山东省淄博市周村区第二中学（五四制）2024-2025学年九年级上学期第二次月考数学试题

2024年12月数学适应性训练（一）解析 一．选择题（共11小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，如果∠CAB＝30°，那么∠ADC的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 2．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 3．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 4．如图，两个同心圆的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为（　　） A．2π B．4π C．6π D．8π 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（　　） A．（5，4） B．（4，5） C．（5，3） D．（3，5） 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　） A．65° B．115° C．130° D．140° 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD＝，AC＝3．则DE长为（　　） A． B．2 C． D． 8．如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于（　　） A． B． C．π D． 9．如图，AB是⊙O的直径，C在⊙O上，I为△ABC的内心，若∠BIO＝2∠AIO，则tan∠OBI的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 11．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，．若∠DEB＝69°，则的度数为（　　） A．23° B．46° C．69° D．74° 二．填空题（共4小题） 12．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 　 　． 13．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 　 　． 14．如图，AB是⊙O的直径，，AB＝5，BD＝4，则sin∠ECB＝　 　． 15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，AD＝2，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若在E运动过程中DF的最大值为4，则CD的值为 　 　． 三．解答题（共7小题） 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D、E． （1）求证：BD＝DC； （2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求的长． 17．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：∠CAO＝∠BCD； （2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径． 18．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC＝2，求⊙O的半径． 19．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠EAB． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若cosC＝，AC＝6，求BF的长． 20．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF． （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是⊙O的切线； （3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长． 21．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB． （1）如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI； （2）如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线； （3）如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF＝GH． 22．如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣弧上的任意一点，连接PA，PC，PD，延长BC至E，使BD2＝BC•BE． （1）若BC＝3，⊙O的半径等于，求tan∠CBD的值； （2）求证：直线DE与⊙O相切； （3）若四边形ABCD是正方形，是否存在常数k，使PA+PC＝kPD？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 2024年12月数学适应性训练（一）解析 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C C B A C B A B D B 一．选择题（共11小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，如果∠CAB＝30°，那么∠ADC的度数是（　　） A．45° B．50° C．55° D．60° 【分析】连接BC，先根据圆周角∠ACB＝90°，故可得出∠B的度数，进而得出结论． 【解答】解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝30°， ∴∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ADC＝∠B＝60°． 故选：D． 【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 2．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（　　） A．70° B．50° C．40° D．20° 【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，根据四边形内角和等于360°计算，得到答案． 【解答】解：连接OA、OB， ∵∠ACB＝70°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝140°， ∵PA，PB是⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 3．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【分析】由切线长定理可求得PA＝PB，AC＝CE，BD＝ED，则可求得答案． 【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16， 即△PCD的周长为16． 故选：C． 【点评】本题主要考查切线的性质，利用切线长定理求得PA＝PB、AC＝CE和BD＝ED是解题的关键． 4．如图，两个同心圆的半径分别为6cm和3cm，大圆的弦AB与小圆相切，则劣弧AB的长为（　　） A．2π B．4π C．6π D．8π 【分析】首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，根据已知条件可得：OA＝2OC，进而求出∠AOC的度数，则圆心角∠AOB可求，根据弧长公式即可求出劣弧AB的长． 【解答】解：如图，连接OC，AO， ∵大圆的一条弦AB与小圆相切， ∴OC⊥AB， ∵OA＝6，OC＝3， ∴OA＝2OC， ∴∠A＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴劣弧AB的长＝＝4π， 故选：B． 【点评】此题考查了切线的性质，弧长公式，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（　　） A．（5，4） B．（4，5） C．（5，3） D．（3，5） 【分析】因为点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，所以OB＝2，OC＝8，BC＝6，连接AD，则AD⊥OD，过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形，由垂径定理可知BE＝EC＝3，所以OE＝AD＝5，再连接AB，则AB＝AD＝5，利用勾股定理可求出AE＝4，从而就求出了A的坐标． 【解答】解：连接AD，AB，AC，再过点A作AE⊥OC于E，则ODAE是矩形， ∵点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D， ∴OB＝2，OC＝8，BC＝6， ∵⊙A与y轴相切于点D， ∴AD⊥OD， ∵由垂径定理可知：BE＝EC＝3， ∴OE＝AD＝5， ∴AB＝AD＝5， 利用勾股定理知AE＝4， ∴A（5，4）． 故选：A． 【点评】本题需综合利用垂径定理、勾股定理来解决问题． 6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的度数是（　　） A．65° B．115° C．130° D．140° 【分析】根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数． 【解答】解：∵∠DCE＝65°， ∴∠DCB＝180°﹣∠DCE＝180°﹣65°＝115°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠DCB＝180°， ∴∠BAD＝65°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝2×65°＝130°， 故选：C． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，若AD＝，AC＝3．则DE长为（　　） A． B．2 C． D． 【分析】连接OD，CD．由切线长定理得CD＝DE，可证明△ADC∽△ACB，则可求得BD，再由勾股定理求得BC，可证明BE＝DE，从而求得DE的长． 【解答】解：连接OD，CD． ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∵AD＝，AC＝3． ∴CD＝， ∵OD＝OC＝OA， ∴∠OCD＝∠ODC， ∵DE是切线， ∴∠CDE+∠ODC＝90°． ∵∠OCD+∠DCB＝90°， ∴∠BCD＝∠CDE， ∴DE＝CE． ∴△ADC∽△ACB， ∴∠B＝∠ACD， ∴＝， ∴BC＝＝＝4， ∵∠ACD+∠DCB＝90°， ∴∠B+∠DCB＝90°，∠B+∠CDE＝90°，∠CDE+∠BDE＝90°， ∴∠B＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴BE＝CE＝DE． ∴DE＝BC＝×4＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了切线长定理、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握． 8．如图，A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB切⊙O于点B，弦BC∥OA，连接AC，则图中阴影部分的面积等于（　　） A． B． C．π D． 【分析】根据三角形面积求法，得出△OCB与△ACB同底等高面积相等，再利用切线的性质得出∠COB＝60°，利用扇形面积求出即可． 【解答】解：延长CB，做AD⊥CB，交于一点D， ∵△OCB与△ACB同底等高面积相等， ∴图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积， ∵A是半径为2的⊙O外的一点，OA＝4，AB切⊙O于点B ∴BO⊥AB， ∴∠OAB＝30°， ∴∠AOB＝60°， ∵弦BC∥OA， ∴∠OBC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴图中阴影部分的面积等于扇形OCB的面积为：＝π． 故选：A． 【点评】此题主要考查了切线的性质以及三角形面积求法和扇形的面积公式等知识，根据已知得出△OCB与△ACB面积相等以及∠COB＝60°是解决问题的关键． 9．如图，AB是⊙O的直径，C在⊙O上，I为△ABC的内心，若∠BIO＝2∠AIO，则tan∠OBI的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】延长BI交⊙O于点D，连接AD，则∠C＝∠D＝90°，因为I为△ABC的内心，所以∠DIA＝∠IAB+∠IBA＝∠CAB+∠CBA＝45°，则∠DAI＝∠DIA＝45°，∠AIB＝135°，所以AD＝ID，由∠BIO＝2∠AIO，得∠AIO+2∠AIO＝135°，求得∠AIO＝45°，∠BIO＝90°，则OI⊥BD，所以AD＝ID＝IB＝BD，求得tan∠OBI＝＝，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长BI交⊙O于点D，连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝45°， ∵I为△ABC的内心， ∴∠IAB＝∠IAC＝∠CAB，∠IBA＝∠IBC＝∠CBA， ∴∠DIA＝∠IAB+∠IBA＝∠CAB+∠CBA＝45°， ∴∠DAI＝∠DIA＝45°，∠AIB＝180°﹣∠DIA＝135°， ∴AD＝ID， ∵∠BIO＝2∠AIO，∠AIO+∠BIO＝∠AIB＝135°， ∴∠AIO+2∠AIO＝135°， ∴∠AIO＝45°， ∴∠BIO＝90°， ∴OI⊥BD， ∴AD＝ID＝IB＝BD， ∴tan∠OBI＝＝， 故选：B． 【点评】此题重点考查直径所对的圆周角是直角、三角形的内切圆的定义与性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂径定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 10．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 【分析】由勾股定理可求AC的长，由“AAS“可证△COF≌△AOE，可得AO＝CO＝1，由AG⊥EF，可得点G在以AO为直径的圆上运动，则AG为直径时，AG有最大值为1，即可求解． 【解答】解：连接AC，交EF于O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∵AB＝，BC＝1， ∴AC＝＝＝2， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动， ∴CF＝AE， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB， 又∵∠COF＝∠AOE， ∴△COF≌△AOE（AAS）， ∴AO＝CO＝1， ∵AG⊥EF， ∴点G在以AO为直径的圆上运动， ∴AG为直径时，AG有最大值为1， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，确定点G的运动轨迹是解题的关键． 11．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，．若∠DEB＝69°，则的度数为（　　） A．23° B．46° C．69° D．74° 【分析】连接OB、OD、BC，根据邻补角定义求出∠CEB＝111°，根据圆周角定理推出∠ABC＝2∠BCD，根据三角形内角和定理求出∠BCD＝23°，根据圆周角定理及圆心角、弧的关系求解即可． 【解答】解：连接OB、OD、BC， ∵∠DEB＝69°，∠CEB+∠DEB＝180°， ∴∠CEB＝111°， ∵， ∴∠ABC＝2∠BCD， ∵∠ABC+∠BCD+∠CEB＝180°， ∴3∠BCD＝69°， ∴∠BCD＝23°， ∴∠BOD＝2∠BCD＝46°， ∴的度数为46°． 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 12．如图，圆锥的底面半径为2，母线长为6，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是 　120°　． 【分析】根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π， 设圆心角的度数是n度．则＝4π， 解得：n＝120． 故答案为：120°． 【点评】本题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 13．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，若⊙O的半径为2，则弦AB的长为 　2　． 【分析】连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理得出∠D＝∠P＝30°，∠ABD＝90°，再由直角三角形的性质即可得出结论． 【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD， ∵∠P＝30°， ∴∠D＝∠P＝30°， ∵AD是⊙O的直径，AD＝4， ∴∠ABD＝90°， ∴AB＝AD＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 14．如图，AB是⊙O的直径，，AB＝5，BD＝4，则sin∠ECB＝　　． 【分析】连接AD，证明△DAC∽△DBA，利用对应角相等和对顶角相等得到∠ECB＝∠DAB，继而根据sin∠DAB＝即可得出答案． 【解答】解：连接AD，则∠ADB＝90°， ∵， ∴∠DAC＝∠DBA， 又∵∠ADC＝∠BDA， ∴△DAC∽△DBA， ∴∠DCA＝∠DAB， ∵∠DCA＝∠ECB， ∴∠ECB＝∠DAB， ∴sin∠ECB＝sin∠DAB＝＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，证明△DAC∽△DBA，求出∠ECB＝∠DAB，难度一般． 15．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，AD＝2，点E是⊙O上的动点（不与C重合），点F为CE的中点，若在E运动过程中DF的最大值为4，则CD的值为 　2　． 【分析】首先根据题意取OC的中点，根据点E的运动轨迹，确定点F的运动轨迹，根据DF≤DM+MF，可确定当点D、M、F三点共线时，DF有最大值4，此时DF＝DM+MF，求出DM＝4﹣，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则DM＝OC＝，联立即可求出半径r的值，然后求出OD的长，利用勾股定理即可求出CD的长． 【解答】解：方法一、如图所示，连接OE、OC，取OC的中点M，连接MF和DM，设⊙O的半径为r， ∵点F为CE的中点， ∴MF＝OE＝， ∵点E是⊙O上的动点（不与C重合），点C为顶点， ∴点F的运动轨迹是以点M圆心，以MF的长为半径的圆上， 则DF≤DM+MF， ∴当点D、M、F三点共线时，DF有最大值4，此时DF＝DM+MF， ∴DM＝4﹣， ∵CD⊥AB， ∴∠CDO＝90°， ∵点M为OC的中点， ∴DM＝OC＝， ∴＝4﹣，解得：r＝4， ∴OD＝OA﹣AD＝2， 在Rt△CDO中，CD＝＝2； 方法二、如图，延长CD交⊙O于Q，连接QE，CO， ∵CD⊥AB，AB是直径， ∴CD＝DQ， 又∵点F是CE的中点， ∴QE＝2DF， 当QE为直径时，DF有最大值， ∴QE＝2DF＝8， ∴AO＝CO＝4， ∴DO＝2， 在Rt△CDO中，CD＝＝2； 故答案为：2． 【点评】本题主要考查的是点与圆的位置关系、勾股定理等问题，解题关键是确定点D、M、F三点共线时，DF有最大值4，并利用了数形结合的思想． 三．解答题（共7小题） 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D、E． （1）求证：BD＝DC； （2）若∠BAC＝40°，AB＝AC＝8，求的长． 【分析】（1）连接AD，OE，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答； （2）根据圆周角定理求出∠BOE＝80°，然后根据弧长公式计算即可． 【解答】（1）证明：连接AD，OE， ∵AB是圆的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥CB， ∵AB＝AC， ∴BD＝DC； （2）解：∵∠BAC＝40°， ∴∠BOE＝80°， ∵AB＝8， ∴OB＝4， ∴的长为：＝π． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查了学生的推理能力和计算能力，注意：在同圆或等圆中，圆周角的度数等于它所夹弧所对的圆心角度数的一半． 17．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：∠CAO＝∠BCD； （2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径． 【分析】（1）根据垂径定理和圆的性质，等弧的圆周角相等，即可求证． （2）根据垂径定理求出CE＝4，设⊙O的半径为R，则OE＝R﹣3，根据勾股定理及圆的性质求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E， ∴＝， ∴∠CAO＝∠BCD； （2）解：设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣BE＝R﹣3， ∵AB⊥CD，CD＝8， ∴CE＝CD＝×8＝4， 在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2＝OE2+CE2， ∴R2＝（R﹣3）2+42， 解得R＝， ∴⊙O的直径为． 【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 18．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC＝2，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA＝∠OAC＝90°，推出∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠CPA＝90°，求出∠ACP＝∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可； （2）设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r，根据AB＝AC推出52﹣r2＝（2）2﹣（5﹣r）2，求出r． 【解答】解：（1）AB＝AC，理由如下： 连接OB．如图1， ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA＝∠OAC＝90°， ∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°， ∵OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB， ∵∠OPB＝∠APC， ∴∠ACP＝∠ABC， ∴AB＝AC； （2）设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝5﹣r， 则AB2＝OA2﹣OB2＝52﹣r2， AC2＝PC2﹣PA2＝（2）2﹣（5﹣r）2， ∴52﹣r2＝（2）2﹣（5﹣r）2， 解得：r＝3． 答：⊙O的半径为3． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度． 19．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠EAB． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若cosC＝，AC＝6，求BF的长． 【分析】（1）连接AD，如图，根据圆周角定理，由E是的中点得到∠EAB＝∠EAD，由于∠ACB＝2∠EAB，则∠ACB＝∠DAB，再利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则∠DAC+∠ACB＝90°，所以∠DAC+∠DAB＝90°，于是根据切线的判定定理得到AC是⊙O的切线； （2）作FH⊥AB于H，如图，利用余弦定义，在Rt△ACD中可计算出CD＝4，在Rt△ACB中可计算出BC＝9，则BD＝BC﹣CD＝5，接着根据角平分线性质得FD＝FH，于是设BF＝x，则DF＝FH＝5﹣x，然后利用平行线得性质由FH∥AC得到∠HFB＝∠C，所以cos∠BFH＝cosC＝＝，再利用比例性质可求出BF． 【解答】（1）证明：连接AD，如图， ∵E是的中点， ∴＝， ∴∠EAB＝∠EAD， ∵∠ACB＝2∠EAB， ∴∠ACB＝∠DAB， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠DAC+∠ACB＝90°， ∴∠DAC+∠DAB＝90°，即∠BAC＝90°， ∴AC⊥AB， ∵OA为⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：作FH⊥AB于H，如图， 在Rt△ACD中，∵cosC＝＝， ∴CD＝×6＝4， 在Rt△ACB中，∵cosC＝＝， ∴BC＝×6＝9， ∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5， ∵∠EAB＝∠EAD，即AF平分∠BAD， 而FD⊥AD，FH⊥AB， ∴FD＝FH， 设BF＝x，则DF＝FH＝5﹣x， ∵FH∥AC， ∴∠HFB＝∠C， 在Rt△BFH中，∵cos∠BFH＝cosC＝＝， ∴＝，解得x＝3， 即BF的长为3． 【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了解直角三角形． 20．如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF． （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是⊙O的切线； （3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长． 【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证； （2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证； （3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GAC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5． 【解答】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠BCD＝∠ADC， ∴ED＝EC； （2）如图1，连接OA， ∵AB＝AC， ∴＝， ∴OA⊥BC， ∵CA＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA， ∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF， ∵∠ACB＝∠BCD， ∴∠ACD＝2∠ACB， ∴∠CAF＝∠ACB， ∴AF∥BC， ∴OA⊥AF， ∴AF为⊙O的切线； （3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB， ∴△ABE∽△CBA， ∴＝， ∴AB2＝BC•BE， ∵BC•BE＝25， ∴AB＝5， 如图2，连接AG， 如图2，连接AG， ∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB， ∵点G为内心， ∴∠DAG＝∠GAC， 又∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB， ∴∠BAD+∠DAG＝∠ACB+∠GAC，即∠BAG＝∠BGA， ∴BG＝AB＝5． 【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆心角定理、切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 21．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB． （1）如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI； （2）如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线； （3）如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：GF＝GH． 【分析】（1）由角平分线的定义以及圆周角定理得到∠BAD＝∠DAC＝∠CBD，∠ABI＝∠IBC，再根据三角形的外角性质可推出∠BID＝∠DBI，利用等角对等边即可证明BD＝DI； （2）由垂径定理推出OD⊥BC，由平行线的性质推出OD⊥DE，即可证明DE是⊙O的切线； （3）设法证明△HBG∽△CHG，推出GH2＝GC×GB，再证明△GFC∽△GBF，推出GF2＝GC×GB，据此即可证明GF＝GH． 【解答】证明：（1）∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线， ∴∠BAD＝∠DAC＝∠CBD，∠ABI＝∠IBC， ∵∠BID＝∠ABI+∠BAD，∠DBI＝∠IBC+∠CBD， ∴∠BID＝∠DBI， ∴BD＝DI； （2）连接OD， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴， ∴OD⊥BC， ∵DE∥BC， ∴OD⊥DE， ∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线； （3）过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC， ∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线， ∴∠HCI＝∠IHG＝90°， ∴∠IHC+∠I＝90°＝∠IHC+∠GHC， ∴∠I＝∠GHC， ∵∠HBG＝∠I， ∴∠HBG＝∠GHC， ∴△HBG∽△CHG， ∴， ∴GH2＝GC×GB， ∵AD∥FG， ∴∠DAF＝∠GFC， ∵∠DAF＝∠DBC， ∴∠GFC＝∠DBC， ∴△GFC∽△GBF， ∴， ∴GF2＝GC×GB， ∴GF2＝GH2， ∴GF＝GH． 【点评】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 22．如图，四边形ABCD的外接圆是以BD为直径的⊙O，P是⊙O的劣弧上的任意一点，连接PA，PC，PD，延长BC至E，使BD2＝BC•BE． （1）若BC＝3，⊙O的半径等于，求tan∠CBD的值； （2）求证：直线DE与⊙O相切； （3）若四边形ABCD是正方形，是否存在常数k，使PA+PC＝kPD？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）在Rt△BCD中，BD＝5，BC＝3，则CD＝4，即可求解； （2）通过三角形相似，证明∠EDB＝∠DBC＝90°，即可求解； （3）①当点P和点B重合时，则PD＝BD＝a，得到PA+PC＝2a＝a＝PD；②当P和点C重合时，同理可解；③当点P和点B、C都不重合时，证明△AFC∽△DPC，得到＝＝，即可求解． 【解答】（1）解：∵BD为直径，则∠BCD为直角， 在Rt△BCD中，BD＝5，BC＝3，则CD＝4， 则tan∠CBD＝＝； （2）证明：∵∠DBC＝∠EBD，BD2＝BC•BE， ∴△BCD∽△BDE， 则∠EDB＝∠DBC＝90°， ∴直线DE与⊙O相切； （3）解：存在，k＝； 设正方形的边长为a， ①当点P和点B重合时，则PD＝BD＝a， 则PA+PC＝2a＝a＝PD； ②当P和点C重合时， 则PD＝CD＝a， 则PA+CA＝a＝PD， 即PA+PC＝PD； ③当点P和点B、C都不重合时， 连接AC，PC，延长PF使PF＝PC， ∵四边形ABCD是正方形，则∠CPF＝90°， 则∠F＝45°， ∵CD是正方形ABCD的边，则∠DOC＝90°， 则∠DPC＝∠DOC＝45°＝∠F， ∵∠CDP＝∠CAP， ∴△AFC∽△DPC， 则＝＝， 则＝＝＝， 即PA+PC＝PD， 综上，k＝． 【点评】本题考查的是圆的综合题，涉及到三角形相似、解直角三角形等，综合性强，难度适中． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/13 16:26:38；用户：冯国震；邮箱：19862586797；学号：47532066 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$