解三角形课件——2025届高三数学二轮复习

2025新高考数学 二轮复习 　解三角形 落实主干知识 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 内容 a2＝ ； b2＝ ； c2＝_________________ b2＋c2－2bccos A c2＋a2－2cacos B a2＋b2－2abcos C 3 定理 正弦定理 余弦定理 变形 (1)a＝2Rsin A， b＝ ， c＝ ； (2)sin A＝ ， sin B＝ ，sin C＝ ； (3)a∶b∶c＝__________________ cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝____________ 2Rsin B 2Rsin C sin A∶sin B∶sin C 4 2.三角形解的判断   A为锐角 A为钝角或直角 图形         关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 5 (2)S＝ ＝ ＝ ； (3)S＝ (r为三角形的内切圆半径). 6 在△ABC中，常有以下结论： (1)∠A＋∠B＋∠C＝π. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)a>b⇔A>B⇔sin A>sin B，cos A<cos B. (5)三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. 练基础 1.(人A必二6.4.3节例题改编)在△ABC中,c=1,a=2,C=30°,则A=(　　) A.60° B.90° C.45° D.120° B 2.(人A必二6.4.3节习题改编)已知△ABC中,AB=3,BC=4,AC= ,则△ABC的面积等于(　　) B 3.(人A必二6.4.3节例题改编)如图,某市区域地面有四个5G基站A,B,C,D.已知C,D两个基站建在江的南岸,距离为20 km,基站A,B在江的北岸,测得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A,B两个基站的距离为(　　) D 4.(人A必二6.4.3节习题改编)在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则c=　　　　　.  真题体验 1.(2023·全国乙,文4)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 acos B-bcos A=c,且C= ,则B=(　　) C 解析 由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C, 即sin(A-B)=sin C. 又因为A,B,C是△ABC的内角, 2.(2023·北京,7)在△ABC中,(a+b)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则C=(　　) B C 4.(2021·全国乙,理15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60°,a2+c2=3ac,则b=　　　　　.  练考点 考点一 正弦定理、余弦定理的直接应用 B (2)(2024·福建厦门模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c= a,2sin B=3sin C,则cos A=(　　) A [对点训练1](1)(2024·福建三明三模)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=3,b= ,c=7,则A+C的值为(　　) C (2)(2024·山东青岛一模)△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 b=2asin B,bc=4,则△ABC的面积为(　　) A 考点二 三角形中的最值与范围问题 例2(2024·湖北武汉二模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (2a-c)cos B-bcos C=0. (1)求B; 解 (1)∵(2a-c)cos B-bcos C=0, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B-sin Bcos C=0,2cos Bsin A-cos Bsin C-sin Bcos C=0, 即2cos Bsin A=sin Bcos C+cos Bsin C, ∴2cos Bsin A=sin(B+C)=sin A. ∵A∈(0,π),∴sin A≠0,即cos B= . ∵B∈(0,π),∴B= . [对点训练2](2024·广东茂名一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且bsin(B+C)=asin (1)求B的大小; (2)若D是边AC的中点,且BD=2,求△ABC面积的最大值. 思维升华 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到“b2＋c2”与“bc”的等量关系. 考点三 解三角形的实际应用 例3(1)(2024·山东临沂一模)在同一平面上有相距14千米的A,B两座炮台,A在B的正东方.某次演习时,A向西偏北θ方向发射炮弹,B则向东偏北θ方向发射炮弹,其中θ为锐角,观测回报两炮弹皆命中18千米外的同一目标,接着A改为向西偏北 方向发射炮弹,弹着点为18千米外的点M,则B炮台与弹着点M的距离为(　　) A.7千米 B.8千米 C.9千米 D.10千米 D (2)(2024·江苏扬州模拟)小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.把塔底与塔顶分别看作点C,D,CD与地面垂直,小李先在地面上选取点A,B,测得AB=20 m,在点A处测得点C,D的仰角分别为30°, 60°,在点B处测得点D的仰角为30°,则塔CD高为　　　　　m.  20 解析 在△ACD中,延长DC与BA的延长线交于点E,如图所示. 由题意可知,∠CAE=30°,∠DAE=60°, ∠DBA=30°,所以A,B,E三点在同一条直线上, 所以∠DAC=30°,∠DCA=120°,∠ADC=30°, ∠BDA=30°,所以△ACD,△BAD为等腰三角形, 即|CD|=|CA|,|AD|=|AB|.设|CD|=x,即|CA|=x, 在△ACD中,由余弦定理得,|AD|2=|CD|2+|CA|2-2|CD||CA|cos∠DCA, 规律方法 1.实际测量中的有关几个术语 术语 名称 术语意义 图形表示 仰角 与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角   方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角α的范围是0°≤α<360°   术语名称 术语意义 图形表示 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α 例:(1)北偏东α:   (2)南偏西α:   坡角与 坡比 坡面与水平面所成二面角的度数叫做坡度,θ为坡角;坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比,即 =tan θ   2.解三角形实际应用题的步骤 [对点训练3](1)(2024·陕西西安模拟)在100 m高的楼顶A处,测得正西方向地面上B,C两点(B,C与楼底在同一水平面上)的俯角分别是75°和15°,则B,C两点之间的距离为(　　) D (2)(2024·广东湛江二模)为测量某大厦的高度,小张选取了大厦的一个最高点A,点A在大厦底部的射影为点O,两个测量基点B,C与O在同一水平面上,他测得BC=102 米,∠BOC=120°,在点B处测得点A的仰角为θ(tan θ=2),在点C处测得点A的仰角为45°,则该大厦的高度OA=　　　　　米.  204 ＝ ＝ ＝2R r(a＋b＋c) 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝aha(ha表示边a上的高)； absin C acsin B bcsin A (4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (6)三角形中的面积S＝. 解析 由正弦定理得,,所以,解得sin A=1. 因为0°<A<180°,所以A=90°,故选B. A.3 B. C.5 D.2 解析 由余弦定理推论得,cos B=. 因为0°<B<180°,则sin B=,所以S△ABC=AB·BC·sin B =×3×4×. 故选B. A.15 km B.20 km C.40 km D.20 km 解析 在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,所以∠CAD=30°, 即∠CAD=∠ADC,故AC=CD=20. 在△BDC中,∠CBD=180°-(∠BCD+∠BDC)=180°-(45°+75°)=60°. 由正弦定理得,, 解得BC= =40(sin 30°cos 45°+cos 30°sin 45°)=10(). 由题知,cos∠ACB=cos 75°=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°=.在△ABC中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=(20)2+[10()]2 -2×20×10()×cos 75°=2 000,解得AB=20,即两个基站A,B之间的距离为20 km.故选D. 解析 由题得,B=180°-45°-75°=60°. 由正弦定理,得,得c=. A. B. C. D. 所以A-B=C,所以A-B=.① 又因为A+B=π-C=,② 结合①②解得B=.故选C. A. B. C. D. 解析 因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),所以由正弦定理得(a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2,故a2+b2-c2=ab,故cos C=. 因为0<C<π,所以C=.故选B. 3.(2024·全国甲,理11)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. 解析 由b2=ac,得sin Asin C=sin2B=,又b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac,即sin2A+sin2C=sin Asin C=, 则(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=, 所以sin A+sin C=.故选C. 2 解析 由题意可知△ABC的面积 S=acsin 60°=, 整理得ac=4.结合已知得a2+c2=3ac=12. 因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=12-2×4×cos 60°=8, 所以b=2. 例1(1)(2024·湖北黄石三模)若△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B+C=60°,a=3,则=(　　) A.2 B. C. D.6 解析 在△ABC中,B+C=60°,所以A=120°,所以.由正弦定理可得,b=,c=,则.故选B. A. B. C. D. 解析 由2sin B=3sin C,则2b=3c,则b-c=bb=a,即b=a,则c=b=a=a,故cos A==.故选A. A. B. C. D. 解析 在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos B=.而0<B<π,则B=,所以A+C=.故选C. A.1 B. C.2 D.2 解析 由正弦定理得sin B=2sin Asin B. 因为B∈(0,π),则sin B≠0, 所以1=2sin A,解得sin A=, 所以S△ABC=bcsin A=×4×=1. 故选A. (2)已知b=,求a+2c的最大值. (2)由正弦定理,得=2, ∴a+2c=sin A+4sin C=sin A+4sin=sin A+2cos A+2sin A=3sin A+2cos A=sin(A+φ). 又-1≤sin(A+φ)≤1, ∴sin(A+φ)的最大值为, 即a+2c的最大值为. . 解 (1)∵A+B+C=π,∴sin A=sin(B+C),∴bsin A=asin=acos. 由正弦定理可得sin Bsin A=sin Acos, ∵sin B=2sincos,∴2sincossin A=sin Acos. ∵A,B∈(0,π),sin A≠0,cos≠0, ∴sin, 即,则B=. (2)依题意,S△ABC=acsin B=ac. ∵||=2||,则||=4, ∴()2=16, 则a2+c2+2accos=16, 即c2+a2+ac=16≥3ac,当且仅当a=c=时,等号成立,即ac≤, ∴△ABC面积的最大值为. (1)求面积最值时，S＝bcsin A，即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可求得bc的最值. (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值，在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤2，即可求得b＋c的最值. 解析 设炮弹第一次命中点为C,则AB=14,AC=BC=AM=18, ∠CBA=∠CAB=θ,∠MAB=.在△ABC中,BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos θ,即182=182+142-2×14×18cos θ,解得cos θ=, 所以cos θ=2cos21=. 又θ为锐角,解得cos(负值舍去). 在△ABM中,BM2=AM2+AB2-2AM·ABcos=182+142-2×18×14×=100,所以BM=10,即B炮台与弹着点M的距离为10千米. 故选D. 即|AD|2=x2+x2-2x·x·,|AD|=x,所以|AB|=x. 又因为|AB|=20,所以x=20,即塔CD的高为20 m. i= A.200 m B.240 m C.180 m D.200 m 解析 由题意得, BC==100×=100×. 而tan 15°tan 75°==1,所以BC=100×2=200.故选D. 解析 设OA=h米,因为在点B处测得点A的仰角为θ,所以=2,所以OB=.因为在点C处测得点A的仰角为45°,所以OC=h米.由余弦定理可得BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC,即1022×7=h2+h2+h2=h2,解得h=204. $$