精品解析：上海市川沙中学2024-2025学年高一上学期12月阶段考试数学试卷

川沙中学2024学年第一学期高一年级12月阶段考数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（满分36分） 1. 函数的定义域是______________. 【答案】 【解析】 【分析】由根式函数定义域的求法得到，求解即可得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，应满足， 所以，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 2. 已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】先设解析式，再由点代入求得，即得结果. 【详解】幂函数可设为，图象过点，则，则， 所以. 故答案为：. 3. 函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的性质即可得解. 【详解】因为（，且）的图象过定点A， 令，则，， 所以点A的坐标为. 故答案为：. 4. 设，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先要明确集合是函数的定义域，根据幂函数的性质求出集合；集合是函数的值域，根据指数函数的性质求出集合，最后求两个集合的交集. 【详解】对于函数，要使根式有意义，则根号下的数非负，即，所以. 对于函数，因为对于任意都成立，所以. 因为，，所以. 故答案为：. 5. 已知的定义域为，则的定义域是______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用抽象函数定义域的解法求解即可. 【详解】因为的定义域为， 对于函数，需使，解得， 即的定义域是， 故答案为： 6. 定义域为的奇函数，当时，，则当时________. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，根据自变量大于零时的解析式，结合函数的奇偶性，即可求得. 【详解】令，则 又当时，， 故， 又因为是奇函数，故 则 解得 故答案为：. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属基础题. 7. 已知实数a，b满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】，， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数复合函数的值域为，即是值域的子集，结合一次、二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】若，要使的值域为， 即是函数的值域的子集， 所以或，可得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 9. 已知函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解得的取值范围． 【详解】根据题意，函数在R上是增函数， 则有，解得：， 即实数的取值范围为； 故答案为：． 10. 已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复合函数的性质“同增异减”即可得到结果. 【详解】令，则，且为减函数． 函数在上是严格减函数， 则，解得，故实数的取值范围是. 故答案为：． 11. 已知函数，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意构造，可以证明它是奇函数，从而，所以由即可得解. 【详解】设，则的定义域为，的定义域关于原点对称， 且，即， 则为奇函数，所以，， 因为， 所以. 故答案为：1. 12. 已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数都有，则不等式的解集是______________． 【答案】 【解析】 【分析】推导出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出关于实数的不等式，由此可解得原不等式的解集. 【详解】不妨令，则等价于， 可得，构造函数，则是上的增函数. 因为，所以等价于， 即，所以，即，解得. 因此不等式的解集是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数的单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），求解即可. 二、选择题（满分12分） 13. 已知，条件，条件，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的性质即可判断. 【详解】若成立，根据对数函数的性质，可得，即由可以推出. 若成立，当，时，满足. 但是此时无意义，所以不成立，即由不能推出. 综上，是的必要不充分条件. 故选：B 14. 定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知，利用函数的单调性、奇偶性，分类讨论解不等式. 【详解】因为，恒有， 所以在上恒成立，即在上单调递增， 因为，所以，即是定义在上的偶函数， 所以函数在上单调递减，又，所以， 对于不等式， 当时，，可得； 当时，，可得； 综上，不等式的解集是. 故选：A 15. 函数定义域为的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的定义域、一元二次函数以及恒成立问题求得充要条件，再根据充分不必要条件进行判断即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对任意的恒成立， 当时，不等式变形为，解得，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 所以，解得， 综上所述：函数的定义域为，则的取值范围； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故A错误； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故B错误； 所以是函数的定义域为的一个充分不必要条件，故C正确； 所以是函数的定义域为的一个充要条件，故D错误. 故选：C. 16. 设函数，若（其中），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合图象可得，由得，从而得，再根据可求出结果. 【详解】作出函数的图象，如图所示，      设， 由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点， 交点的横坐标分别为，且， 当时，令，解得或. 由图可知，,， 由，可得，所以， 则有，所以. 令， 易知在上为减函数，且， 故，则的取值范围是. 故选：D 【点睛】关键点点睛：作出函数的图象，利用对称性得，利用得，将所求式子化为关于的函数，利用的范围求解是解题关键. 三、解答题（8+8+10+12+14=52分） 17. 已知函数的图象过点和． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 【答案】（1） （2）函数在上单调递减， 证明：任取，，设， 则， 又因为，则，，，， 则；所以, 故函数在上为减函数. 【解析】 【分析】（1）待定系数法得到方程，求出，，则； （2）根据定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，即可解出. 【小问1详解】 根据题意函数的图象过点和， 则，， 解得，，则. 【小问2详解】 略 18. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，分类讨论，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解即可； （2）根据题意得到，从而得到关于的二次不等式，再由一元二次不等式解法，即可求出结果. 【小问1详解】 ， 当时，即，解得； 当时，即，无解； 当时，即，解得； 综上，不等式的解集为． 【小问2详解】 的解集为， 在上恒成立，． 由（1）可得． ，解得， 实数的取值范围为. 19. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 20. 设函数（且）是定义域为的奇函数． （1）求的值； （2）若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的t的取值范围； （3）若，且在上的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质可得，由此求得值； （2）由（且），，求得，在上单调递减，不等式化为，即恒成立，由求得的取值范围； （3）由求得的值，可得 的解析式，令，可知为增函数，，令，分类讨论求出的最小值，再由最小值等于，求得的值. 【小问1详解】 ∵是定义域为的奇函数， ∴，∴，∴， 经检验，，是奇函数，故； 【小问2详解】 （且）， ∵，∴，又且，所以， ∵单调递减，单调递增，故在上单调递减． 不等式化为，∴， 即恒成立，∴，解得 所以的取值范围为； 【小问3详解】 ∵，∴，即，解得或（舍去）， ∴， 令，由（1）可知为增函数， ∵，∴， 令， 若，当时，，解得， 若，当时，，解得(舍去)， 综上所述：． 21. 已知函数，，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数” （1）判断函数①，②是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由； （2）若函数（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值； （3）若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有． 【答案】（1）是，不是，理由如下： 对于函数， 不妨设，则，符合题意， 所以函数是“1-利普希兹条件函数”， 对于函数， 因为， 所以函数不是“1-利普希兹条件函数”； （2） （3） 设， 当时， 因为是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”， 所以， 当时，由，得， 故 恒成立，综上所述，. 【解析】 【分析】（1）证明即可判断，举出反例即可判断； （2）分离参数，将不等式变为关于的不等式,结合定义域即可求得常数的最小值； （3）对任意的都有，只需要即可，根据新定义求出即可得出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若函数（）是“利普希兹条件函数”， 则对定义域内任意（），均有， 即， 设， 则，即， 因为， 所以，所以 所以的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查了函数新定义问题，解决本题的关键在于理解“k-利普希兹条件函数”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 川沙中学2024学年第一学期高一年级12月阶段考数学试卷 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分100分，考试时间90分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（满分36分） 1. 函数的定义域是______________. 2. 已知幂函数的图象经过点，则的解析式是______． 3. 函数（，且）的图象过定点A，则点A的坐标是________． 4. 设，则_______. 5. 已知的定义域为，则的定义域是______________. 6. 定义域为的奇函数，当时，，则当时________. 7. 已知实数a，b满足，则的最小值为______. 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是______________. 9. 已知函数在上是严格增函数，则实数a的取值范围是______________． 10. 已知函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是______________. 11. 已知函数，则______________． 12. 已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数都有，则不等式的解集是______________． 二、选择题（满分12分） 13. 已知，条件，条件，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 15. 函数定义域为的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 16. 设函数，若（其中），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（8+8+10+12+14=52分） 17. 已知函数的图象过点和． （1）求函数的解析式； （2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明． 18. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围． 19. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 20. 设函数（且）是定义域为的奇函数． （1）求的值； （2）若，试判断函数单调性，并求使不等式对恒成立的t的取值范围； （3）若，且在上的最小值为，求的值． 21. 已知函数，，若存在常数k（），使得对定义域D内的任意（），都有成立，则称函数在其定义域D上是“k-利普希兹条件函数” （1）判断函数①，②是否是“1-利普希兹条件函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由； （2）若函数（）是“k-利普希兹条件函数”，求常数k的最小值； （3）若是定义在闭区间上的“2-利普希兹条件函数”，且，求证：对任意的都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $