圆锥曲线的切线与切点弦问题 学案-2025届高三数学二轮重难点突破专题

重难点突破 圆锥曲线的切线与切点弦问题 教学目标分析：①从类比圆的切线方程，来推导圆锥曲线的切线方程的字母变换（此处可设计小组合作）——②PDF是专业的推导过程，给学生备用。③本节课的授课目标是完成选择和填空题的秒杀，引例1是规范书写，引例2用于引入下一节课【同构】。 引例1：斜率为1的直线l与双曲线 相切于第一象限的点A，求切点A的坐标 . 1、 知识梳理： 1. 当点在曲线上时，过点作曲线的切线方程有 条. 2. 当点在曲线外时，过点作曲线的切线方程有 条；记切点为A,B，则称线段AB为切点弦. 3. 【自主拓广】当点在曲线内时，过点作圆的弦AB（不过圆心），分别过A,B作圆的切线，记两条切线的交点为P，P的轨迹方程是一条直线 圆锥曲线方程 切线方程or切点弦直线方程 圆 椭圆 双曲线 思考1：右侧直线方程中的二次项和一次项发生了什么变化？ 思考2：请用一句话概括上述规律。 规律是：留一代一速算切线(点在曲线上) or留一代一速算切点弦(点在曲线外). 思考3：请类比圆的切线方程的经验，完成其余切线/切点弦直线方程的推广。（投影+3分，上黑板抢答+1分/个） 思考4：应用所学，尝试用方法二求我们的引例1. 练习2：已知点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 教师①准线→p=4；②点在曲线外，切点弦方程，即,即 教师①准线→p=4；② 点在曲线外， 即, 切点弦方程， 即 进阶练习：已知椭圆 ，过直线上一动点，作椭圆的两条切线MA,MB，记切点分别为A,B,则直线AB恒过定点 . ①如何处理动点M？——尽可能减少变量！减少运算！ ②写出切线方程——代入点M观察结构特点 →点（3,5）和（-1,2） 在直线mx+ny=1上； ③类比：有方程 和成立 方法：【坐标同构】 ④直线AB的方程含未知数t如何处理？ ——参变分离 引例2：（2021·浙江模拟）如图所示，已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0．点P（x0，0）在x轴正半轴上，连接PA，PB分别交抛物线于C，D. （Ⅰ）当点P（1，0），是否存在实数，使得，如果存在，求； （Ⅱ）若，求x0． 引例2：如图，抛物线E:y2＝4x的焦点为F，点P（x0，y0）抛物线外，过点P作切线PA，PB分别切抛物线于点A,B. （1）当点P(-1,0)，求直线AB的方程。 （2）当点P在圆(x+2)2+y2=1上时，记切线PA，PB斜率分别为k1,k2,则求|的取值范围. 二、过圆锥曲线外一点的两条切线，两个切点所在直线方程叫做切点弦AB 1. 过圆外一点的切线方程为：． 2. 过圆外一点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为． 3. （1）2、点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为． 当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：. （2）当在双曲线的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：。 （3）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破 圆锥曲线的切线与切点弦问题 引例1：斜率为1的直线l与双曲线 相切于第一象限的点A，求切点A的坐标 . 1、 知识梳理 1. 当点在曲线上时，过点作曲线的切线方程有 条. 2. 当点在曲线外时，过点作曲线的切线方程有 条；记切点为A,B，则称线段AB为切点弦. 3. *【学有余力】当点在曲线内时，过点作圆的弦AB（不过圆心），分别过A,B作圆的切线，记两条切线的交点为P，P的轨迹方程是一条直线. 思考1：右侧直线方程中的二次项和一次项发生了什么变化？ 思考2：请用一句话概括上述规律。 思考3：请类比圆的切线方程的经验，完成其余切线/切点弦直线方程的推广。（投影+3分，上黑板抢答+1分/个） 练习1：应用所学，尝试用方法二求我们的引例1. 练习2：点在抛物线的准线上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ）A． B． C． D． 进阶练习3：已知椭圆 ，过直线上一动点，作椭圆的两条切线MA,MB，记切点分别为A,B,则直线AB恒过定点 . （引导：请试着找找两条切线MA,MB的规律） 引例1：如图，抛物线E:y2＝4x的焦点为F，点P（x0，y0）抛物线外，过点P作切线PA，PB分别切抛物线于点A,B. （1）当点P(-1,0)，求直线AB的方程。 （2）当点P在圆(x+2)2+y2=1上时，记切线PA，PB斜率分别为k1,k2,则求|的取值范围. 引例2：（2021·浙江模拟）如图所示，已知抛物线x2＝4y的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，A在y轴左侧且AB的斜率大于0．点P（x0，0）在x轴正半轴上，连接PA，PB分别交抛物线于C，D. （Ⅰ）当点P（1，0），是否存在实数，使得，如果存在，求； （Ⅱ）若，求x0． 学科网（北京）股份有限公司 $$