量，都共面，故B不正确； 对于C选项：因为存在不全为0的实数，使得,不妨设， 则，由共面向量定理知，，一定共面，故C正确； 对于D选项：只有当，，不共面时,空间中任意向量才能表示为. 故D不正确. 故选：C 2、已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【详解】　如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点， ＝(＋)＝(－2＋)， ＝＝(－2＋)， ∵＝3＝3(－)， ∴＝＝(＋)＝＝＋＋. ∴x＝，y＝，z＝. 3、（23-24高二上·广西玉林市·期末）（多选）已知空间向量，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由，得，故A错误； ，故B错误；又，故C正确； ，所以与不垂直，故D错误.故选：ABD. 4、（2024·贵州·高二校联考阶段练习）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【解析】对于，当时，，， 所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ， 即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即， 所以点在棱上，故正确； 对于，当时， 所以，， 所以， 即，即， 所以点在线段上，故正确． 故选：． 5、（多选）已知空间向量，则（    ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点在平面内 D．向量是与平行的一个单位向量 【答案】ABD 【分析】由空间向量垂直和平行坐标运算判断AD,由空间向量基本定理判断C,由投影向量判断B. 【详解】由已知可得，A正确； 由于，所以在上的投影向量即为，B正确； 若在平面ABC内，则存在实数x，y，使得，而, 所以， 上述方程组无解，故点E不在平面ABC内，C错误; 由，故，且， 所以正确． 6、（23-24高二上·广西百色市·期末）已知空间向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】D 【详解】对于选项A:因为,所以，故选项A错误； 对于选项B:因为,,所以，故选项B错误； 对于选项C: 因为,,所以，故选项C错误； 对于选项D: 因为,,所以，，， 在上的投影向量为，故选项D正确. 故选：D. 7、（2024·广东珠海·高二校考阶段练习）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是 . 【答案】 【解析】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 考点四 空间向量在立体几何中的应用 1、（2024高二上•辽宁葫芦岛期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（　　） A． B． C． D． 【解题思路】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论． 【解答过程】解：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0）， A1（a，0，a），C1（0，a，a），C（0，a，0），O． A.（0，a，0），（﹣a，a，0），a2，正确． B.（﹣a，a，a），∴•a2，因此不正确． C.，∴，因此不正确． D.（﹣a，0，0），（a，0，a）， ∴•a2，因此不正确． 故选：A． 2、在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解. 【解析】 以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 设，则， 设平面的法向量为 则，令，得 所以， 由于，，， ，，， 由于，所以 故选：D 3、（多选题）（2024·山东日照·高二山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 当时，则有，因此，即，A正确，C错误； 当时，则有，因此，则，B错误，D正确. 故选：AD 4、如图，在长方体，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．当时，，，三点共线 B．当时， C．当时，平面 D．当时，平面 【答案】ACD 【解析】 在长方体中，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以， 则，，，，，，，则，． A选项，当时，为线段的中点，根据长方体的结构特征，为体对角线的中点，因此也为的中点，所以，，三点共线，故A正确． B选项，当时，，由题意可得，．由，解得，所以，即点为线段上靠近点的五等分点，所以．则，，所以，所以与不垂直，故B错误． C选项，当时，． 设平面的法向量为，由，令，可得．又，所以，因此，又点不在平面内，所以平面，故C正确． D选项，当时，，所以， 所以，，因此，． 又，则平面，故D正确． 故选：ACD． 5、长方体中，，，已知点H，A，三点共线，且，则点H到平面ABCD的距离为______． 【答案】 【分析】 在长方体中，以点A为原点建立空间直角坐标系，利用已知条件求出点H的坐标作答. 【解析】 在长方体中，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 因点H，A，三点共线，令，点，则， 又，则，解得， 所以点到平面ABCD的距离为. 故答案为： 6、（2024·广东清远·高二校联考期末）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 【解析】（1）由题可知，底面，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 即两点间的距离为. （2）由（1）知，， 所以，即，即， 又平面平面， 所以平面. （3）由（2）知，，，， 所以，， 则，即， 又，且平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 7、如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面的正弦值； （3）在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明：作的中点，连接，， 在中，，为中点，， 平面，平面，平面， 同理可证明平面， 平面，平面，，平面平面， 平面，平面； （2）解：以为坐标原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，2，，，0，， ，0，0，，，0，，，1，， ，0，，，1，， 设平面的一个法向量是，，， ，令，则，，， 又，0，， 设直线与平面所成的角为， 则，， 直线与平面所成角的正弦值为； （3）解：不存在． 理由：假设存在，连接，，交于点，为平面和平面的交线， 设，，，则，，， 由（2）可知平面的一个法向量是，，， 因为平面，， ，，，，共线，，2，，，，， ，，无解， 故在棱上不存在一点，使得平面． 8、如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，平面平面，，点是的中点.    (1)证明：. (2)点是的中点，，当直线与平面所成角的正弦值为时，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析(2)或 【详解】（1）是中点，，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，. （2）方法一：取中点，连接，作，垂足为，连接，      分别为中点，，，又，； 由（1）知：平面，平面，； 平面，，平面， 平面，， 又，，平面，平面， 直线与平面所成角为，， 设， ，， ，， 又， ，解得：或， ， 当时，；当时，. 综上所述：四棱锥的体积为或. 方法二：取中点，连接， 分别为中点，，，又，； 由（1）知：平面， 以为坐标原点，正方向为轴正方向，过作轴，可建立如图所示空间直角坐标系，    设， ，， ，，，，， ，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，解得：或， ， 当时，；当时，. 综上所述：四棱锥的体积为或. 一、单选题 1．（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高二上·浙江杭州·期末）以下四个命题中，正确的是（    ） A．若，则三点共线 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 C． D．若，且，则 3．（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 4．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面体中，，，，，为BC的中点，若.则（   ）    A． B． C． D．3 6．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D．或 7．（23-24高二上·河北邢台·期末）若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·辽宁·期末）正四面体棱长为6，，且，以为球心且半径为1的球面上有两点，，，则的最小值为（    ） A．24 B．25 C．48 D．50 二、多选题 9．（23-24高二上·河南商丘·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知空间直角坐标系中，同在球F的球面上，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．球F的表面积为 C．E点的轨迹长度为 D．球的弦长度的最大值为 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）下列说法正确的是（    ） A．已知，则在上的投影向量为 B．若是四面体的底面的重心，则 C．若，则四点共面 D．若向量，（都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 三、填空题 12．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在四棱柱中，，，，则 . 13．（23-24高二上·河北邯郸·期末）如图，正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为为的中点，设，则的最小值为 . 14．（23-24高二上·安徽黄山·期末）人教A版选择性必修一习题1.4拓广探索第17题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”．现已知平面的方程为，直线l是平面与平面的交线，且直线l的方向向量为，则平面的一个法向量可以为 ，直线l与平面所成角的正弦值为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·江苏镇江·期末）如图，在平行六面体中，，，，，设，，. (1)用向量，，表示并求 (2)求的值和异面直线与的夹角余弦值. 16．（24-25高二上·云南文山·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 17．（23-24高二上·河南漯河·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）. (1)求证：平面平面； (2)线段上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 18．（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图1，已知直角梯形AEFD中，，点B，C分别在AE，DF上，且，，，，将图1沿BC翻折，使平面平面BEFC得图2．    (1)在线段CF上是否存在一点M，使得A、E、M、D四点共面．若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由； (2)当时，求平面AEF与平面CEF的夹角的正切值． 19．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（轴、轴､轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作．    (1)若，，求的斜60°坐标； (2)在平行六面体中，，，N为线段D1C1的中点．如图，以为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若，求与夹角的余弦值． 参考答案： 1．B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 2．B 【分析】根据向量三点共线可判断A；假设共面，设得出矛盾可判断B；举反例可判断C；利用数量积公式计算可判断D. 【详解】对于A，若三点共线，则，且， 而，故A错误； 对于B，假设共面， 设， 因为为空间的一个基底，所以， 该方程组无解，假设不成立，故B正确； 对于C，设， 则，，故C错误； 对于D，由得，设与的夹角为， 所以，因为，所以，不一定有，故D错误. 故选：B. 3．C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 4．D 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 5．B 【分析】根据空间向量的基本定理与应用即可求解. 【详解】因为，为BC的中点， 所以， 又，则，，， 所以. 故选：B. 6．D 【分析】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解. 【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或， 因为，所以或， 由题可知， ， 故或， 或． 故选：D. 7．C 【分析】由已知可得，其中、，利用空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，即可得解. 【详解】因为、、为三个不共面的空间向量， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，，解得. 故选：C. 8．D 【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的数量积的计算公式得到，结合基本不等式，即可求解结果. 【详解】因为正四面体的棱长为， 所以， 同理可得,, 又因为以A为球心且半径为1的球面上有两点M，N，, 所以， 由，则 因为，所以 当且仅当取等号， 此时， 所以 故的最小值为. 故选：D 9．AC 【分析】对于A：根据数量积的坐标运算分析判断；对于BD：根据向量垂直分析判断；对于C：根据向量平行分析判断. 【详解】因为， 对于选项A：若，则，所以，A正确； 对于选项B：若， 则，解得，故B错误； 对于选项C：若，则，解得，故C正确； 对于选项D：若，则，解得，故D错误． 故选：AC． 10．ACD 【分析】根据数量积的运算判断线面平行判断A，根据两点距离公式求出球心坐标，然后求出半径，即可求解球的表面积判断B，根据两点距离公式建立方程求得点E的轨迹方程，求解周长判断C，根据两点距离公式求出弦长度，然后利用圆上点的坐标范围及函数性质求解判断D. 【详解】依题意可知，平面的法向量为，所以， 又因为平面为坐标平面平面，所以平面，A对； 设球心，因为同在球F的球面上， 所以球半径R， 故， 解得，即，半径，所以球F的表面积为，B错； 由得为点E满足的轨迹方程， 所以其轨迹长度为该圆周长，C对； ， 且由E的轨迹方程可知， 所以当时，弦长度的最大值为，D对； 故选：ACD 11．BC 【分析】根据投影向量的定义结合空间向量的坐标运算求解可判断A；根据空间向量基本定理可判断B；根据四点共面的结论可判断C；根据空间向量基本定理分析可判断D. 【详解】对于A，在上的投影向量为 ，故A错误； 对于B，如图，是四面体的底面的重心，延长交与点， 则点是的中点，所以 ，故B正确；    对于C，若，则， 所以四点共面，故C正确； 对于D，设在基底下的坐标为， 则， 因为在单位正交基底下的坐标为，所以，解得， 则在基底下的坐标为，故D错误. 故选：BC. 12．3 【分析】根据向量线性运算法则有，平方后利用数量积的运算求解． 【详解】由题意知，所以 ， 即， 解得，即. 故答案为：3. 13． 【分析】利用空间向量求两点间的距离，求最值即可. 【详解】设的中点为，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图. 由，可得， 则， 所以当时，取最小值. 故答案为：. 14． / 【分析】结合题意求出平面的法向量和直线的方向向量，用线面角的向量求法处理即可. 【详解】显然平面的一个法向量可以为, 易知平面的法向量为，平面的法向量为， 且直线l的方向向量为，故，，令， 解得，，故，设直线l与平面所成角为， 则. 故答案为：； 15．(1)，； (2)1，. 【分析】（1）利用空间向量的基底表示，再利用数量积的运算律计算得. （2）利用向量数量积的运算律及夹角公式求解即得. 【详解】（1）在平行六面体中，， 由，，得，， 所以. （2）依题意，，则， ，则， 所以异面直线与的夹角余弦值为. 16．(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用空间位置关系的向量表示可得结论； （2）求出两平面的法向量，再由面面角的向量求法计算可得结果； （3）利用点到平面距离的向量求法计算即可. 【详解】（1）由底面，可得以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得,； 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即， 因为，可得， 且平面， 所以平面 （2）设平面的一个法向量为， 则则，解得，令，可得， 即， 所以 因此平面与平面夹角的余弦值为； （3）易知， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 17．(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接、，由平面几何的知识得到，即，，即可得到，从而得到平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，，所以，则， 则， 又P为的中点，连接，则且，，所以为菱形， 同理可得为菱形，所以， 所以，连接，则， 又，所以，即， 又，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为. 因为平面，所以，，两两互相垂直， 如图，以点为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， ， 设，因为，， 所以， 设与平面所成角为，则， 即，，解得或（舍去）， 所以线段上存在点，且，使得与平面所成角的正弦值为. 18．(1)存在，证明见解析 (2) 【分析】（1）过E作交CF于点M，连接DM，利用平行传递性证明，从而得出A、E、M、D四点共面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法得出平面AEF与平面CEF的夹角的正切值. 【详解】（1）解：存在，理由如下：过E作交CF于点M，连接DM， ∵且，∴ ∵，∴，∴A、E、M、D四点共面 （2）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面， 由（1）可知，在中，，，∴ 即，易知，，∵．∴ 以C为坐标原点，CB，CF，CD所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，显然平面的法向量为 设平面AEF的法向量为，∵， ∴，令，∴ ∴ 设平面AEF与平面CEF的夹角为，则， ∴平面AEF与平面CEF的夹角的正切值为. 19．(1) (2)①；② 【分析】对于小问（1），因为，，可以通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. 对于小问（2），设，，分别为与，，同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到的斜60°坐标； ②中，因为，所以，结合①中的的斜60°坐标，并通过，计算与夹角的余弦值. 【详解】（1）由，， 知，， 所以，所以； （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，， ①， .                                        ②因为，所以， 则， ∵，                               . ∴， ， 所以与的夹角的余弦值为 学科网（北京）股份有限公司 $$