专题15.4 分式方程（4大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题15.4 分式方程（4大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【要点提示】 （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未 知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【知识点2】分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【知识点3】解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【要点提示】 （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或 除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2） 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而 是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 【知识点4】分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 题型目录 【题型1】分式方程的定义.....................................................2 【题型2】解分式方程.........................................................3 【题型3】分式方程的增根.....................................................3 【题型4】根据分式方程解的情况求值...........................................4 【题型5】分式方程的无解问题.................................................4 【题型6】列分式方程.........................................................4 【题型7】分式方程的实际应用.................................................5 【题型8】直通中考...........................................................6 【题型9】拓展延伸...........................................................6 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式方程的定义 【例1】（21-22八年级上·北京门头沟·期中）阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 【变式1】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【题型2】解分式方程 【例2】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若关于的方程有增根．求的值． 【变式2】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【题型3】分式方程的增根 【例3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【变式1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若关于x的方程有增根，则a的值为（  ） A．2 B．0 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）对于非零的两个有理数，，规定．若，则 ． 【题型4】根据分式方程解的情况求值 【例4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【变式1】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【变式2】（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为 ． 【题型5】分式方程的无解问题 【例5】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）求当为何值时，关于的方程无解． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的方程无解，则m的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）若关于的方程无解，则的值为 ． 【题型6】列分式方程 【例6】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）力旺中学图书馆计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍．求每套《什么是数学》的价格．根据题意，小刚、小明两名同学分别列出来尚不完整的方程如下： 小刚：；小明：． (1)在小刚和小明两名同学所列的方程中，未知数表示的意义分别为： 小刚： ； 小明： ． (2)请你在括号里补全小刚和小明两名同学所列的方程． (3)请选择一名同学的做法，写出完整的解答过程． 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）机器人“哈德”和“撒旦”搬运原料，已知“撒旦”比“哈德”每小时多搬运，且“撒旦”搬运所用时间与“哈德”搬运所用时间相同．设“哈德”每小时搬运原料，依题，可列方程为 ． 【题型7】分式方程的实际应用 【例7】（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段练习）野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）一个人步行从地出发，匀速向地走去；同时另一个人骑摩托车从地出发，匀速向地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到地，再向地驶去，这样他在途中所用的时间是他从地直接驶往地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者的速度比是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·江苏南通·中考真题） （1）计算：； （2）解方程． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【题型9】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·北京·期中）已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 【例2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.4 分式方程（4大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【要点提示】 （1） 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2） 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未 知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【知识点2】分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【知识点3】解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【要点提示】 （1） 增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或 除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2） 解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而 是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 【知识点4】分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 题型目录 【题型1】分式方程的定义.....................................................2 【题型2】解分式方程.........................................................4 【题型3】分式方程的增根.....................................................6 【题型4】根据分式方程解的情况求值...........................................7 【题型5】分式方程的无解问题.................................................9 【题型6】列分式方程........................................................11 【题型7】分式方程的实际应用................................................13 【题型8】直通中考..........................................................16 【题型9】拓展延伸..........................................................17 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】分式方程的定义 【例1】（21-22八年级上·北京门头沟·期中）阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案． 解：方程为：，解为， 故填：，． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义：分母中含有未知数的有理方程是解本题的关键．根据分式方程的定义，判断即可得到结果． 解：、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、是无理方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，故本选项符合题意； 故选：． 【变式2】（23-24七年级下·湖南衡阳·阶段练习）一列方程如下排列： 的解是； 的解是； 的解是； …… 根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，观察方程得出规律是解题的关键．根据观察，可发现规律：第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2，可得答案． 解：由一列方程如下排列： 的解是， 的解是， 的解是， 得第一个的分子是分母是解的二倍，第二个分子是减比解小1的数，分母是2， 解是的方程：， 故答案为：． 【题型2】解分式方程 【例2】（24-25八年级上·江苏淮安·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可求解； （2）两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可求解． 解：（1）， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原方程的解为； （2）， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，则是增根， ∴原分式方程无解． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）若关于的方程有增根．求的值． 【答案】3 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到或，然后代入化为整式方程的方程算出的值． 本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 解：方程两边都乘， 得， 整理得：， 原方程有增根， 最简公分母， 解得或， 当时，； 当时，，此时原方程为，，这个整式方程无解， 的值为3. 【变式2】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解． 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∵，且为整数，为整数， ∴ ∴可取，，， ∴的可能取值的和为， 故选：B． 【题型3】分式方程的增根 【例3】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式方程的增根的知识，理解增根的定义以及产生增根的原因是解题关键．去分母后代入增根即可求得答案． 解：由题意可知，原方程有增根，那么或，即 将代入，可得 解得 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）若关于x的方程有增根，则a的值为（  ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的增根，根据增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握相关知识是解题的关键． 解：， 方程两边都乘以：得：， ∵分式方程有增根， 即 将代入整式方程，得：即 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期中）对于非零的两个有理数，，规定．若，则 ． 【答案】 【分析】本题是新定义问题，考查了解分式方程，理解规定的新运算是关键，注意不要忘了检验．根据题干新定义的运算转化为分式方程，然后解分式方程即可． 解：由规定运算，可化为，， 即， 解得， 检验：当时，符合条件， ∴原方程的解为． 故答案为：． 【题型4】根据分式方程解的情况求值 【例4】（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程的解为； (2)当取何值时，此方程会产生增根； (3)当此方程的解是正数时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题的关键． （1）把分式方程化为整式方程，解之得到，把代入方程即可得出k的值； （2）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值； （3）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围． 解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， 方程的解为， ，解得， 当时，此方程的解为； （2）方程会产生增根， ， ，解得， 当时，此方程会产生增根； （3）方程的解是正数， 且， 解得且． 当此方程的解是正数时，的取值范围是且． 【变式1】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）关于的分式方程（，且为整数）的解为整数，则的可能取值的和为（    ） A．15 B．17 C．22 D．28 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程得出，结合，且为整数，为整数，得出可取，，，即可得解． 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为1得：， ∵，且为整数，为整数， ∴ ∴可取，，， ∴的可能取值的和为， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东东营·期中）关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．先将分式方程化为整式方程，用含a的式子表示出x，根据解为非负数，分式的分母不能为0，列不等式，解不等式即可． 解：， 去分母，得， 解得， 关于的方程的解为非负数， ， 解得； ， ， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 【题型5】分式方程的无解问题 【例5】（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）求当为何值时，关于的方程无解． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程后，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况，进行讨论求解即可． 解：原方程去分母，得：， 整理，得：， 当整式方程无解时：； 当分式方程有增根时：或， ∴， 当时，， 当时，， 综上：或． 【变式1】（24-25八年级上·重庆·期中）若关于x的方程无解，则m的值为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】此题考查了利用分式方程的解的情况求参数，正确理解分式方程无解的两种情况是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，由或时方程无解，求出． 解：， 去分母，得， 化简得，， ∵方程无解， ∴①当时，方程无解； ②当时，方程无解，此时，解得， 即或时，方程无解， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·四川眉山·开学考试）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了分式方程的解，求解方程可得，再由方程无解可得分式方程没有意义时，或，两种情况即可求的值，熟练掌握分式方程的解法，理解方程无解的意义是解题的关键． 解： ， ， ， ∵方程无解，可分为以下两种情况： 分式方程没有意义时，或， 此时， 整式不成立时，， 此时， 故答案为：或． 【题型6】列分式方程 【例6】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）力旺中学图书馆计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍．求每套《什么是数学》的价格．根据题意，小刚、小明两名同学分别列出来尚不完整的方程如下： 小刚：；小明：． (1)在小刚和小明两名同学所列的方程中，未知数表示的意义分别为： 小刚： ； 小明： ． (2)请你在括号里补全小刚和小明两名同学所列的方程． (3)请选择一名同学的做法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)小刚：设每套《什么是数学》的价格为元；小明：设《什么是数学》的数量为套， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用； （1）根据题意，“元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍．”，结合方程即可求解； （2）根据题意补充方程，即可求解； （3）解方程，并经验，即可求解． 解：（1）根据所列方程可得： 小刚：设每套《什么是数学》的价格为元； 小明：设《什么是数学》的数量为套， 故答案为：设每套《什么是数学》的价格为元；设《什么是数学》的数量为套； （2）小刚：设每套《什么是数学》的价格为元，根据题意得， 小明：设《什么是数学》的数量为套，根据题意得， ， 所填空为：；； （3）小刚：设每套《什么是数学》的价格为元，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套《什么是数学》的价格为元 小明：设《什么是数学》的数量为套，根据题意得， 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时， 每套《什么是数学》的价格为元 答：每套《什么是数学》的价格为元 【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列分式方程，设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 解：设规定时间为x天， 根据题意得，， 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·湖南永州·期中）机器人“哈德”和“撒旦”搬运原料，已知“撒旦”比“哈德”每小时多搬运，且“撒旦”搬运所用时间与“哈德”搬运所用时间相同．设“哈德”每小时搬运原料，依题，可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据型机器人搬运所用的时间与型机器人搬运所用的时间相等，可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题． 解：设“哈德”型机器人每小时搬运，则“撒旦”型机器人每小时搬运， 由题意可得， 故答案为：． 【题型7】分式方程的实际应用 【例7】（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段练习）野生木耳是本市著名特产之一．某土特产专卖店经销A，B两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，求的值． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进A，B两种品牌共180袋，销售时A、B两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】(1)60 (2)至少购进B品牌100袋 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用等知识点，审清题意、列出分式方程、不等式以及函数解析式成为解题的关键． （1）根据用4800元购进A品牌野生木耳，6080元购进B品牌野生木耳，再根据两种品牌所购得的数量相同列出分式方程求解即可； （2）设购进B为m袋，A为袋，然后根据题意列一元一次不等式求解即可． 解：（1）由题意可得：，解得：． 经检验：是原方程的解． 答：x的值为60． （2）设购进B为m袋，A为袋，由题意可得： ， 解得：． 答：至少购进B品牌100袋． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）一个人步行从地出发，匀速向地走去；同时另一个人骑摩托车从地出发，匀速向地驶去．两人在途中相遇，如果骑摩托车者立即把步行者送到地，再向地驶去，这样他在途中所用的时间是他从地直接驶往地所用时间的2.5倍，那么骑摩托车者与步行者的速度比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了行程问题在分式方程中的应用．如果设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为，两地相距，那么根据时间路程速度，可知骑摩托车者从地直接驶往地原计划所用时间为，而实际他在途中所用的时间可看作三段时间的和．当他骑摩托车从地出发，匀速向地驶去，与步行者在途中相遇用去时间；他把步行者送到地又用去时间；他再向地驶去又用去时间，这三段时间的和是骑车者原计划所用时间的2.5倍，即，根据这个等量关系列出方程，求出的值即可． 解：设步行者的速度为1，骑摩托车者的速度为，两地相距． 由题意，有， ， 解得， 经检验是原方程的根， ． 即骑摩托车者的速度与步行者速度的比是． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同时分别到达小吃摊位和，并约在出口会合，琳琳从经过摊位，最后到达出口，华华从摊位直接前往出口，速度与琳琳从到的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间距如图所示．若琳琳从到的速度比从到的速度慢，且从到的时间为从到时间的一半，则 （填“琳琳”或“华华”）先到达出口． 【答案】琳琳 【分析】本题主要考查分式方程的应用，设琳琳从到的速度为，则从到的速度为，根据从到的时间为从到时间的一半可列分式方程，求出的值，再分别计算出琳琳和华华到达出口C的时间进行比较即可得出答案 解：设琳琳从到的速度为，则从到的速度为，根据题意得， ， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴ 所以，琳琳从到所用的时间为： 华华从到所用的时间为： ∵， ∴琳琳先到达出口． 故答案为：琳琳 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·江苏南通·中考真题） （1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解分式方程，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案； （2）根据解分式方程的步骤进行计算即可． 解：（1） ； （2） ， ， ∴ 检验，当时，， 所以，原分式方程的解为 【例2】（2024·四川雅安·中考真题）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前15天完成铺设任务． (1)求原计划与实际每天铺设管道各多少米？ (2)负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元，该公司原计划最多应安排多少名工人施工？ 【答案】(1)原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米 (2)该公司原计划最多应安排8名工人施工 【分析】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）设原计划每天铺设管道米，则实际施工每天铺设管道，根据原计划的时间实际的时间+15列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）设该公司原计划应安排名工人施工，根据工作时间=工作总量工作效率计算出原计划的工作天数，进而表示出所有工人的工作总额，由所有工人的工资总金额不超过18万元列出不等式，求出不等式的解集，找出解集中的最大整数解即可． 解：（1）设原计划每天铺设管道x米，则实际施工每天铺设管道米， 根据题意得：， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， ∴， 则原计划与实际每天铺设管道各为40米，50米； （2）设该公司原计划应安排y名工人施工，（天）， 根据题意得：， 解得：， ∴不等式的最大整数解为8， 则该公司原计划最多应安排8名工人施工． 【题型9】拓展延伸 【例1】（24-25八年级上·北京·期中）已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；0或1或3 【分析】本题考查了分式的四则运算及解分式方程．熟练掌握分式四则运算的顺序和法则，解分式方程的方法步骤，分类讨论，是解题的关键． （1）作差后根据分式的减法法则化简，再运用对分子分母分式的正负性质计算讨论即可； （2）①把M、N代入整理得到；②根据，x，y都是整数，可知可以取1，2，3，4．，求出对应的x值为3，1，，0，符合的有0，1，3． 解：（1）当时，．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． （2）①依题意，得：． 故答案为：． ②∵ ，且，x，y都是整数， ∴y可以取1，2，3，4． 当时，， 解得，符合； 当时，， 解得，符合 ； 当时，， 解得，不合，舍去； 当时，， 解得，符合． 综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3． 故答案为：0或1或3 【例2】（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”． (1)判断方程与是否为“相似方程”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，求正整数m的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义——“相似方程”“相伴方程”，以及解一元一次方程和解分式方程．熟练掌握相关性质内容，是解题的关键． （1）先分别算出方程与的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答． （2）因为关于x，y的二元一次方程和是“相伴方程”，所以，整理得，结合x，y，m均为整数，则，因为m为正整数，据此即可作答． 解：（1）方程与方程是“相似方程”，理由如下： 解方程得 ， 解方程得 ， 检验：是该分式方程得解． ∴方程与方程是“相似方程” （3） ∵和是“相伴方程”． ∴ ∵x，y，m均为整数， ∴， ∴， 又∵m为正整数 ∴或 1 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