精品解析：广东省江门市第二中学2024-2025学年高一上学期10月阶段考试数学试题

江门第二中学2024-2025学年（上）高一10月阶段考试 数 学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求得集合,然后利用补集定义求得. 【详解】由解得,∴， 又∵,∴, 故选：D. 2. 下列函数求导运算正确的个数为（ ） ①；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的运算法则和导数的基本公式计算后即可判断． 【详解】解：①，故错误；②，故正确； ③，故错误；④，故错误. 所以求导运算正确的个数为1. 故选：A. 3. 如果质点按运动，则在的瞬时速度为（ ） A. 6 B. 18 C. 54 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，代入，即可求出瞬时速度； 【详解】解：因为，所以，所以， 所以的瞬时速度为； 故选：C 4. 曲线在处的切线如图所示，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由图示求出直线方程，然后求出，，即可求解. 【详解】由直线经过，，可求出直线方程为： ∵在处的切线 ∴， ∴ 故选：C 【点睛】用导数求切线方程常见类型： (1)在出的切线：为切点，直接写出切线方程：； (2)过出的切线：不是切点，先设切点，联立方程组，求出切点坐标 ，再写出切线方程：. 5. 不等式的解集是（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：首先对原式进行移项、通分得到，之后根据不等式的性质可得，从而求得不等式的解集. 详解：将原不等式化为，即， 即，则有，解得， 所以不等式的解集为，故选A. 点睛：该题是一道关于求不等式解集的题目，解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法，属于简单题目. 6. 已知命题p：若，，，则：命题q：“”是“”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用指数和对数的性质判断出命题p为假命题，命题q为真命题，进一步利用真值表求出结果． 【详解】命题p：若，，， 则：，，， 故：． 故命题p为假命题． 命题q：“”是“”的必要不充分条件， 故命题q是真命题． 则：为真命题． 故选D． 【点睛】本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的性质的应用，真值表的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．由简单命题和逻辑连接词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假．假若p且q真，则p 真，q也真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．可把“p或q”为真命题转化为并集的运算；把“p且q”为真命题转化为交集的运算． 7. 一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度（的单位：，的单位：）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位：）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算汽车停止的时间，再利用定积分计算路程. 【详解】当汽车停止时，，解得：或（舍去负值）， 所以. 故答案选B 【点睛】本题考查了定积分的应用，意在考查学生的应用能力和计算能力. 8. 已知x、y、z是互不相等的正数，则在、、三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明、、三个值中不可能都大于，然后举例判断即可 【详解】首先证明、、三个值中不可能都大于， 假设、、三个值中都大于， 因为x、y、z是互不相等的正数，且， 由，可得，同理可得，， 由基本不等式可得，当且仅当时取等号， 同理可得， 所以， 而， 所以假设错误，所以、、三个值中不可能都大于， 取，则 ，，， 所以这3个数中有两个大于， 所以大于的个数的最大值是2， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】由必要条件、充分条件的定义即可得出结果． 【详解】∵－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件， ∴{x|－1＜x＜4}{x|－3＜x＜a}，∴a≥4， ∴实数a的值可以是4，5，6． 故选：BCD． 10. 对于实数，下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A、B、D，利用特殊值判断C. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，当时，由可得， 当时，由可得， 综上可得若，则，故B正确； 对于C：当，，满足，但是，故C错误； 对于D：因为，，即， ，即， ，，，故D正确． 故选：ABD 11. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】 先构造函数，则，根据导数的方法判定其单调性，再逐项判断，即可得出结果. 【详解】构造函数，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以当时，取得最大值. A选项，， 由可得，故A正确； B选项，，由， 可得，故B错误； 由可推导出， 即，即，则，即，所以，故C正确； D选项，因为， 所以，所以，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于构造函数，先利用导数的方法判定函数的单调性，求出最值，即可结合选项求解. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是____________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定形式，即可求解. 【详解】全称量词命题的否定形式为存在量词命题，并否定结论， 所以命题“，”的否定是“，”. 故答案为：， 13. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由曲线在点处的切线与直线垂直可以求得曲线在切点处的导数值，将函数求导，代入解方程即可. 【详解】因为曲线在点处的切线与直线垂直， 又直线的斜率为所以； 由，，， 即，所以解得 ，，由，解得或(舍去). 故答案为： 14. ，，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式即可得到结果 【详解】，，且 【点睛】本题考查了集合的包含关系判断及应用，体现了数形结合思想，属于基础题 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，已知不等式的解集为． （1）求不等式的解集； （2）若定义在区间D上的函数对于区间D上任意都有不等式成立，则称函数在区间D上为凸函数．请你根据凸函数的定义证明：在R上是凸函数． 【答案】（1）或 （2） 由（1）知，代入， 根据凸函数的定义，我们有 ∴， ∴在R上是凸函数． 【解析】 【分析】（1）转化为和2是方程的根，由韦达定理得到，从而解一元二次不等式，得到答案； （2）在（1）的基础上得到，作差法计算出，得到结论. 【小问1详解】 由题意知，和2是方程的根． 由韦达定理知，解得． 所以不等式可化为． 解得或． 所以不等式的解集为或． 【小问2详解】 略 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）判断的单调性，并用定义法给予证明． 【答案】（1）奇函数， 因为的定义域是， 且当时，， 故是奇函数； （2）是上的增函数， 证明：任取两个实数，，且， 则， 因为，所以，所以， 又， 所以，即， 故是上的增函数. 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明； （2）结合指数函数单调性及复合函数单调性法则判断，再利用单调性的定义进行证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 变形得， 令，则， 因为在上是增函数，， 又在上是单调递增， 所以是增函数， 证明略 17. 已知全集，集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）化简集合，再求集合的并； （2）根据集合交为空集的意义确定的范围. 【详解】（1）集合，， ∴． （2）∵，， 当时，即时满足， 当，可得，综上所述的范围为． 【点睛】此题考查集合的交并运算，属于基础题. 18. 已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数. （1）求幂函数的解析式及实数的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明. 【答案】（1）； （2）在上单调递增，证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先代点，求函数的解析式，利用奇函数的性质，求，再验证； （2）根据函数单调性的定义，设，作差，判断符号，即可判断函数的单调性. 【小问1详解】 由条件可知，所以，即， 所以， 因为是奇函数，所以，即， 满足是奇函数，所以成立； 【小问2详解】 函数在区间上单调递增，证明如下， 由（1）可知， 在区间上任意取值，且， ， 因为，所以，， 所以， 即， 所以函数在区间上单调递增. 19. 已知函数(其中为自然对数的底数) （1）讨论函数的单调性; （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1），进而分，，三种情况讨论求解即可； （2）由题意知在上恒成立，故令，再根据导数研究函数的最小值，注意到使，进而结合函数隐零点求解即可. 【小问1详解】 解： ①，在上单调增； ②，令，单调减 单调增； ③，单调增 单调减. 综上，当时，在上单调增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 解：由题意知在上恒成立 ， 令，， 单调递增 ∵， ∴使得，即 单调递减；单调递增 ， 令，则 在上单调增 ， ∴实数的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门第二中学2024-2025学年（上）高一10月阶段考试 数 学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数求导运算正确的个数为（ ） ①；②；③；④. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如果质点按运动，则在的瞬时速度为（ ） A. 6 B. 18 C. 54 D. 81 4. 曲线在处的切线如图所示，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 不等式的解集是（　　）． A. B. C. D. 6. 已知命题p：若，，，则：命题q：“”是“”的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是 A. B. C. D. 7. 一辆汽车在平直的公路上行驶，由于遇到紧急情况，以速度（的单位：，的单位：）紧急刹车至停止.则刹车后汽车行驶的路程（单位：）是（ ） A. B. C. D. 8. 已知x、y、z是互不相等的正数，则在、、三个值中，大于的个数的最大值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 若－1＜x＜4是－3＜x＜a的充分不必要条件，则实数a的值可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 对于实数，下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“，”的否定是____________. 13. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直，则__________． 14. ，，若，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设函数，已知不等式的解集为． （1）求不等式的解集； （2）若定义在区间D上的函数对于区间D上任意都有不等式成立，则称函数在区间D上为凸函数．请你根据凸函数的定义证明：在R上是凸函数． 16. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）判断的单调性，并用定义法给予证明． 17. 已知全集，集合，，． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知幂函数的图象经过点，函数为奇函数. （1）求幂函数的解析式及实数的值； （2）判断函数在区间上的单调性，并用的数单调性定义证明. 19. 已知函数(其中为自然对数的底数) （1）讨论函数的单调性; （2）当时，若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $