精品解析：河南省南阳市宛城区华龙高级中学2025届高三上学期12月月考数学试卷

华龙高中2024年12月月考高三年级数学学科试卷 考试范围：第一章-第五章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知和的夹角为，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是R上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 若是函数的极小值点，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 11. 函数的部分图象如图所示.下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调 B. 函数在区间上有两个极值点 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数的图象与直线在区间上有两个公共点 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______． 13. 已知平面向量，满足，则__________． 14. 已知，则的最小值是_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，，，分别为内角所对的边，且满足． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 16. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若为等腰三角形且腰长为2，求的底边长. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 18. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）若存在极小值，求的取值范围. 19. 已知函数的导函数为，且． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华龙高中2024年12月月考高三年级数学学科试卷 考试范围：第一章-第五章；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分式不等式的解法与交集的概念求解 【详解】由得，得，则， 故选：B 2. 已知，是两个虚数，则“，均为纯虚数”是“为实数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分性、必要性、纯虚数的定义进行判断即可. 【详解】当，均为纯虚数时，设，，则有， 当时，显然，但是，都不是纯虚数”， 因此“，均为纯虚数”是“为实数”的充分不必要条件， 故选：A 3. 已知和的夹角为，且，则（ ） A. B. C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 故选：C 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用两角和的正弦、余弦公式化简可得，再根据二倍角余弦公式求解. 【详解】由，可得， 即，即得， . 故选：B. 5. 已知是R上的减函数，，是其图象上的两点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性求解不等式. 【详解】依题意，，不等式化为：， 而函数是R上的减函数，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C 6. 若是函数的极小值点，则的极大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 又是函数的极小值点，所以，解得或， 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即是的极大值点，不符合题意，故舍去； 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即是的极大值点，是的极小值点，符合题意， 此时， 所以的极大值为. 故选：D 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则和对数函数、指数函数的单调性，进行合理的放缩分别比较和即得. 【详解】因， 故，即； 又， 故，即. 故有即. 故选：A. 8. 函数在区间上的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性，结合图象利用赋值法、排除法即可得结果. 【详解】因为，， 且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A和C； 当时，，所以， 排除选项D，只有选项B符合题意. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知非零向量，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量与向量垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，举出反例即可；B选项，由向量数乘运算和数量积公式得到；C选项，根据向量数量积公式得到，故；D选项，计算出，得到垂直关系. 【详解】A选项，不妨设，满足，但，A错误； B选项，，故，则，B正确； C选项，，故，故，C正确； D选项，， 故向量与向量垂直，D正确. 故选：BCD 10. 设函数，则（ ） A. 当时，有三个零点 B. 当时，无极值点 C. ，使在上是减函数 D. 图象对称中心的横坐标不变 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为判断C；求出图象的对称中心判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，C错误； 对于D，由， 得图象对称中心坐标为，D正确. 故选：BD 11. 函数的部分图象如图所示.下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调 B. 函数在区间上有两个极值点 C. 函数的图象关于点中心对称 D. 函数的图象与直线在区间上有两个公共点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象得到，然后代入的方法判断ABC选项，将的图象与直线的交点个数转化为方程的根的个数，然后解方程判断D选项. 【详解】由图象可知，最小正周期， 所以， 将代入中得， 结合，解得， 所以， 对于A，，则， 因为在上不单调， 所以在上不单调，故A错； 对于B，，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在有两个极值点，故B正确； 对于C，，所以不是的对称中心，故C错； 对于D，令，解得或， 因为，所以或，所以的图象与直线在上有两个公共点，故D正确. 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______． 【答案】或． 【解析】 【分析】应用二倍角公式及两角差余弦公式化简最后由同角三角函数公式计算即可. 【详解】 当, 当. 故答案为：或. 13. 已知平面向量，满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直可得，求出m即可． 【详解】由题意知，解得. 故答案为： 14. 已知，则的最小值是_____. 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本不等式中 “1”的用法，即可求出结果． 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，即时取等号. 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，，，分别为内角所对的边，且满足． （1）求； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解即可； （2）利用余弦定理可得，再结合不等式可得，即可得结果. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 且，即， 又因为，则， 可得，即，所以. 【小问2详解】 由余弦定理可得：， 即，可得， 又因为，可得，即， 当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为. 16. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若为等腰三角形且腰长为2，求的底边长. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角化简可得； （2）分别讨论当为顶角和为底角时的底边长即可. 【小问1详解】 ，由正弦定理得： ，∵ ， ∵， 【小问2详解】 当为顶角，则底边， ， 当为底角，则该三角形内角分别为，，，则底边为 故的底边长为或. 17. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）； （2） 当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，递减区间是. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨单调区间即可. 【小问1详解】 当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的单调递增区间是； 当时，函数的单调递增区间是，递减区间是. 18. 已知函数. （1）若，求的最小值； （2）若存在极小值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，得，求导并利用导函数判定函数的单调性，即可求得函数的最值； （2）先求导数，分类讨论和时函数的单调性，并根据函数有极小值求解的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， 时，，在区间上单调递减， 时，，在区间上单调递增. 所以当时，取得最小值. 【小问2详解】 函数的导函数为. （1）当时，，在区间上单调递减， 所以无极值. （2）当时，令，得. 当变化时，与的变化情况如下表： x - 0 + ↘ 极小值 ↗ 由上表知，当时，取得极小值. 综上，的取值范围为. 19. 已知函数的导函数为，且． （1）求函数在点处的切线方程； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，利用赋值法求得，求得解析式，进而可求得切线方程； （2）法一，分，，三种情况分离变量，并求得最值求得的取值范围.法二，令，利用二次求导判断恒成立应满足的条件，进而求得的范围. 【小问1详解】 求导得， 令，则， ，即：． 【小问2详解】 方法一，， ①当时，左边右边，不等式显然成立． ②当时， 令 当时，在上单调递减 ③当时， 令，当时，单调递减； 当时，单调递增． 综上：的取值范围为． 法二，令，， 令，所以恒成立，在上递增． ①若，即对 在单调递减，， 与矛盾，无解，舍去． ②若，即， 在上递增 . 故． ③若即：时， 使得，，即： 即： ，故 综上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $