专题15.3 整数指数幂（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题15.3 整数指数幂（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即. 【要点提示】同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到. 【知识点2】负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 【要点提示】是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 【知识点3】科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 题型目录 【题型1】零指数幂...........................................................2 【题型2】负整数指数幂.......................................................2 【题型3】整数指数幂的运算...................................................2 【题型4】计算单项式除以单项式...............................................3 【题型5】用科学记数法表示绝对值小于1的数...................................3 【题型6】还原用科学记数法表示的小数.........................................4 【题型7】用科学记数法表示数的除法...........................................4 【题型8】直通中考...........................................................4 【题型9】拓展延伸...........................................................5 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】零指数幂 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式，其中的值是 ． 【题型2】负整数指数幂 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22八年级上·河北廊坊·期末）已知，满足，则 ； ． 【题型3】整数指数幂的运算 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算： . 【题型4】计算单项式除以单项式 【例4】（24-25八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值，其中，． 【变式1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期中）若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 ． 【题型5】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例5】．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知正数P可以用科学记数法表示为． (1)下列说法正确的是（    ） A．a一定为整数        B．n一定为正数 C．        D．时，P一定为小数 (2)若P是218000000，则______，______； (3)若P是302万，则______，______； (4)若P是0.00015，则______，______； (5)若，，则P是（    ） A．30亿    B．300    C．3000亿    D．30000000000 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）华为Mate60 Pro搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比0.7纳米等于0.000 000 007米．数据0.000 000 007用科学记数法为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示： ； 【题型6】还原用科学记数法表示的小数 【例6】（23-24八年级上·全国·课后作业）将下列用科学记数法表示的数还原． (1)； (2)； (3)． 【变式1】（2023·河北张家口·模拟预测）某种电子元件的面积大约为，将这个数据写成小数的形式为：，这个小数中0的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（22-23八年级上·广西贵港·期末）用科学记数法表示的数写成小数是 ． 【题型7】用科学记数法表示数的除法 【例7】（21-22八年级上·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·山东·期中）计算： ． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·海南·中考真题） （1）计算：； （2）解不等式组：． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【题型9】拓展延伸 【例1】已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝ ． 【例2】（20-21七年级下·上海·期中）已知：（n是自然数）．那么的值是（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.3 整数指数幂（3大知识点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】零指数幂 任何不等于零的数的零次幂都等于1，即. 【要点提示】同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到. 【知识点2】负整数指数幂 任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）. 引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立. 【要点提示】是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 【知识点3】科学记数法的一般形式 （1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数， （2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 知识点与题型目录 题型目录 【题型1】零指数幂...........................................................2 【题型2】负整数指数幂.......................................................3 【题型3】整数指数幂的运算...................................................5 【题型4】计算单项式除以单项式...............................................6 【题型5】用科学记数法表示绝对值小于1的数...................................8 【题型6】还原用科学记数法表示的小数.........................................9 【题型7】用科学记数法表示数的除法..........................................10 【题型8】直通中考..........................................................11 【题型9】拓展延伸..........................................................12 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】零指数幂 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂： （1）先计算算术平方根，立方根和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算算术平方根和零指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁大连·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方对各选项判断作答即可． 解：A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，正确，故符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：C． 【点拨】本题考查了合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方等知识．熟练掌握合并同类项，单项式乘以单项式，零指数幂，积的乘方是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级上·辽宁营口·期中）观察等式，其中的值是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了零指数幂，乘方，熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据题意分三种情况进行分类讨论即可． 解：①当时，，解得； ②当时，； ③当为偶数时，，解得． 故答案为：或或． 【题型2】负整数指数幂 【例2】（23-24八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂乘法法则进行计算即可； （2）先根据积的乘方运算法则将括号展开，再根据幂的乘方运算法则和同底数幂除法法则进行计算即可． 解：（1） ． （2） ． 【点拨】本题主要考查了幂的运算法则，解题的关键是掌握同底数幂相乘（除），底数不变，指数相加（减）；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，把每个因式分别乘方． 【变式1】（24-25八年级上·湖南怀化·开学考试）若，，，，则a、b、c、d的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了零指数幂、负整数指数幂、乘方等运算，根据相关运算法则计算后，进行比较大小即可. 解：，，， ∵ ∴， 故选：D 【变式2】（21-22八年级上·河北廊坊·期末）已知，满足，则 ； ． 【答案】 1 【分析】先利用绝对值和平方数的非负性得到，，从而得到，，再代入计算即可． 解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ， 故答案为：1；． 【点拨】本题考查零指数幂和负指数幂的计算，解题的关键是根据绝对值和平方数的非负性求出，． 【题型3】整数指数幂的运算 【例3】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)-5 (2)2 022 (3) 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键； （1）按照负整数指数幂的运算法则和有理数的混合运算计算即可； （2）先按照负整数指数幂的运算法则计算，再按照有理数加法和乘法计算即可； （3）按照整数指数幂的计算法则计算即可； 解：（1） ； （2） =2022； （3） ． 【变式1】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法法则逐项计算即可． 解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，故正确； 故选D． 【点拨】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．同底数幂相除，底数不变指数相减；非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1． 【变式2】计算： . 【答案】 【分析】根据整数指数幂运算法则计算即可. 解：原式= = 【点拨】本题是对整数指数幂及其运算的考查，熟练掌握整数指数幂及其运算法则是解决本题的关键. 【题型4】计算单项式除以单项式 【例4】（24-25八年级上·四川眉山·期中）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式混合运算化简求值，正确的计算是解题的关键．先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式，然后合并同类项，最后将代入化简结果进行计算即可求解． 解： ； 当，时，原式． 【变式1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式乘法和除法，积的乘方和合并同类项，根据单项式乘单项式，单项式除单项式，积的乘方和合并同类项运算法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期中）若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 ． 【答案】m 【分析】本题考查了新定义运算，单项式除以单项式及积的乘方，根据新定义得，即可求解；理解新定义是解题的关键． 解： 解：根据题意，表示，， 故答案为：m． 【题型5】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【例5】．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知正数P可以用科学记数法表示为． (1)下列说法正确的是（    ） A．a一定为整数        B．n一定为正数 C．        D．时，P一定为小数 (2)若P是218000000，则______，______； (3)若P是302万，则______，______； (4)若P是0.00015，则______，______； (5)若，，则P是（    ） A．30亿    B．300    C．3000亿    D．30000000000 【答案】(1)D (2)2.18，8 (3)3.02，6 (4)1.5， (5)C 【解析】略 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）华为Mate60 Pro搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比0.7纳米等于0.000 000 007米．数据0.000 000 007用科学记数法为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据科学记数法的定义改写即可． 解：将一个数改写为，其中，为整数， 故0.000 000 007用科学记数法为， 故选D． 【点拨】本题主要考查科学记数法的定义，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）用科学记数法表示： ； 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 解：，； 故答案为，． 【点拨】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键． 【题型6】还原用科学记数法表示的小数 【例6】（23-24八年级上·全国·课后作业）将下列用科学记数法表示的数还原． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将小数点向左移动4位即可；（2）将小数点向左移动5为即可；（3）将小数点向左移动6为即可． 解：（1）； （2）； （3）． 【点拨】本题主要考查了将用科学记数法表示绝对值小于1的数还原，解题的关键是掌握用还原科学记数法表示绝对值小于1的数的方法：，将小数点向左移动n为移动的位数即可还原． 【变式1】（2023·河北张家口·模拟预测）某种电子元件的面积大约为，将这个数据写成小数的形式为：，这个小数中0的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据科学记数法还原原数，掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．根据科学记数法表示绝对值小于1的数的方法，即，则小数点向右移动了为，由此还原原数，即可求解． 解：， ∴这个小数中0的个数为7个， 故选：C ． 【变式2】（22-23八年级上·广西贵港·期末）用科学记数法表示的数写成小数是 ． 【答案】 【分析】利用科学记数法逆运算把数写成小数形式． 解：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了科学记数法的逆运算，将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． 【题型7】用科学记数法表示数的除法 【例7】（21-22八年级上·全国·单元测试）计算并用科学记数法表示结果： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的乘除运算，用科学记数法表示数的乘法和学记数法表示数的除法． （1）首先根据整式的乘法定义化简，然后根据同底数幂的乘法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． （2）首先根据整式的除法定义化简，然后根据同底数幂的除法计算出结果，最后用科学记数法表示即可． 解：（1） （2） 【变式1】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据幂的乘方与积的乘方的性质计算，然后根据用科学记数法表示的数的计算法则计算即可． 解：， ， 故选：D． 【点拨】本题考查了幂的乘方与积的乘方、用科学记数法表示的数的计算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【变式2】（22-23七年级下·山东·期中）计算： ． 【答案】 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示． 解：， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键． 第二部分【直通中考与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·海南·中考真题） （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，解一元一次不等式组： （1）先计算算术平方根，零指数和乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 解：（1） ； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 【例2】（2024·四川雅安·中考真题） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了负整数指数幂，实数的混合运算，分式的化简求值等知识点，能正确根据分式的运算法则和实数的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． （1）先计算开方、负整数指数幂和绝对值，然后根据有理数的加减法计算即可； （2）先计算分式的减法，再计算分式的除法进行化简，最后代入求出答案即可． 解：（1）原式； （2）原式， 当时，原式． 【题型9】拓展延伸 【例1】已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝ ． 【答案】3或1或﹣1 【分析】根据a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，据此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，从而得出答案． 解：∵a+1＞a﹣2， ∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1＝1， 则a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0， 解得，a＝3或a＝1或a＝﹣1， 故答案为：3或1或﹣1． 【点拨】本题属于新定义题型，考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握1的任何次幂都等于1、-1的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1是解题的关键． 【例2】（20-21七年级下·上海·期中）已知：（n是自然数）．那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算 再求解 再化简 再计算即可得到答案. 解：由题意得：， ∴ ， 则 ∴． 故选D． 【点拨】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$