2025年山西省九年级中考数学一轮复习备考课件：第8讲 方程(组)与不等式的实际应用

第二单元 方程(组)与不等式(组) 第8讲 方程(组)与不等式的实际应用 考点梳理 考点复习 基本思路 一般步骤 (1)审题：明确问题中的已知量、未知量以及各个量之间的等量或不等量关系. 审题方法： 已知量有两类：①表示数量的已知量，②表示关系的已知量. 结合问题情境：根据已知量联想相关量也可获得数量之间的关系. 如：购买问题，要联想总价、单价、数量之间的关系. (2)设元：用字母表示未知数，并尝试用含未知数的代数式表示相关的未知量. (3)建模：根据实际问题中的数量关系建立恰当的数学模型：等量关系→方程(组)，不等关系→不等式. (4)求解：解方程(组)或不等式，得到未知数的值或取值范围. (5)检验：检验所求结果是否正确，是否符合实际意义. (6)作答：规范作答，看清楚是否含单位，若含单位则注意单位名称. 常见的等量关系 常见类型 等量关系 销售问题 常见类型 等量关系 工程问题 工作总量 ＝ 工作效率 × 工作时间 工作总量 ＝ 各部分量之和 行程问题 路程 ＝ 速度 × 时间 相遇问题：s甲 ＋ s乙 ＝ s总 追及问题：(同地异时)前者走的路程 ＝ 追者走的路程；(异地同时)前者走的路程 ＋ 两地间的距离 ＝ 追者走的路程 常见类型 等量关系 增长(降低)率问题 若起始量为a，平均增长率(或降低率)为x，终止量为b，增长(降低)次数为2，则有a(1 ± x)2 ＝ b. 图形面积问题 循环 问题 表示不等关系的一些常用关键词 常用关键词 符号 大于、多于、超过、高于 ＞ 小于、少于、不足、低于 ＜ 至少、不少于、不低于、不小于 ≥ 至多、不超过、不高于、不大于 ≤ 回练课本 1. 甲处有272人，乙处有196人，要使甲处的人数是乙处人数的3倍，应从乙处调多少人到甲处？若设应从乙处调x人到甲处，则可列方程为___________________________. 2. 一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相等，若设江水的 流速为v km/h，则可列出方程为______________. 272 ＋ x ＝ 3(196 － x) 3. 小明准备用26元买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠2元，一盒方便面3元，他买了5盒方便面，他最多还能买多少根火腿肠？若设还能买x根火腿肠，根据题意可列不等式为__________________. 2x ＋ 15 ≤ 26 4. 一支部队第一天行军4 h，第二天行军5 h，两天共行军98 km，且第一天比第二天少走2 km.第一天和第二天行军的平均速度各是多少？ 解：设第一天、第二天行军的平均速度分别是x km/h，y km/h. 根据题意，得 解，得 答：第一天、第二天行军的平均速度分别是12 km/h，10 km/h. 5. 如图，在一块长92 m、宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠(水渠的宽都相等)，水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，水渠应该挖多宽？ 解：设水渠的宽度为x m. 由题意，得(92 － 2x)(60 － x) ＝ 885 × 6. 解得x1 ＝ 105(不含题意，舍去)，x2 ＝ 1. ∴x ＝ 1. 答：水渠的宽度为1 m. 课堂精讲 考点1 一次方程(组)的实际应用 1. (2024·长治二模)无人配送以其高效、安全、低成本等优势正在成为物流行业的新趋势，某物流园区使用1辆无人配送车平均每天配送的包裹数量比1名快递员平均每天配送包裹数量的5倍多30件.某天该物流园区共有8000件包裹，2辆无人配送车和5名快递员合作恰好能配送完，问1名快递员平均每天配送多少件包裹？设1名快递员平均每天配送x件包裹，则可列方程为( ) A. B. C. D. B 2. (2024·山西省适应性测试一)山西科技馆是一座集科普展览、科教影视、科技培训、学术交流和天文观测等多功能为一体的重要科普场所.为让学生直观感受科技的魅力，学校组织九年级师生参观科技馆.已知学校租用了A，B两种型号的大巴车共6辆，其中每辆A型大巴车载客45人，每辆B型大巴车载客60人，前往参观的师生330人正好坐满全部座位.求租用A型和B型大巴车的数量. 解：设租用A型大巴车x辆，B型大巴车y辆. 根据题意，得解，得 答：租用A型大巴车2辆，B型大巴车4辆. 考点2 分式方程的实际应用 3. (2024·山西省适应性测试二)2024年2月2日，“我们的节日·春节——平遥中国年”在古城平遥启动，活动以“龙腾新时代，活力中国年”为主题，从2月2日开始到2月25日持续24天.在此期间，古城游客暴增，平遥特色工艺品推光漆器备受欢迎.某旅行团购买A种漆器的总价为20 000元，购买 B种漆器的总价为12 000元，其中购买A种漆器的数量比B种多5件.已知A种漆器的单价比B种单价贵，求B种漆器每件的价格. 解：设B种漆器每件的价格为x元 根据题意，得. 解，得x ＝ 600. 经检验，x ＝ 600 是原方程的解. 答：B种漆器每件的价格为 600元. 4. (2024·百校联考三)我国快递市场规模巨大，快递业务量连续多年排名世界首位.某快递站点为提高配送效率，引进了无人配送车，在快递配送高峰期，快递员小李原来平均每天能配送100件快递，在无人配送车配合下，小李每小时的配送量达到了原来的1.5倍，每天的工作时间比原来减少了2个小时，每天的快递配送量比原来提高了20％.求小李现在每天需要工作几小时. 解：设小李现在每天需要工作x小时，则原来每天工作(x ＋ 2)小时. 根据题意，得1.5 × ＝ . 解，得x ＝ 8. 经检验，x ＝ 8是原方程的解. 答：小李现在每天需要工作8小时. 考点3 一元二次方程的实际应用 5. (2024·山西省适应性测试一)《山西省城乡垃圾管理条例》于2024年1月1日起施行，以推动实现城乡垃圾减量化、资源化、无害化.据统计，2023年我省某城区生活垃圾无害化处理能力为0.8万吨/日，预计2025年生活垃圾无害化处理能力将达到1.2万吨/日.如果设这两年该城区生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为( ) A. 0.8(1 ＋ x) ＝ 1.2 B. 0.8(1 ＋ 2x) ＝ 1.2 C. 0.8(1 － x)2 ＝ 1.2 D. 0.8(1 ＋ x)2 ＝ 1.2 D 6. (2024·通辽)如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长)的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门(由其它材料制成)，则的长为( ) A. 或 B. 或 C. C 7. (2024·晋城二模)忻州瓦酥，因形状似瓦而得名，其质酥脆、味甜香郁，堪称炉食中之一绝.某商家在售卖瓦酥的过程中发现，如果每千克瓦酥盈利元，那么每天可售出，为尽快减少库存且让利于顾客，商家决定采取适当的降价措施.经调查发现，每千克瓦酥每降价2元，商家平均每天可多售出.在上述销售正常的情况下，当每千克瓦酥降价多少元时，该商家平均每天的盈利为元？ 解：设每千克瓦酥降价x元，那么平均每天就可多售出. 根据题意，得. 解，得. ∵要尽快减少库存且让利于顾客，∴. 答：当每千克瓦酥降价7元时，该商家平均每天的盈利为元. 考点4 一元一次不等式的实际应用 8. 小霞原有存款52元，小明原有存款70元.从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为( ) A. 52 ＋ 15n ＞ 70 ＋ 12n B. 52 ＋ 15n ＜ 70 ＋ 12n C. 52 ＋ 12n ＞ 70 ＋ 15n D. 52 ＋ 12n ＜ 70 ＋ 15n A 9. (2024·运城三模)“读书众壑归沧海，下笔微云起泰山.”为了开展学生阅读活动，某学校计划为九年级购进一批图书.已知购买本生物科学类图书和本天文科学类图书需元，购买本生物科学类图书和本天文科学类图书需元. (1)问：生物科学类图书与天文科学类图书的单价分别是多少元？ 解：设生物科学类图书的单价是元，天文科学类图书的单价是元. 根据题意，得 解，得 答∶生物科学类图书的单价是元，天文科学类图书的单价是元. (2)若该校准备购买生物科学类和天文科学类两种图书共本，总费用不超过元，则至多购买多少本天文科学类图书？ 解：设该校购买天文科学类图书本，则购买生物科学类图书本. 根据题意，得， 解，得. 答：至多购买本天文科学类图书. 山西中考 命题点1 一次方程(组)的实际应用 1. (2020·山西)2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元(每次只能使用一张).某品牌电饭煲按进价提高50％后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元.求该电饭煲的进价. 解：设该电饭煲的进价为x元. 根据题意，得(1 ＋ 50％)x·80％ － 128 ＝ 568. 解，得x ＝ 580. 答：该电饭煲的进价为580元. 2. (2024·山西)当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克. 解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克， 根据题意，得 解，得 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克. 命题点2 分式方程的实际应用 3. (2022·山西)2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元.若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费. 解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元. 根据题意，得. 解，得x ＝ 0.2. 经检验，x ＝ 0.2是原方程的解. 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元. 4. (2021·山西)太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟，求走路线一到达太原机场需要多长时间. 解：设走路线一到达太原机场需要x分钟. 根据题意，得 × ＝ . 解，得x ＝ 25. 经检验，x ＝ 25是原方程的解. 答：走路线一到达太原机场需要25分钟. 5. (2020·山西21题节选)如图是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过.经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数. 解：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为x人. 根据题意，得 － 3 ＝ . 解，得x ＝ 30. 经检验，x ＝ 30是原方程的解. 当x ＝ 30时，2x ＝ 60. 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为60人. 6. (2018·山西)2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好.已知“太原南——北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的(两列车中途停留时间均除外).经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间. 解：设乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要x小时. 根据题意，得. 解，得x ＝ . 经检验，x ＝ 是所列方程的解. 答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时. 命题点3 一元二次方程的实际应用 7. (2019·山西)如图，在一块长12 m，宽8 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为77 m2，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为___________________________________________. (12 － x)(8 － x) ＝ 77或x2 － 20x ＋ 19 ＝ 0 8. (2020·山西)如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为_____cm. 2 9. (2021·山西)2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答). 解：设这个最小数为x. 根据题意，得x(x ＋ 8) ＝ 65. 解，得x1 ＝ 5，x2 ＝ － 13(不合题意，舍去). 答：这个最小数为5. 命题点4 一元一次不等式的实际应用 10. (2022·山西)某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20％的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价______元. 11. (2018·山西)2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的宽为20 cm，长与高的比为8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为______cm. 32 55 12. (2024·山西)为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21 000元，则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？ 解：设可购买这种型号的水基灭火器x个. 根据题意，得540x ＋ 380(50 － x) ≤ 21 000. 解，得x ≤ 12.5. ∵x为整数，且x取最大值，∴x ＝ 12. 答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个. 命题点5 方程(组)与不等式的综合应用 13. (2023·山西)风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等. (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少； 解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨. 根据题意，得 解，得 答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨. (2)该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备. 解：设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥. 根据题意，得. 解，得. ∵m为整数，m取最大值，∴m ＝ 6. 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥. $$