4.3.1等比数列的概念课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念 1 第一课时 The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation 1 2 ADD YOUR TITLE HERE 情景导入 类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，观察下列几个问 题中的数列，它们有什么规律？ 1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录的数列: ① 100， ③ 2.《庄子·天下篇》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ·· ④ 3 ADD YOUR TITLE HERE 情景导入 类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，观察下列几个问 题中的数列，它们有什么规律？ 3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是 2,4,8,16,32,64,… ⑤ 4.某人存入银行a元，存期为５年，年利率为r，那么 按照复利，他５年内每年末得到的本利和分别是 a（１＋r）,a（１＋r）２,a（１＋r）３,a（１＋r）４,a（１＋r）５.⑥ 4 ADD YOUR TITLE HERE 情景导入 思考1：观察上述数列中的项，每一项与它前一项之间有什么关系？ 每一项与它的前一项的比都等于 常数. 第2项起， 同一个 ① 100， ③ ·· ④ 2,4,8,16,32,64,… ⑤ a（１＋r）,a（１＋r）２,a（１＋r）３,a（１＋r）４,a（１＋r）５.⑥ 5 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点一 等比数列的定义 一般地，若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列; 这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q(q≠0)表示. 递推公式: (q为常数，且q≠0 ) (q为常数，且q≠0 ，n≥2) 或 6 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习一 (1) 1，3，9，27，… (3) 5， 5， 5， 5，… (2) 1，-1，1，-1，… (5) 1，0，1，0，… 判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出 首项a1和公比q, 如果不是，说明理由． a1=1, q=3 a1=5, q=1 a1=1, q= -1 (4) 0，0，0，0，… (6) 1, a, a2, a3 , … (7) x0, x, x2, x3 , … a1=x0, q=x 1、等比数列中，每一项都不能为0； 2、对于常数列a,a,a,a,... 若a=0，则为等差数列 若a≠0，则既为等差又为等比数列. 7 ADD YOUR TITLE HERE 方法小结 (2)公比q 一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且q≠0； (1) 等比数列｛an｝中, an≠0； (3)若q＝1，则该数列为非零常数列． (4)常数列 a, a , a , a , … 时,既是等差数列，又是等比数列; 时,只是等差数列，而不是等比数列. 8 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点二 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列， 那么称这个数G为a与b的等比中项. （ab>0) （ab>0) 注意： 若a，b异号则无等比中项; 若a，b同号则有两个等比中项. 9 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习二 （1）2，x，8成等比数列，则x=_______; （2）2 , x , 8 , -16 成等比数列，则x=______. 10 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点三 等比数列的通项公式 方法1： 不完全归纳法 等差数列 …… 由此归纳等差数列 的通项公式可得： …… 由此归纳等比数列 的通项公式可得： 等比数列 类比 11 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点三 等比数列的通项公式 方法2： 累乘法 类比 …… +） 等差数列 累加法 …… 共n – 1 个 ×） 等比数列 12 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 思考2：如何方法2（累乘法）对其加以严格的证明呢？ 证明： 将等式左右两边分别相乘可得： 此式对n=1也成立 ∵ ，… ， …… …… 13 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点三 等比数列的通项公式 等比数列 ，首项为 ,公比为q,则通项公式为 注意： a1≠0,q≠0 14 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点三 等差数列的通项公式 思考3：若已知等差数列{an}的首项和公差，你能否根据等差数列的 定义推导出等差数列的通项公式？ ∴ a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d … an-an-1=d (n ≥ 2) 上述各式两边同时相加，得 an-a1=(n-1)d 方法2：∵由等差数列的定义可得 累加法 又∵当n=1时，上式也成立 ∴an=a1+(n-1)d an+1-an=d ∴ an=a1+(n-1)d 15 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习三 已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项. (1)若等比数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则其通项公式是：＿＿＿＿＿＿ 16 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习四（课本P31练习T2) 2.已知{an}是一个等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数. a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 50 0.08 0.0032 17 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例1 若等比数列{}的第4项与第6项分别为48与12,求{}的第5项. 解得 18 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习五（课本P31练习T3) ３.在等比数列{an}中，a１a３＝３６，a２＋a４＝６０．求a１和公比q． 19 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例2 已知等比数列{}的公比为q,试用{}的第m项. an=a1qn-1 ① 解：由题意，得 am=a1qm-1 ② ①的两边分别除以②的两边，得 20 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习六 在等比数列{an}中，a2＝5，a４＝10，求公比q． 21 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例3 数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80, 第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列. 解:设前三项的公比为q,后三项的公差为d,则数列的各项依次为 80, 80+d, 80+2d. 于是得, 所以这个数列是20，40，80，96，112， 或180，120，80，16，-48. 22 ADD YOUR TITLE HERE 方法小结 23 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习七 三个正数成等比数列，他们的和等于21，倒数的和等于，求这三个数. 解：设三个正数为： 得： （a＞0,q≠0) 24 ADD YOUR TITLE HERE 课堂小结 等比数列 名称 等差数列 定义 常数 通项 公式1 中项 公式2 an=am+(n-m)d 从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数 公差(d ) d 可正、可负、可零 从第2项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数 公比(q ) q可正、可负、不可零 an=amqn-m 25 第二课时 The user can demonstrate on a projector or computer, or print the presentation 2 26 ADD YOUR TITLE HERE 新知探究 知识点一 等比数列通项公式与函数的关系 o 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 等比数列的通项公式： 27 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 等比数列{an}的三种判定、证明方法： 28 ADD YOUR TITLE HERE 新知探究 课本P31练习T2 2.已知{an}是一个等比数列，请在下表中的空格处填入适当的数. a1 a3 a5 a7 q 2 8 2 0.2 50 0.08 0.0032 由a1·a7=a3·a5，猜想 若p+q=s+t,则ap aq = as at 由a1·a7=a3·a5，猜想 若p+q=s+t,则ap aq = as at 29 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 等比数列{an}中，若p,q,s,t,k∈N*,且p+q=s+t=2k,则ap aq = as at= 30 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习一 2.在等比数列{an}中，已知a7·a12＝5，则a8·a9·a10·a11等于(　) A．10 B．25 C．50 D．75 1.判断:在等比数列{an}中， （1）a8a10=a18 （ ） ⑵a2+a98=a3+a97 （ ） ⑶a8+a10=a18 （ ） ⑷a2a98=a3a97 （ ） ⑸ a2a98= （ ） √ √ × × × 31 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点二 等比数列项的对称性 32 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例4 用１0000元购买某个理财产品一年． （１）若以月利率0.400％的复利计息，12个月能获得多少利息 （精确到0.01元）？ （２）若以季度复利计息，存４个季度，则当每季度利率为多少 时，按季结算的利息不少于（１）中按月结算的利息（精 确到10-5）？ 33 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习二（课本P34练习T3) ３.某汽车集团计划大力发展新能源汽车，２０１７年全年生产新能源汽车５０００辆．如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的１５０％，那么２０２５年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到１）？ 34 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例5 已知数列{an}的首项为a1=3 (1){an}为等差数列,公差d=2,证明数列{ }为等比数列 (2){an}为等比数列,公比q= ,证明数列{ }为等差数列 解: (1)∵a1=3，d=2 ∴an＝2n＋1 设bn= ,则bn=32n＋1 又==27 故数列{ }是以首项为27，公比为9的等比数列 35 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例5 已知数列{an}的首项为a1=3 (1){an}为等差数列,公差d=2,证明数列{ }为等比数列 (2){an}为等比数列,公比q= ,证明数列{ }为等差数列 解：(2)∵a1=3，q= 设cn= 则cn= ∴cn+1－cn=[3－2(n+1)]－(3－2n)=－2 又c1=1 故数列{ }是以首项为1，公差为－2的等差数列 36 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习三（课本P34练习T2) 2.设数列{an}，{bn}都是等比数列，分别研究下列数列是不是等比数列．若是，证明结论；若不是，请说明理由． （１）数列{cn}，其中cn＝anbn； （２）数列{dn}，其中dn＝. 37 ADD YOUR TITLE HERE 例题讲解 例6 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90％．从今年１月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.１月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高５％，产品合格率比前一个月增加0.4％，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 38 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习四（课本P34练习T4) 4.某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争２年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240.这个城市空气质量“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）？ 39 ADD YOUR TITLE HERE 新知探究 思考1： 已知等比数列{an}首项a1, 公比q，取出数列中的所有奇数项，构成新的数列，是否还是等比数列？ 取出a1 , a12 , a23 , a34 …… 呢？ 40 ADD YOUR TITLE HERE 巩固练习 练习五（课本P40习题4.3T2) 2.已知{an}是一个无穷等比数列，公比为q． （１）将数列{an}中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （２）取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （３）在数列{an}中，从第１项起，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 41 ADD YOUR TITLE HERE 知识讲解 知识点三 等比数列的性质 1.若{an}是等比数列，则{ak+(n-1)m}也是等比数列； 2.若{an}和{bn}是项数相同的等比数列，则数列{anbn}和{}数列 也是等比数列； 3.若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{can}也是等比数列. 42 ADD YOUR TITLE HERE 课堂小结 一、等比数列通项公式与函数的关系 二 、等比数列项的对称性 43 ADD YOUR TITLE HERE 课堂小结 三、等比数列的性质 1.若{an}是等比数列，则{ak+(n-1)m}也是等比数列； 2.若{an}和{bn}是项数相同的等比数列，则数列{anbn}和{}数列 也是等比数列； 3.若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{can}也是等比数列. 44 4.3.1等比数列的概念 45 $$