专题03 一次函数-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（沪科版）

专题03 一次函数 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：正比例函数 1.正比例函数的定义 一般地，形如 (k为常数，)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做 . 注意：(1)正比例函数必须满足两个条件： ①比例系数 ,②自变量x的次数是 . (2)在判断一个函数是否是正比例函数时，只要看其是否满足()的形式即可；若求函数的解析式，只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了. 2.正比例函数的图像和性质 （1）正比例函数(k是常数，)的图象是一条经过 与点 的直线，我们称它为直线.其图象和性质如下表： 图象 经过象限 第 象限 第 象限 图象形状 从左向右 从左向右 增减性 y随x的增大而 y随x的增大而 ①正比例函数()中，越大，直线越靠近 轴，即直线与x轴正半轴的夹角 ；越小，直线越靠近 轴，即直线与x轴正半轴的夹角 . ②正比例函数的性质也可以逆用，如当正比例函数()中y随x的增大而增大时， ,反之， ;若正比例函数的图象过第一、三象限，则k>0等。 （2）正比例函数图象的简单画法 由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系中，画正比例函数的图象时，描出原点和(1,k),过这两点的直线就是正比例函数()的图象. 知识点 2 ：一次函数 1.一次函数的定义 一般地，形如 (，是常数，)的函数，叫做一次函数。当b=0时，即 ，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。 2.一次函数的图象和性质 一般地，一次函数(，是常数，)的图象也是一条直线，我们称它为直线(),其图象与性质如下表： 图象 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 图象形状 从左向右上升 从左向右下降 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 注意：直线与轴交于点 ,与轴交于 ,其中叫做直线在轴上的截距。截距不是距离，是直线与轴交点的纵坐标。因此，截距可正，可负，也可为0。 3.一次函数图象的平移 (1)一次函数的图象是经过点和直线重合或 的一条直线. (2)一次函数的图象可以看成由直线平移 个单位长度得到(当时，向 平移；当时，向 平移)。 4.用待定系数法求函数解析式 （1）待定系数法的定义：先设出函数 ，再根据条件确定解析式中未知的系数、从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。 正比例函数(是常数，)中有一个待定系数，只需要一个条件确定比例系数的值；一次函数(，是常数，)中有两个待定系数,,需要两个独立条件确定两个关于,的方程。 （2）用待定系数法求函数解析式的步骤 ①设含有 的解析式(看是正比例函数，还是一次函数); ②根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程(组),求出待定系数的值； ④将求出的待定系数代入所设的解析式，得所求解析式. 5.从函数的角度看解方程（组）与不等式（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系 因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为 的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为 时，求自变量的值. 一元一次方程与一次函数的关系为：的解函数中，时 的值函数的图象与轴交点的 . （2）一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个以为未知数的一元一次不等式都能变形为 或 的形式，所以解一元一次不等式相当于在一次函数的值大于0或小于0时，求自变量的取值范围。一次函数与一元一次不等式或的关系为： ①的解集⇔中， 时，自变量的取值范围. ②的解集⇔中， 时，自变量的取值范围. （3）一次函数与二元一次方程组的关系 ①含有未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组对应两个一次函数，即对应 。 ②从“数”的角度看，解方程组就是求使得两个函数值相等的自变量的值以及此时的 . ③从“形”的角度看，解方程组就是确定两条直线的 . 题型归纳 【考点01 正比例函数的定义】 1．（24-25八年级上·河南·期中）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 3．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中正确的有（   ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．（24-25八年级上·山西运城·期中）下列与之间的关系中，是的正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与它的边长之间的关系 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．小明以每分钟米的速度步行上学，他所走的路程与时间之间的关系 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量与耗油量之间的关系 【考点02 正比例函数的图像与性质】 1．（24-25八年级上·上海·期中）如果函数经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值： ． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知正比例函数的图象过点，则k= ． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【考点03 根据一次函数的定义求参数】 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（24-25八年级上·江西九江·期中）一次函数的图象经过点，则 ． 4．（24-25八年级上·广东茂名·期中）当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【考点04求一次函数的自变量或函数值】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列各点一定在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各点一定在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，在一次函数图象上的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点” ．直线上的“姐妹点”的坐标是 ． 【考点05一次函数的图像】 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）要得到直线，可把直线（    ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移2个单位长度 3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）把直线向上平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式为 ． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知一次函数（为常数，）的图像经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)画出函数图像； (3)观察图像，写出该函数三个不同类型的结论． 【考点06一次函数的解析式】 1．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）下列关于的一次函数与一次函数的图象可能正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）正比例函数的图像如图所示，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知直线与直线平行，且与轴的交点为，那么这条直线的解析式为 ． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知y与成正比例，且当时，，求y与x之间的函数表达式． 【考点07一次函数与坐标轴的交点问题】 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数中，与的部分对应值如下表： 那么一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数（是常数，）的图象经过点，且与x轴、y轴分别交于点B、点 (1)求k的值； (2)若点在此一次函数的图象上，求a的值； (3)此一次函数的图象与坐标轴围成的的面积为______． 【考点08一次函数的增减性】 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，函数图象一定不经过第二象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 4．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值． (2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 【考点09一次函数与一元一次方程的关系】 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一次函数 和的部分对应值如表所示，其中，设这两个一次函数的图象交于点，则所在的范围是（　　） x 1 3 5 2 6 10 A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，直线：与直线相交于点． (1)分别求直线和直线的函数解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交、于点M、N，当线段时，求点D的坐标． 【考点10一次函数与不等式的关系】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数的图象如图所示． (1)求出，的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 4．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点B，点B的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量x的取值范围是______； (2)求一次函数的表达式； (3)点C为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点D，若，求点C的坐标． 【考点11 一次函数与二元一次方程组】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为 ． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 过关检测 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）把直线l：沿x轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 3．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，y的值随着x值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则，； ③若点和均在该函数图象上，则； ④若该函数的图象与直线关于y轴对称，则，． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 5．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 二、填空题 7．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知与成正比例，且当时，．当时，则 ． 8．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解是直线与直线相交于点 A，若直线 过点 A，则实数 m 的值是 9．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数的图象过点，，． （1）已知该一次函数的图象一定经过点，则点的坐标为 ； （2）若，则的取值范围是 ． 10．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与交于点． （1）关于x的方程解为 ； （2）函数的图象沿y轴向下平移后得到函数图象，图象与图象交于点B，若点B的纵坐标为1，则不等式的解集是 ． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点． （1）点的“关联点”为，则 ． （2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为 ． 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知与成正比例，当时，，求与的函数关系． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式． (2)当时，求x的值． 15．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）直线与直线平行，且在y轴上的截距是． (1)直线对应的函数表达式为_____； (2)若点P在直线上，且点P到x轴的距离为5，求点P的坐标． 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)直接写出不等式的解集：______ (3)求四边形的面积． 17．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 18．（24-25八年级上·安徽池州·期中）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)求三角形的面积； (3)根据图象，直接写出的解集____． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 20．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）已知一次函数的图象交轴和轴于点和；另一个一次函数的图象交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点 (1)当，为何值时，和的图象重合； (2)当，且在时，则成立，求的取值范围； (3)当的面积为时，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一次函数 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：正比例函数 1.正比例函数的定义 一般地，形如(k为常数，)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注意：(1)正比例函数必须满足两个条件： ①比例系数k≠0,②自变量x的次数是1. (2)在判断一个函数是否是正比例函数时，只要看其是否满足()的形式即可；若求函数的解析式，只要求出比例系数k的值，解析式就可以确定了. 2.正比例函数的图像和性质 （1）正比例函数(k是常数，)的图象是一条经过原点与点(1,k)的直线，我们称它为直线.其图象和性质如下表： 图象 经过象限 第一、三象限 第二、四象限 图象形状 从左向右上升 从左向右下降 增减性 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 ①正比例函数()中，越大，直线越靠近y轴，即直线与x轴正半轴的夹角越大；越小，直线越靠近x轴，即直线与x轴正半轴的夹角越小. ②正比例函数的性质也可以逆用，如当正比例函数()中y随x的增大而增大时，k>0,反之，k<0;若正比例函数的图象过第一、三象限，则k>0等。 （2）正比例函数图象的简单画法 由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系中，画正比例函数的图象时，描出原点和(1,k),过这两点的直线就是正比例函数()的图象. 知识点 2 ：一次函数 1.一次函数的定义 一般地，形如(，是常数，)的函数，叫做一次函数。当b=0时，即，所以正比例函数是一种特殊的一次函数。 2.一次函数的图象和性质 一般地，一次函数(，是常数，)的图象也是一条直线，我们称它为直线(),其图象与性质如下表： 图象 经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限 图象形状 从左向右上升 从左向右下降 增减性 随的增大而增大 随的增大而减小 注意：直线与轴交于点,与轴交于,其中叫做直线在轴上的截距。截距不是距离，是直线与轴交点的纵坐标。因此，截距可正，可负，也可为0。 3.一次函数图象的平移 (1)一次函数的图象是经过点和直线重合或平行的一条直线. (2)一次函数的图象可以看成由直线平移个单位长度得到(当时，向上平移；当时，向下平移)。 4.用待定系数法求函数解析式 （1）待定系数法的定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数、从而得出函数解析式的方法，叫做待定系数法。 正比例函数(是常数，)中有一个待定系数，只需要一个条件确定比例系数的值；一次函数(，是常数，)中有两个待定系数,,需要两个独立条件确定两个关于,的方程。 （2）用待定系数法求函数解析式的步骤 ①设含有待定系数的解析式(看是正比例函数，还是一次函数); ②根据条件列出以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程(组),求出待定系数的值； ④将求出的待定系数代入所设的解析式，得所求解析式. 5.从函数的角度看解方程（组）与不等式（组） （1）一次函数与一元一次方程的关系 因为任何一个以为未知数的一元一次方程都可以变形为的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数的函数值为0时，求自变量的值. 一元一次方程与一次函数的关系为：的解函数中，时的值函数的图象与轴交点的横坐标. （2）一次函数与一元一次不等式的关系 因为任何一个以为未知数的一元一次不等式都能变形为或的形式，所以解一元一次不等式相当于在一次函数的值大于0或小于0时，求自变量的取值范围。一次函数与一元一次不等式或的关系为： ①的解集⇔中，时，自变量的取值范围. ②的解集⇔中，时，自变量的取值范围. （3）一次函数与二元一次方程组的关系 ①含有未知数和的两个二元一次方程组成的二元一次方程组对应两个一次函数，即对应两条直线。 ②从“数”的角度看，解方程组就是求使得两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值. ③从“形”的角度看，解方程组就是确定两条直线的交点坐标. 题型归纳 【考点01 正比例函数的定义】 1．（24-25八年级上·河南·期中）下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、是一次函数，不是正比例函数，故选项符合题意； B、不是一次函数，故选项不符合题意； C、是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意； D、不是一次函数，故选项不符合题意． 故选：A． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）若关于x的函数是正比例函数，则m的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】解：函数是关于x的正比例函数， ， 解得：， 故选：C． 3．（24-25八年级上·上海·期中）下列说法中正确的有（   ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【解析】解：①当时，是正比例函数，原说法错误； ②如果是正比例函数，那么，原说法错误； ③如果与成正比例，那么不是的正比例函数，原说法错误； ④如果，那么与成正比例，说法正确． ∴正确的只有1个， 故选：D． 4．（24-25八年级上·山西运城·期中）下列与之间的关系中，是的正比例函数的是（   ） A．正方形的面积与它的边长之间的关系 B．用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系 C．小明以每分钟米的速度步行上学，他所走的路程与时间之间的关系 D．汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量与耗油量之间的关系 【答案】C 【解析】解：A中，正方形的面积与它的边长之间的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； B中，用长的绳子围成一个长方形，其中一边长与它邻边之间的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； C中，小明以每分钟米的速度步行上学，他所走的路程与时间之间的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意； D中，汽车油箱中有汽油，行驶过程中剩余油量与耗油量之间的关系是，不是正比例函数关系； 故选：C． 【考点02 正比例函数的图像与性质】 1．（24-25八年级上·上海·期中）如果函数经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵函数经过第二、四象限， ∴， 解得：； 故答案为：． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值： ． 【答案】1（均可） 【解析】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知正比例函数的图象过点，则k= ． 【答案】 【解析】解：把点代入正比例函数中， 得到， 解得， 故答案为： ． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知与成正比例关系，且当时，． (1)求与之间的函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的取值范围为 【解析】（1）解：∵与成正比例关系， ∴设， 当时，， ∴， 解得，， ∴，整理得，， ∴与之间的函数解析式为； （2）解：由（1）可得，与之间的函数解析式为， ∴， ∴随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，的取值范围为． 【考点03 根据一次函数的定义求参数】 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】解：下列函数：①；②；③；④中．其中一次函数有①；②；③，共3个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知函数是一次函数，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【解析】解：由题意得：， 解得：； 故选A． 3．（24-25八年级上·江西九江·期中）一次函数的图象经过点，则 ． 【答案】 【解析】解：一次函数的图象经过点， ， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东茂名·期中）当，为何值时，． (1)是一次函数； (2)是正比例函数． 【答案】(1)． (2)，； 【解析】（1）解：当，时，是一次函数， ∴． 答∶当时，是一次函数； （2）解：当，，时，是正比例函数， ∴，， ∴，时，是正比例函数． 【考点04求一次函数的自变量或函数值】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）下列各点一定在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A、当时，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各点一定在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、当时，，故点不在函数的图象上； B、当时，，故点在函数的图象上； C、当时，，故点不在函数的图象上； D、当时，，故点不在函数的图象上； 故选：B． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，在一次函数图象上的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【解析】解：．当时，，则点A在一次函数的图象上，故该选项符合题意； ．当时，，则点B不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； ．当时，，则点C不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； ．当时，，则点D不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知是的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点” ．直线上的“姐妹点”的坐标是 ． 【答案】 【解析】解：设直线上的“姐妹点”的坐标是， ∴， ∴， ∴ ∵是线上的点， ∴ 解得： ∴，即， 故答案为：． 【考点05一次函数的图像】 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）一次函数与正比例函数（，为常数，且）在同一直角坐标系内的大致图像不可能的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、由一次函数图像可知，，，，故；正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； B、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像不满足这一关系，故此选项符合题意； C、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； D、由一次函数图像可知，，，故，正比例函数的图像满足这一关系，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）要得到直线，可把直线（    ） A．向下平移3个单位长度 B．向上平移3个单位长度 C．向左平移3个单位长度 D．向右平移2个单位长度 【答案】B 【解析】解：直线向上平移3个单位可得， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河南焦作·期中）把直线向上平移后得到直线，直线经过点，且，则直线的函数表达式为 ． 【答案】 【解析】解：∵直线向上平移后得到直线， ∴直线的解析式可设为． 把点代入得， 解得：． ∵， ∴， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知一次函数（为常数，）的图像经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)画出函数图像； (3)观察图像，写出该函数三个不同类型的结论． 【答案】(1)该一次函数表达式为 (2)见解析 (3)①图像是一条直线；②图像从左往右呈下降趋势；③图像经过第一、二、四象限 【解析】（1）解：将代入一次函数中， 得：， 解得：， 该一次函数表达式为； （2）在一次函数中，令，则，令，则，解得：， 该函数与轴的交点为，与轴的交点为， 则函数的图像如下： （3）由函数图像可得：①图像是一条直线；②图像从左往右呈下降趋势；③图像经过第一、二、四象限． 【考点06一次函数的解析式】 1．（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）下列关于的一次函数与一次函数的图象可能正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、假设过一、三象限的一次函数解析式为，则，；过二、四象限的一次函数中，，，故，矛盾，不符合题意； B、假设过一、三象限的一次函数解析式为，则，；过二、四象限的一次函数中，，，故符合题意； C、假设过一、三象限的一次函数解析式为，则，；过二、四象限的一次函数中，，，故矛盾，不符合题意； D、假设一次函数解析式为，则，；一次函数中，，，故矛盾，不符合题意； 故选：B 2．（24-25八年级上·内蒙古包头·期中）正比例函数的图像如图所示，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：由图可知，点在函数上， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）已知直线与直线平行，且与轴的交点为，那么这条直线的解析式为 ． 【答案】 【解析】解：∵直线与直线平行， ∴， ∴， ∵直线与轴的交点为， ∴， ∴这条直线的解析式为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知y与成正比例，且当时，，求y与x之间的函数表达式． 【答案】 【解析】解：设． 将代入， 得，                     解得， 则， 与x之间的函数表达式为． 【考点07一次函数与坐标轴的交点问题】 1．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 3．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）一次函数中，与的部分对应值如下表： 那么一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据上表中的数据值，当时，， 即一元一次方程的解是． 故选：D 4．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知一次函数（是常数，）的图象经过点，且与x轴、y轴分别交于点B、点 (1)求k的值； (2)若点在此一次函数的图象上，求a的值； (3)此一次函数的图象与坐标轴围成的的面积为______． 【答案】(1) (2) (3)1 【解析】（1）解：把代入，得 ， ∴； （2）解：∵， ∴， 把代入，得 ， ∴； （3）解： 当时，， 解得， 当时，， 点B和点C的坐标分别为，， 的面积为 故答案为：1． 【考点08一次函数的增减性】 1．（24-25八年级上·山东济南·期中）若点在一次函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】解：∵， ∴的值随着的增大而增大， ∵， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是，则下列符合题意的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是， ∴当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 当时，一次函数过，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∴只有D选项符合题意． 故选：D． 3．（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）对于一次函数，下列叙述正确的是（   ） A．函数图象一定经过点 B．当时，函数图象一定不经过第二象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，函数图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】解：由可知，当，即时，不管为何值，永远为，故该一次函数一定过，故A选项正确； 当，例如时，，该函数过第一，二，三象限，故B错误； 当时，随的增大而减小，故C错误； 当时，例如，那么函数图象经过第一、三、四象限，故D错误； 故选：A． 4．（24-25八年级上·山西运城·期中）在平面直角坐标系中，已知一次函数． (1)若一次函数的图象经过原点，求k的值． (2)若一次函数的图象经过点，且y的值随x值的增大而减小，求k的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴且， ∴． （2）解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， 解得：， ∵y的值随x值的增大而减小， ∴， 解得：， ∴． 【考点09一次函数与一元一次方程的关系】 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）一次函数：与的图象如图所示，下列选项不正确的是（    ） A．随x 的增大而减小 B．函数 的图象不经过第二象限 C． D． 【答案】D 【解析】由图象可得：对于函数来说,随的增大而减小，故A正确，不符合题意； ∵ ∴函数 的图象经过第一，三， 四象限，不经过第二象限，故B正确，不符合题意； ∵一次函数 与 的图象的交点的横坐标为 ， ，故C正确，不符合题意； 当 时, ， 由图象可知 ，即，故D错误，符合题意； 故选: D. 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）一次函数 和的部分对应值如表所示，其中，设这两个一次函数的图象交于点，则所在的范围是（　　） x 1 3 5 2 6 10 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：当时，， ，则； 当时，， ，则； ∴在和之间存在两个函数值相等， ∵这两个一次函数的图象交于点， ∴． 故选：B． 4．（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，直线：与直线相交于点． (1)分别求直线和直线的函数解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交、于点M、N，当线段时，求点D的坐标． 【答案】(1)直线的函数解析式为；直线的函数解析式为 (2)或 【解析】（1）将点代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为． 将点代入，得， 解得． ∴直线的函数解析式为． （2）设，则，， ∴或． 解得或． ∴或． 【考点10一次函数与不等式的关系】 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，直线经过点和点，直线过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵直线经过点和点，直线过点， ∴点是直线与直线的交点， ∴由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方时，则的取值范围为， 不等式的解集为， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期中）直线过点，，则关于x的方程的解为 ．当时，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：关于x的方程的解，即为函数图像与轴的交点横坐标， 直线过点， 方程的解为， 直线过点，， 直线随x的增大而减小， 当时，自变量x的取值范围是， 故答案为：，． 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）一次函数的图象如图所示． (1)求出，的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围为． 【解析】（1）解：由图象可知，一次函数的图象经过点，， 代入得：， 解得：， ． （2）由图象得，当时，的取值范围为， 的取值范围为． 4．（24-25八年级上·福建三明·期中）如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点B，点B的坐标为． (1)观察图象，当时，自变量x的取值范围是______； (2)求一次函数的表达式； (3)点C为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点D，若，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)点C的坐标为或． 【解析】（1）解：观察图象得当时，函数的图象在函数的图象的上方， ∴当时，自变量x的取值范围是； 故答案为：； （2）解：∵正比例函数经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （3）解：设点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点C的坐标为或． 【考点11 一次函数与二元一次方程组】 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵直线与的交点为， ∴， 解得， ∴交点坐标为． ∵两条直线的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解， 而方程组，即方程组， ∴方程组的解为． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东济南·期中）如图，利用函数图象可知关于x，y的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【解析】解：由整理得， 依题意，把代入，解得， 即函数，的交点坐标为， 再结合图象得出的解为， 即关于x，y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东青岛·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A、B，则的面积为 ． 【答案】 【解析】解：如图， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴． ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)16 (2)或 【解析】（1）解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为16； （2）解：联立， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点坐标为或． 过关检测 一、单选题 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）把直线l：沿x轴正方向向右平移2个单位得到直线，则直线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可得，直线l上两点坐标：，， 这两点向右平移2个单位长度得到的点为，， 设平移后直线的解析式为，则 ， 解得， ∴直线的解析式为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，直线交坐标轴于点A，B，将向x轴负半轴平移4个单位长度得，则图中阴影部分面积为（    ） A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【解析】解：直线交坐标轴于点A，B， 令，；令，； ，，即，， 向x轴负半轴平移4个单位长度得， ，，， 设、交于点F， 点F在直线的图象上，且点F的横坐标与点D的横坐标相同， 当时，， ，即， ， ， ，即图中阴影部分面积为18， 故选：C． 3．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，y的值随着x值的增大而增大； ②将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则，； ③若点和均在该函数图象上，则； ④若该函数的图象与直线关于y轴对称，则，． 其中正确的结论是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 【答案】C 【解析】解：当时，则，y的值随着x值的增大而增大，故①正确； 将该函数图象向下平移2个单位后得到直线，则， ∴，故②错误； 若点和均在该函数图象上，则有， 两式相减消去m，并整理得：，故③错误； 若该函数的图象与直线关于y轴对称，显然是两对称直线的公共点，则；在直线上取点，则它关于y轴的对称点在直线上，即，∴，故，，即④正确； ∴正确的有①④； 故选：． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【答案】A 【解析】解：当时， 当时， 当时，随的增大而增大 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 当时，随的增大而减小 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 故选：． 5．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）正方形，，，…，按如图的方式放置，点，，，…和点，，，．．．分别在直线和轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵点，，，…在直线， ∴当时，，即的纵坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴当时，，，即的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，则纵坐标为， ∴，则 ∵是正方形是正方形， ∴，则， ∴， ∴当时，，，则的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， 同理，，的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴的横坐标为，纵坐标为，的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【解析】、根据两条直线交点的坐标是，得到方程的解是，原选项正确； 、根据不等式的解集，不等式的解集都是，得到不等式和不等式的解集相同，原选项正确； 、把代入，得到，当时，，得到不等式的解集是，根据不等式的解集是， ∴不等式组的解集是，原选项正确； 、根据图象可知方程组的解是，原选项不正确； 故选：． 二、填空题 7．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知与成正比例，且当时，．当时，则 ． 【答案】 【解析】与成正比例， 设， 当时，， ， ， ， 当时，， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解是直线与直线相交于点 A，若直线 过点 A，则实数 m 的值是 【答案】 【解析】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是直线与直线相交于点 A， ∴点，，解得：． ∵直线 过点 A， ∴直线 过点 A，即，解得：． 故答案为． 9．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数的图象过点，，． （1）已知该一次函数的图象一定经过点，则点的坐标为 ； （2）若，则的取值范围是 ． 【答案】 或． 【解析】解：（1）， 一次函数的图象过定点， 则点的坐标为， 故答案为：， （2）一次函数的图象过点，，，且， ， 则一次函数的图象过第一、二、四象限， ∵， ∴当，时，， ， 解得， ∴当时，则 ， 解得． 故答案为：或． 10．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与直线交于点，与y轴交于点B． （1） ； （2）若点在线段上，点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】 1 【解析】解：（1）∵直线与直线交于点， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）知直线的表达式为， ∵点在线段上，点在直线上， ，， ， ， 的最小值为． 11．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）一次函数与交于点． （1）关于x的方程解为 ； （2）函数的图象沿y轴向下平移后得到函数图象，图象与图象交于点B，若点B的纵坐标为1，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】解：（1）∵一次函数与交于点， ∴关于x的方程解为； 故答案为：． （2）由题意知，直线过点A，则有， 解得：； 即； 设函数沿y轴向下平移后得到函数解析式， ∵图象与图象交于点B，点B的纵坐标为1， ∴， 即， ∴； 由图象知，当时，解集为；当时，解集为， ∴不等式的解集为； 故答案为：． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：如果那么称点为点的“关联点”，例如：点的“关联点”为点，的“关联点”为点． （1）点的“关联点”为，则 ． （2）如果点是一次函数图象上点的“关联点”，那么点的坐标为 ． 【答案】 0 或． 【解析】解：（1）由“关联点”的定义可知：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：0． （2）∵点是一次函数图象上点的“关联点”， ∴点P的坐标为或， 当点P的坐标为时， ∵点P在一次函数图象上， ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为； 当点P的坐标为时， ∵点P在一次函数图象上， ∴， 解得∶， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或， 故答案为∶ 或． 三、解答题 13．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知与成正比例，当时，，求与的函数关系． 【答案】 【解析】解：设函数解析式为， 将代入，可得， 解得， ∴与的函数关系为． 14．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知一次函数，当时，；当时，． (1)求一次函数的表达式． (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：∵一次函数，当时，；当时，． ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得． 15．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期中）直线与直线平行，且在y轴上的截距是． (1)直线对应的函数表达式为_____； (2)若点P在直线上，且点P到x轴的距离为5，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点P坐标为或． 【解析】（1）解：∵直线与直线平行， ∴； 上式中，令得； ∵直线在y轴上的截距是， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵由点P到x轴的距离为5， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点P坐标为或． 16．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，过点的直线与直线相交于点． (1)求直线的解析式． (2)直接写出不等式的解集：______ (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)2.5 【解析】（1）解：将代入直线得， ，即， 再将点和代入直线得， ，解得， 直线l1：； （2）解：把代入，得， ∴． 根据图像可得：当时，． 故答案为：； （3）解：将代入直线得，即， 将代入直线l2得，即，， 由（1）得， 四边形的面积． 17．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，直线和直线相交于点，分别与轴交于，两点． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上有一动点，过点作轴的垂线，分别交函数和直线的图象于点，，若，求出此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)的面积为； (3)点的坐标为或． 【解析】（1）解：联立， 解得：， 点的坐标为． （2）当时，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ， 即的面积为． （3）由题意知，，， ， 解得：或， 点的坐标为或． 18．（24-25八年级上·安徽池州·期中）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)求三角形的面积； (3)根据图象，直接写出的解集____． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：把和分别代入， 得：，   解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：联立函数式得， 解得，   ∴， 在中，令，即， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图象可得，当时，直线在直线的上方，且直线在x轴的上方， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）定义：对于一次函数、，我们称函数为函数、的“星辰函数”． (1)已知函数为函数、的“星辰函数”，求，的值； (2)在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点．过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点． ①若，函数、的“星辰函数”图象经过点，求的值； ②若，点在点的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【解析】（1）解：根据“星辰函数”的定义有，， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵函数与的图象相交于点， ∴， 解得，， ∴， 根据题意，设函数、的“星辰函数”为， ①∵点在“星辰函数”上， ∴，整理得，， ∵， ∴， ∴； ②过点作轴的垂线，交函数、的“星辰函数”的图象于点， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∵点在点的上方， ∴， ∴， ∵，则， ∴ ∴． 20．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）已知一次函数的图象交轴和轴于点和；另一个一次函数的图象交轴和轴于点和，且两个函数的图象交于点 (1)当，为何值时，和的图象重合； (2)当，且在时，则成立，求的取值范围； (3)当的面积为时，求线段的长． 【答案】(1)当时，和的图象重合； (2) (3)或 【解析】（1）解：∵的图象过点， ∴， ∴， ∴， ∵和的图象重合， ∴， ∴； 即当时，和的图象重合； （2）解：∵，如图1， ∴， ∴，， ∵且时，成立， ∴由图象得， ∴； （3）解：∵ 中，令得， 令，， 中，令得， 令得 ∴ 第一种情况，如图2， 根据题意得： ∴， ∵ ∴ 解得：或； 经检验，，是原分式方程的解； ∴，，，， ∴，； 第二种情况，如图3： ∵， ∴， ∴ 解得：或， 经检验，，是原分式方程的解； ∴，，，， ∴，； 综上所述，或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$