上海市崇明区2024-2025学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

2024学年第一学期崇明区高三第一次模拟考试 高 三 数 学 考生注意： 1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1．已知集合，则 ． 2．不等式的解为 ． 3．若复数满足，其中是虚数单位，则 ． 4．的二项展开式中的系数为 ． 5．双曲线的渐近线方程是 ． 6．已知为正实数，且满足，则的最大值是 ． 7．已知，如果，则实数的值为 ． 8．已知关于的方程的解 ． 9．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是 ． 10．某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为，若这组数据的中位数 和平均数相等，那么 ． 11．已知，若函数在区间上有且仅有3个零点 和1个极小值点，则的取值范围是 ． 12．已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分） 【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】 13．下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是严格增函数的是 A． B． C． D． 14．已知直线和平面，则“垂直于平面内的两条直线”是“”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 15．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件．则下列说法正确的是 A．事件E与事件F为互斥事件 B．事件F与事件G为互斥事件 C．事件E与事件G相互独立 D．事件G与事件H相互独立 16．已知无穷数列，若存在数列满足对任意正整数n，都有，则称数列是的交错数列．有下列两个命题：①对任意给定的等差数列，不存在等差数列，使得是的交错数列；②对任意给定的等比数列，都存在等比数列，使得是的交错数列．下列结论正确的是 A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分） 如图，在直三棱柱中，E、F分别为、BC的中点，， ．A B C F E A1 B1 C1 （1）求证：平面ABE； （2）求点到平面的距离． 18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） 在中，已知点D是BC边上一点，且，． （1）若，且，求AD的长； （2）若，，求AD的长（结果精确到0.01）． 19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分4分，第(3)小题满分6分） 王老师将全班40名学生的高一数学期中考试（满分100分）成绩分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，现将记作第一组，、、、分别记作第二、三、四、五组．已知第一组、第二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）估计此次考试成绩的平均值（同一组数据用该组数据的中点值代替）； （2）王老师将测试成绩在和内的试卷进行分析，再从中选2人的试卷进行优秀答卷展示，求被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率； （3）已知第二组考生成绩的平均数和方差分别为65和40，第四组考生成绩的平均数和方差分别为83和70，据此计算第二组和第四组所有学生成绩的方差．O b 0.045 0.020 a 50 60 70 80 90 100 频率/组距 成绩(分) 20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分） 已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点． （1）若直线平行于轴，求线段AB的长； （2）若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程； （3）已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？ 若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分） 定义：若曲线和曲线有公共点P，且曲线在点P处的切线与曲线在点P处的切线重合，则称与在点P处“一线切”． （1）已知圆与曲线在点处“一线切”，求实数a的值； （2）设，，若曲线与曲线在点P处“一线切”， 求实数a的值； （3）定义在R上的函数的图像为连续曲线，函数的导函数为， 对任意的，都有成立．是否存在点P使得曲线和 曲线在点P处“一线切”？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 参考答案及评分标准（高中数学） 一、填空题 1. ； 2. ； 3. ； 4. 35； 5. ； 6. 100； 7. 4； 8. ； 9. ； 10. 8或12； 11. ； 12.. 二、选择题 13. A； 14. B； 15. D； 16. C. 三、解答题 17. （1）解 取中点，连接，则，................................2分 又，所以，...........................................................................4分 所以四边形是平行四边形，所以，................................................5分 又在平面内，不在平面内，所以平面；.................7分 （2）取中点，连接、，则平面，所以， 由题意，同理，又，所以，................................2分 因为平面，，由三垂线定理得，所以，.....4分 设点到平面的距离为， 由得 所以，即点到平面的距离为...........................................................7分 18. 解 （1）因为，所以，， 又，所以............................4分 即，解得....................................6分 （2）在中，由正弦定理得， 所以，........................4分 在中，由余弦定理得 ........................8分 19. 解 （1）由题意得解得 所以平均数等于............4分 （2）由题意，内有8人，内有2人 所以被选中进行优秀答卷展示的这2人的测试成绩至少1个在内的概率 为............4分 （3）设第二组、第四组的平均数与方差分别为，由题意，第二组、第四组分别有10人和8人，所以成绩在第二组、第四组的平均数 成绩在第二组、第四组的方差 故估计成绩在第二组、第四组的方差是................................6分 20. 解 （1）由题意，、，所以直线的方程是， 代入中，得，所以..............................................4分 （2）设，则 所以， 又，所以所以点坐标是或......................4分 所以直线的方程是或..............................................6分 （3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入中，得 设、、 则，所以中点 又的重心在轴上，所以 即，故.................4分 因为，所以 所以 因为，所以，所以 因为点在椭圆上，所以，解得或.........6分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时、恰为长轴顶点，点为短轴顶点，满足题意. 综上所述，存在直线l使得的重心在轴上， 其方程为：或或..............................................8分 21. 解 （1），所以曲线在点处的切线方程为， 即， 因为圆与曲线在点处“一线切”， 所以直线与圆在点处相切 所以所以....................................4分 （2）设，， 由题意，，所以 解得....................................6分 （3）假设存在满足题意， 则有，对函数求导得：， 于是，即， 平方得， 即有，因此， 整理得，而恒有成立，则有， 从而，显然，于是，即与恒成立矛盾， 所以假设不成立，即不存在点满足条件.....................................8分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$