精品解析：四川省广元市川师大万达中学2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试卷

四川省广元市川师大万达中学2024-2025学年度第一学期第三次月考 高二年级数学试题 考试时间：120分钟，总分：150分 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.) 1. 若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，若圆C关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 8 B. 1 C. 16 D. 5. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中错误的是（ ） A. 弦AB的最小值为 B. 若，则三角形的周长 C. 若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D. 若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 10. 将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为A，B，则（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在的延长线上，MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，则线段OQ长为定值4 C. 椭圆上恰有四个点M，使得 D. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则内切圆半径的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 11. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为______． 12. 对于任意实数，的最小值为______． 13. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知直线，． （1）若直线，求m的值； （2）若直线，求l1与l2的距离． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点P满足． （1）求动点P的轨迹方程； （2）将点A和点B并入点P的轨迹得曲线C，若过点的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 16. 传唱红色歌曲能够弥补青少年面对社会多元化的彷徨，有助于在红歌中受到启迪，树立积极的生活态度和健康的价值观．某重点高中在纪念“一二·九”活动中，举办了“唱青春之序曲，展时代之芳华”红色经典歌曲合唱比赛，由专业教师和学生会共50人组成评委团，评委所打分数的平均分最高的节目参加区合唱比赛．评委对各节目的给分相互独立，互不影响．现有两个特等奖节目：《在太行山上》得分的频率分布直方图和《四渡赤水出奇兵》得分的频率分布表，如下所示： 分数区间 [35,45） [45,55） [55,65） [65,75） [75,85） [85,95] 频数 1 4 10 22 11 2 频率 0.02 0.08 0.20 0.44 0.22 0.04 分数区间 [35，55） [55，75） [75，95] 印象值 8 9 10 （1）从两个节目各自的平均分来看，应该推选哪个节目参加区合唱比赛（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据印象值表对两个节目的所有评分进行赋值，从两个节目的“印象值”分数中各随机抽取一个分数，试估计《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率． 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且. （1）求证：直线平面； （2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广元市川师大万达中学2024-2025学年度第一学期第三次月考 高二年级数学试题 考试时间：120分钟，总分：150分 一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.) 1. 若直线l的倾斜角为，则它的方向向量可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由倾斜角求出斜率，再根据斜率的定义求出结果即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为， 所以， 由斜率的定义可知，取，解得一组解可以是， 所以直线的一个方向向量可以是， 故选：B 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】易知平面的法向量，结合线面夹角可得射影的模长. 【详解】易知平面的法向量为， 且，， 则， 即直线与平面的夹角的正弦值为，余弦值为， 则， 故选：A. 3. 已知方程表示双曲线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特征得到，解得即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，解得或， 故的取值范围为. 故选：B. 4. 已知圆，若圆C关于直线对称，则的最小值为（ ） A. 8 B. 1 C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意直线过圆心，进而有，应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由题意，直线过圆心，则，且， 所以， 当且仅当时取等号，故的最小值为8. 故选：A 5. 已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 6. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案. 【详解】由，，而且， 则 ， 显然，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 7. 已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小，再设切线联立椭圆求切线即可. 【详解】由题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小， 令切线为，联立椭圆方程有，整理得， 所以，则， 对于，其切点到的距离为， 对于，其切点到的距离为， 显然点M到直线距离最小值为. 故选：C 8. 已知双曲线C：的左，右焦点分别是，，其中，过右焦点的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列说法中错误的是（ ） A. 弦AB的最小值为 B. 若，则三角形的周长 C. 若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则 D. 若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率 【答案】D 【解析】 【分析】由通径公式判断A；由双曲线的定义判断B；由中点弦与点差法得出结论；由双曲线的渐近线的斜率和比较大小，即可求离心率. 【详解】A.AB的最小值为通径为，故A正确； B.由双曲线的定义得，得，所以三角形的周长，故B正确； C.设，，则，两式相减得，则，则，则，故C正确； D若直线AB的斜率为，所以∴∴∴，所以选D不正确. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有若干个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 直线与平面所成的角为 D. 点与平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，计算出，得到；B选项，证明出四边形为平行四边形，故，从而得到线面平行；C选项，求出平面的法向量，由线面角的求解公式进行求解；D选项，求出平面的法向量，由点到平面的距离公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 故， 故，所以， 故，A正确； B选项，因为，，所以四边形为平行四边形， 故， 又平面，平面，故平面，B正确； C选项，平面的一个法向量为， 又，故 设直线与平面所成的角大小为， 则， 故直线与平面所成的角不为，C错误； D选项，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，故， 故点与平面的距离为，D正确. 故选：ABD 10. 将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆C，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为A，B，则（ ） A. 椭圆的标准方程为 B. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），P在的延长线上，MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q，则线段OQ长为定值4 C. 椭圆上恰有四个点M，使得 D. 若点M是椭圆C上任意一点（与A，B不重合），则内切圆半径的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A若椭圆上点为，则在上代入即可得椭圆方程，B假设是直线与交点，易得为线段的中点，且，结合椭圆定义及中位线性质求；C由为椭圆上下顶点时最大，应用余弦定理求其最大值判断；D利用等面积法列方程求半径. 【详解】若椭圆上点为，则在上，故，所以椭圆，A错； 假设是直线与交点， 因为MN是的角平分线，过作垂直MN于点Q， 所以为线段的中点，且， 而是的中点，故中为中位线， 故为定值，B对； 当为椭圆上下顶点时最大，此时， 又，故， 结合椭圆的对称性，椭圆上恰有四个点M，使得，C对； 若内切圆半径为， 则， 所以，要使最大，只需最大，为， 所以最大，D对. 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 11. 以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程. 【详解】椭圆的长轴端点为，焦点为， 因此以为顶点，为焦点的双曲线虚半轴长为，方程为. 故答案为： 12. 对于任意实数，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据目标式的几何意义是空间任意点到定点距离的和，判断距离和最小时的位置，即可得答案. 【详解】由目标式的几何意义为空间任意点到定点距离的和， 要使它们的距离和最小，只需在线段上，此时最小值为. 故答案为： 13. 已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合四边形的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，进而可得线段AB的长度. 【详解】由椭圆方程可知：， 圆的圆心为（也为椭圆的左焦点），半径， 因为，可知四边形的面积， 当最小时，即为四边形的面积最小， 又因为， 可知当取到最小值时，四边形的面积最小，即最小， 且点P是椭圆上一动点， 由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，取到最小值， 此时，由对称性可知：， 即，为等边三角形，则. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14. 已知直线，． （1）若直线，求m的值； （2）若直线，求l1与l2的距离． 【答案】（1）6； （2） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直的充要条件列方程即得； （2）利用两直线平行的充要条件列方程求出的值，再运用两平行线之间距离公式求解. 【小问1详解】 ，， ，， m的值为6； 【小问2详解】 ， ，解得：或， 验证，，两直线重合，舍去， 时，，， 故与的距离为． 15. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点P满足． （1）求动点P的轨迹方程； （2）将点A和点B并入点P的轨迹得曲线C，若过点的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算即可求解， （2）利用直线与曲线C相切，即可求出直线l的方程. 【小问1详解】 设，则， 由，得，即， 所以动点P轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）知，曲线C的方程为，曲线是以原点为圆心，1为半径的圆， 由过点的直线l与曲线C有且只有一个公共点，得直线与圆相切， 而圆心到直线的距离为1，直线过点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设，即， 由，得，此时直线l方程为， 所以直线的方程为或. 16. 传唱红色歌曲能够弥补青少年面对社会多元化的彷徨，有助于在红歌中受到启迪，树立积极的生活态度和健康的价值观．某重点高中在纪念“一二·九”活动中，举办了“唱青春之序曲，展时代之芳华”红色经典歌曲合唱比赛，由专业教师和学生会共50人组成评委团，评委所打分数的平均分最高的节目参加区合唱比赛．评委对各节目的给分相互独立，互不影响．现有两个特等奖节目：《在太行山上》得分的频率分布直方图和《四渡赤水出奇兵》得分的频率分布表，如下所示： 分数区间 [35,45） [45,55） [55,65） [65,75） [75,85） [85,95] 频数 1 4 10 22 11 2 频率 0.02 0.08 0.20 0.44 0.22 0.04 分数区间 [35，55） [55，75） [75，95] 印象值 8 9 10 （1）从两个节目各自的平均分来看，应该推选哪个节目参加区合唱比赛（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）根据印象值表对两个节目的所有评分进行赋值，从两个节目的“印象值”分数中各随机抽取一个分数，试估计《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率． 【答案】（1）应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛； （2）0.284． 【解析】 【分析】（1）求出两者的平均分，比较后得到结果； （2）设出事件，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，《在太行山上》的平均得分约为： ， 由频率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分约为： ， ，故应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛； 【小问2详解】 设“对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”为事件M， 设表示事件“对《在太行山上》印象值为9”， 设表示事件“对《在太行山上》印象值为10”， 设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为8”， 设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为9”， 则， ，， ，， 事件与相互独立，其中，， ， 估计对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”的概率为0.284． 17. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且. （1）求证：直线平面； （2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 【答案】（1）证明：设，连接， 为底面圆的内接正三角形，，为中点， ， 又. ，且. 平面平面，， 平面平面，平面. AI （2） 【解析】 【分析】（1）设，连接，即可得到为中点，证明，即可得证； （2）以为坐标原点，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出直线与平面所成角的正弦值最大值，再由向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为中点， 又，为中点，，， ，则， 以为坐标原点，方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设. 设平面的法向量， 则令，解得， 设直线与平面所成夹角为， ， 令，则， ， 当，即时，， ， 此时， 点到平面的距离. 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，点分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆于两点，若，求直线的方程； （3）直线过右焦点，且它们的斜率乘积为，设分别与椭圆交于点和．若分别是线段和的中点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据的边上中线为得，再联立即可求解； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程得，再由，即，最后代入即可求解； （3）设直线的方程为,则直线的方程为，分别与椭圆方程联立，通过韦达定理求出中点的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式即可得到面积的最值. 【小问1详解】 由题意，因为，为直角三角形，所以. 又，所以，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，,显然直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立消去得，， 所以，即. 且， 因为，所以， 所以，即， 所以， 整理得， 即， 化简得，即满足条件， 所以直线的方程为或， 即直线的方程为或. 【小问3详解】 由题意，, 设直线的方程为,， 则直线的方程为，， 联立消去得， 所以 所以 所以， 同理联立消去得， 所以 所以 所以， 即的中点. 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆综合应用问题，利用基本不等式求最值，第三问的解题关键是分类联立直线与椭圆方程，求出的坐标，观察坐标知，的中点坐标在轴上，则整理后利用基本不等式得到面积的最值. . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $