专题02 整式及其加减-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

专题02 整式及其加减 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：代数式 1.代数式的概念：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式． 注意（1）单个数字与字母也是代数式； （2）代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号； （3）代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解． 2.代数式的书写规则 1．代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写； 数与字母相乘时，数应写在字母前面； 数与数相乘时，仍用“”号； 2．带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘； 3．在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写； 4．在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面； 如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面． 3.列代数式 （1）列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式． （2）正确列出代数式，要掌握以下几点： ①列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系； ②要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等； ③要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等． 知识点2：代数式的求值 1.代数式求值方法 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算的结果叫做代数式求值． 代数式求值的三种方法：1.直接代入求值；2.化简代入求值；3.整体代入求值． 2.代数式求值方法常见考法 列代数式与代数式求值是中考的必考知识点，它涉及的知识范围广，可与实际问题（如乘车，购物、储蓄、税收等）相结合，特别的探索规律列代数式这类考题为中考命题者提供了广泛的空间，是近几年的热点，这类题通常是从一列数、一个数阵、一个等式、一组图形中，观察出规律，并尝试归纳出代数式或公式，再加以验证． 注意（1）列代数式时，由于审题不清，对条件理解不透，很容易搞错运算顺序而列错代数式； （2）求代数式的值，将代数式中字母用相应的数值后，代数式就变成了实数的混合运算．如果没有对实数运算掌握好，就会出现运算顺序搞错的现象； （3）在进行规律探索中，由于在审题中没有抓住问题的性质，常常得出不能完全反映全部规律的错误规律，出现以点概面，以偏概全的现象． 知识点 3 ：整式 1．单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 注意（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成．但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 注意（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 注意单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 4．多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 注意“几个”是指两个或两个以上． 5．多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 注意（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 6．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 注意（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 7.单项式与多项式统称为整式． 注意（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示． 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 知识点 4：整式的加减 1.同类项：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式． 注意（1）判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． （2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． （3）一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 2.合并同类项 （1）概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． （2）法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 注意合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： ①不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏，在每步运算中都含有． ②合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算． 3.去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 注意（1）去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． （3）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 4.添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 注意（1）添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． （2）去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 5.整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 注意（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． （3）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 题型归纳 【考点01 列代数式】 1．（24-25七年级上·广东中山·期中）如图，一个零件的横截面是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：）． (1)用式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分面积的值．（，结果保留整数） 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）李老师买了一套经济适用房，建筑平面图如图：（单位：米） (1)用含有，的代数式表示地面面积（写出必要的过程，结果保留最简形式）； (2)李老师想把所有房间的地面都铺上地砖，已知每平方米地砖费用元，求，时，铺地砖的总费用是多少元？ 3．（24-25七年级上·江西吉安·期中）某校餐厅计划购买12张餐桌和若干把餐椅，先从甲、乙两个商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为60元，甲商场规定：购买一张餐桌赠送一张餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八折销售． (1)若学校计划购买把餐椅，则到甲商场购买所需的费用为_______；到乙商场购买所需的费用为_______； (2)若学校计划只在一家商场购进12张餐桌和30把餐椅，请通过计算说明，到哪个商场购买合算？ 24．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，，点F为线段上的一点，且，点E从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，以为边向上作正方形．设点E的运动时间为t秒，正方形与长方形的重叠面积为S（，）． (1)直接用含有t的代数式表示的长． (2)当正方形与长方形重叠图形为正方形时，求t的取值范围． (3)当正方形与长方形的重叠图形为长方形（除正方形外）时，求出S与t的关系式． 【考点02 代数式的概念与书写规则】 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥0，是代数式的为（   ） A．①③④⑤ B．①③④⑥ C．①④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）下列各式中，是代数式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（   ） 甲：的倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费 A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 4．（24-25七年级上·吉林·期中）下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有 ．（填写序号即可） 【考点03 代数式的求值】 1．（24-25七年级上·江西吉安·期中）若有理数，满足，，且，则的值为 ． 2．（24-25七年级上·广东中山·期中）已知当时，代数式的值是5，则当时，该代数式的值是 ． 3．（24-25七年级上·四川广元·期中）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a、b，．问：若与互为倒数，与5互为相反数，的值为 ． 4．（24-25七年级上·广东佛山·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知：，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)当，求的值． (3)当时，代数式，当时，代数式的值是多少？ 【考点04 单项式的概念】 1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）下列代数式中，不是单项式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列代数式中中，单项式共有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）单项式的系数是 ． 4．（24-25七年级上·四川巴中·期中）单项式系数是 ，次数是 ． 【考点05 多项式的概念】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若多项式是关于的五次三项式，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知多项式是关于x，y的六次三项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值 (2)当，时，求多项式的值． 【考点06 同类项的判断】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列整式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．1与 C．和 D．与 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）下列判断中，正确的是（   ） A．与不是同类项 B．是整式 C．单项式的系数是，次数是4 D．是二次三项式 3．（24-25七年级上·山西朔州·期中）写出一个与是同类项的单项式，这个单项式可以是 ． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）单项式与是同类项，则 ． 【考点07合并同类项】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）若单项式与的和仍是单项式，则 ． 2．（24-25七年级上·天津·期中）若单项式与可以进行合并，则 ． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1)； (2)． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知， (1)化简； (2)当时，求的值． 【考点08 去括号与添括号】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）下列式子中去括号错误的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，则代数式的值是 ． 4．（24-25七年级上·重庆潼南·期中）化简： (1) (2) 【考点09 整式加减运算】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）图1是我国古代传说中的“洛书”，图2是洛书的数字表示相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3中：若，，，整式F是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江西吉安·期中）定义一种新运算“”：，比如：． (1)求的值； (2)若，，计算． 3．（24-25七年级上·江西赣州·期中）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是，其中． (1)求多项式的表达式； (2)请你帮助这名同学求出正确的结果． 4．（24-25七年级上·福建三明·期中）已知，． (1)求； (2)若，，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【考点10 整式加减的应用】 1．（23-24七年级上·陕西安康·期末）从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一个长方形中，则图1与图2中的阴影部分周长的差为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 4．（24-25七年级上·广东茂名·期中）阅读理解： 已知；若A的值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A的值与字母x的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母m的取值无关，求x的值； 知识拓展： （2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共20件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1050元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为60%．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这20件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 【考点11 图形类规律的探究】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）观察下列“蜂窝图”，第1个图案中有4个“  ”， 第2个图案中有7个“  ”，第3个图案中有个“”，第4个图案中有个“”，…，按照这样的方法排列下去，第个图案中有 个“”． 2．（24-25七年级上·山东济南·期中）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用彩色纸片覆盖圆面积的，，，……请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时， ． 3．（24-25七年级上·上海·期中）小明利用便利贴拼成一棵圣诞树图案，圣诞树图案共有10层，每一层由三行便利贴拼成，前3层如图所示．若同一层中每一行都比前一行多2张，且每一层第一行都比前一层第一行多2张，则此圣诞树图案需要便利贴 张． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律组成的． (1)观察图形，填写下表： 图形序号 ① ② ③ 正方形的个数 9 图形的周长 16 (2)推测第n个图形中，正方形的个数为_______，周长为_______；（都用含n的代数式表示） (3)写出第2020个图形的周长． 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）下列结论中正确的是（ ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的系数是，次数是 C．单项式的次数是，没有系数 D．多项式是三次三项式 2．（24-25六年级上·山东淄博·期中）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25七年级上·吉林·期中）已知，则的值是（   ） A．14 B． C．1 D．2 4．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为256；那么第2025次输出结果为（   ） A．64 B．16 C．4 D．1 5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）观察下列单项式：，，，，，，，则第个单项式为（  ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期中）某校开展了丰富多彩的社团活动，每位学生可以选择自己最感兴趣的一个社团参加．已知参加体育类社团的有m人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，则参加三类社团的总人数为（   ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）如图，在年月的日历表中用优美的“”形框住五个数，框出2，8，，，五个数，它们的和为，移动“”的位置又框出五个数，则框出五个数的和不可能是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）有前后依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B求和后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，……，依次进行“作差、求和”的交替操作得到新的整式．下列说法： ①当时，； ②整式与整式结果相同； ③当时，； ④．其中，正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．（24-25七年级上·山东·期末）已知，，且，求的值 ． 10．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）若，则的值为 . 11．（24-25七年级上·山西·期中）定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于，的多项式是“齐次二项式”，在数轴上表示的点在表示的点的右侧距离5个单位长度处，则 ． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）有下列说法： ①若单项式与是同类项，则． ②已知是不为0的有理数且，，则的值为或． ③已知有理数满足，且，则的值为． ④若，，则化简的结果为． 其中正确的说法有 ．（请填写序号） 三、解答题 13．（24-25七年级上·湖北荆门·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 14．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 15．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知，均为有理数，现定义一种新运算“*”，满足：． (1)求的值． (2)化简，并求出当，时整式的值． 16．（24-25七年级上·广东中山·期中）如图，三个圆柱形容器内部的底面积分别为，，，分别往这三个容器中注入的水， (1)三个容器中水的高度分别是多少厘米? (2)分别用x（单位：）和y（单位：）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么关系？ 17．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）2024年东港市某中学计划添置100张课桌和x把椅子，现经调查发现，某家具厂的每张课桌定价170元，每把椅子定价70元，而厂方在开展促销活动期间，向客户提供了两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的付款． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，通过计算说明该中学选择哪种购买方案更省钱？ 18．（24-25七年级上·河南周口·期中）为弘扬优秀传统文化，传承国学经典，某学校书法社团准备购买一批毛笔和字帖．已知毛笔每支定价30元，字帖每本定价4元，文具专卖店向书法社团提供以下两种优惠方案： 方案A：毛笔和字帖都按定价的九折付款． 方案B：买一支毛笔送一本字帖． 书法社团计划购买毛笔40支，字帖本． (1)书法社团按方案A购买，需付款______元；按方案B购买，需付款______元（用含x的代数式表示） (2)当时，试通过计算说明此时按哪种方案购买较划算． (3)若A，B两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 19．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）； ①；②；③；④；⑤ (2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； (3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 20．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）小颖同学在学习整式的加减时用到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中，和的值不能单独求出来，于是聪明的小颖同学想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，则的值为 ； 【联系推广】 （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 整式及其加减 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：代数式 1.代数式的概念：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式． 注意（1）单个数字与字母也是代数式； （2）代数式与公式、等式的区别是代数式中不含等号，而公式和等式中都含有等号； （3）代数式可按运算关系和运算结果两种情况理解． 2.代数式的书写规则 1．代数式中出现的乘号通常用“”表示或者省略不写； 数与字母相乘时，数应写在字母前面； 数与数相乘时，仍用“”号； 2．带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘； 3．在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写； 4．在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面； 如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面． 3.列代数式 （1）列代数式概念：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中的数量表示出来就是列代数式． （2）正确列出代数式，要掌握以下几点： ①列代数式的关键是理解和找出问题中的数量关系； ②要掌握一些常见的数量关系如行程问题、工程问题、浓度问题、数字问题等； ③要善于抓住问题中的关键词语，如和、差、积、商、大、小、几倍、平方、多、少等． 知识点2：代数式的求值 1.代数式求值方法 一般地，用数值代替代数式中的字母，按照代数式中指明的运算计算的结果叫做代数式求值． 代数式求值的三种方法：1.直接代入求值；2.化简代入求值；3.整体代入求值． 2.代数式求值方法常见考法 列代数式与代数式求值是中考的必考知识点，它涉及的知识范围广，可与实际问题（如乘车，购物、储蓄、税收等）相结合，特别的探索规律列代数式这类考题为中考命题者提供了广泛的空间，是近几年的热点，这类题通常是从一列数、一个数阵、一个等式、一组图形中，观察出规律，并尝试归纳出代数式或公式，再加以验证． 注意（1）列代数式时，由于审题不清，对条件理解不透，很容易搞错运算顺序而列错代数式； （2）求代数式的值，将代数式中字母用相应的数值后，代数式就变成了实数的混合运算．如果没有对实数运算掌握好，就会出现运算顺序搞错的现象； （3）在进行规律探索中，由于在审题中没有抓住问题的性质，常常得出不能完全反映全部规律的错误规律，出现以点概面，以偏概全的现象． 知识点 3 ：整式 1．单项式的概念：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 注意（1）单项式包括三种类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；②单独的一个数；③单独的一个字母． （2）单项式中不能含有加减运算，但可以含有除法运算．如：可以写成．但若分母中含有字母，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积． 2．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 注意（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数．单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成． 3．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数． 注意单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算． 4．多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式． 注意“几个”是指两个或两个以上． 5．多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 注意（1）多项式的每一项包括它前面的符号． （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式． 6．多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 注意（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． 7.单项式与多项式统称为整式． 注意（1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示． 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式． 知识点 4：整式的加减 1.同类项：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式．单独的一个数或字母也是代数式． 注意（1）判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． （2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． （3）一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 2.合并同类项 （1）概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． （2）法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 注意合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： ①不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏，在每步运算中都含有． ②合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算． 3.去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 注意（1）去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． （3）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 4.添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 注意（1）添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． （2）去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 5.整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 注意（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． （3）整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 题型归纳 【考点01 列代数式】 1．（24-25七年级上·广东中山·期中）如图，一个零件的横截面是由长方形、正方形、三角形及圆组成的图形（长度单位：）． (1)用式子表示图中阴影部分的面积； (2)当时，求阴影部分面积的值．（，结果保留整数） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ， 答：阴影部分的面积为：， （2）解：当时， 原式 答：零件的横截面积约为． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）李老师买了一套经济适用房，建筑平面图如图：（单位：米） (1)用含有，的代数式表示地面面积（写出必要的过程，结果保留最简形式）； (2)李老师想把所有房间的地面都铺上地砖，已知每平方米地砖费用元，求，时，铺地砖的总费用是多少元？ 【答案】(1)平方米 (2)元 【解析】（1）解：地面面积为： 平方米； （2）当，时， 平方米， 元， 答：铺地砖的总费用是元． 3．（24-25七年级上·江西吉安·期中）某校餐厅计划购买12张餐桌和若干把餐椅，先从甲、乙两个商场了解到：同一型号的餐桌报价每张均为200元，餐椅报价每把均为60元，甲商场规定：购买一张餐桌赠送一张餐椅；乙商场规定：所有餐桌、餐椅均按报价的八折销售． (1)若学校计划购买把餐椅，则到甲商场购买所需的费用为_______；到乙商场购买所需的费用为_______； (2)若学校计划只在一家商场购进12张餐桌和30把餐椅，请通过计算说明，到哪个商场购买合算？ 【答案】(1)元；元； (2)到乙商场购买划算． 【解析】（1）解：则到甲商场购买所需的费用为：元； 到乙商场购买所需的费用为：元； 故答案为：元；元； （2）到甲商场购买所需的费用为：元， 到乙商场购买所需的费用为：元， 元元， 答：到乙商场购买划算． 24．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，，点F为线段上的一点，且，点E从点B出发，沿射线的方向以每秒2个单位长度的速度运动，以为边向上作正方形．设点E的运动时间为t秒，正方形与长方形的重叠面积为S（，）． (1)直接用含有t的代数式表示的长． (2)当正方形与长方形重叠图形为正方形时，求t的取值范围． (3)当正方形与长方形的重叠图形为长方形（除正方形外）时，求出S与t的关系式． 【答案】(1)； (2)当或时，正方形与长方形重叠图形为正方形； (3) 【解析】（1）解：由题意得，， 当点在点左边，即时，； 当点在点右边，即时，； 综上，； （2）解：，， 当点在点左边，即时， 由题意得， 解得； 当点在点左边，即时， ∴当或时，正方形与长方形重叠图形为正方形； （3）解：当时，如图， ； 当时，如图， ； 当时，如图， ； 综上，． 【考点02 代数式的概念与书写规则】 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥0，是代数式的为（   ） A．①③④⑤ B．①③④⑥ C．①④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】C 【解析】由题意可知， ①为代数式，符合题意； ②为等式不是代数式，不符合题意； ③为等式不是代数式，不符合题意； ④为代数式，符合题意； ⑤为代数式，符合题意； ⑥为代数式，符合题意； 符合代数式定义的有①④⑤⑥， 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）下列各式中，是代数式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A. 是代数式，故该选项正确，符合题意；     B. ，不是代数式，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，不是代数式，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，不是代数式，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）甲、乙同学关于“代数式”的意义叙述，判断正确的是（   ） 甲：的倍与的和； 乙：苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费 A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲、乙的都正确 D．甲、乙的都不正确 【答案】B 【解析】解：的倍与的和是，所以甲同学叙述错误； 苹果每千克元，香蕉每千克元，苹果和香蕉各买千克的总花费为元，所以乙同学叙述正确； 故选：． 4．（24-25七年级上·吉林·期中）下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有 ．（填写序号即可） 【答案】③ 【解析】解：应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 书写规范符合题意， 应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 千克应写成千克，不符合题意， 故答案为：③． 【考点03 代数式的求值】 1．（24-25七年级上·江西吉安·期中）若有理数，满足，，且，则的值为 ． 【答案】15或9 【解析】解：由，得； 由，得； ∵， ∴， ，或，． 当，时， ； 当，时， 当， ∴的值为15或9． 故答案为：15或9． 2．（24-25七年级上·广东中山·期中）已知当时，代数式的值是5，则当时，该代数式的值是 ． 【答案】 【解析】将代入，得：， 将代入，得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·四川广元·期中）定义一种新运算“※”，对于任意的两个有理数a、b，．问：若与互为倒数，与5互为相反数，的值为 ． 【答案】 【解析】解：与互为倒数，与5互为相反数， ，， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·广东佛山·期中）数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要． 例如：已知：，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若，则 ； (2)当，求的值． (3)当时，代数式，当时，代数式的值是多少？ 【答案】(1)1 (2) (3) 【解析】（1）解：∵， ， 故答案为：1． （2）解：， ， ． （3）解：∵当时，代数式， ， ， 当时， ． 【考点04 单项式的概念】 1．（24-25七年级上·陕西西安·期中）下列代数式中，不是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、是单项式； B、是单项式； C、不是单项式； D、是单项式． 故选：C． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列代数式中中，单项式共有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【解析】解：在中单项式有： b，，，，共4个． 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）单项式的系数是 ． 【答案】 【解析】解：单项式的系数是：．故答案为：． 4．（24-25七年级上·四川巴中·期中）单项式系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 【解析】解：单项式系数是，次数是．故答案为：，4． 【考点05 多项式的概念】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列式子，，，中，多项式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】解：是单项式； ，是多项式； 的分母含字母，既不是单项式，也不是多项式． 故选B． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）李老师在黑板上写了一个代数式，三位同学分别作了以下描述． 小明：这个代数式是一个四次三项式； 小红：这个代数式的最高次项系数为； 小华：这个代数式的常数项是5． 如果上面的同学描述都是正确的，那么李老师写出的代数式有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是5，故不符合题意； B、是一个五次三项式，故不符合题意； C、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是，故不符合题意； D、是一个四次三项式，高次项系数为，常数项是，故符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·福建泉州·期中）若多项式是关于的五次三项式，则的值为 ． 【答案】 【解析】解：多项式是关于的五次三项式， ，， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·四川巴中·期中）已知多项式是关于x，y的六次三项式，且单项式的次数与该多项式的次数相同． (1)求m，n的值 (2)当，时，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：根据题意得：，， ∴； （2）解：由（1）知， ∴原多项式为：， 当，时， 原式 ． 【考点06 同类项的判断】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）下列整式中，不是同类项的是（    ） A．与 B．1与 C．和 D．与 【答案】D 【解析】解：A．与，所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项，故选项不符合题意； B．1与是同类项，故选项不符合题意； C．和，所含字母相同，但相同字母的指数也相同，是同类项，故选项不符合题意； D．与，所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，故选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）下列判断中，正确的是（   ） A．与不是同类项 B．是整式 C．单项式的系数是，次数是4 D．是二次三项式 【答案】B 【解析】解：A．与是同类项，故本选项错误，不符合题意； B．是整式，故本选项正确，符合题意； C．单项式的系数是，次数是4，故本选项错误，不符合题意； D．是三次三项式，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级上·山西朔州·期中）写出一个与是同类项的单项式，这个单项式可以是 ． 【答案】 【解析】解：写出单项式的一个同类项：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级上·四川宜宾·期中）单项式与是同类项，则 ． 【答案】 【解析】解：∵单项式与是同类项， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【考点07合并同类项】 1．（24-25七年级上·广东深圳·期中）若单项式与的和仍是单项式，则 ． 【答案】 【解析】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·天津·期中）若单项式与可以进行合并，则 ． 【答案】 【解析】解：∵单项式与可以进行合并， ∴与是同类项， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（23-24七年级上·广东广州·期末）已知， (1)化简； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： （2）将代入可得： 故． 【考点08 去括号与添括号】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）下列去括号或添括号的变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，正确；     D． ，故不正确； 故选C． 2．（23-24七年级上·河北保定·期末）下列式子中去括号错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A．，正确，故此选项不合题意； B．，正确，故此选项不合题意； C．，原计算错误，故此选项符合题意； D．，正确，故此选项不合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】2 【解析】解：∵， ∴ ， ． 故答案为：2． 4．（24-25七年级上·重庆潼南·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： ； （2）解： ． 【考点09 整式加减运算】 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）图1是我国古代传说中的“洛书”，图2是洛书的数字表示相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3中：若，，，整式F是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，，， 幻和为：， 中心数， ，， ， ，， ， 故选：B 2．（24-25七年级上·江西吉安·期中）定义一种新运算“”：，比如：． (1)求的值； (2)若，，计算． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）解：． （2）解：， ， ， ∴． 3．（24-25七年级上·江西赣州·期中）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是，其中． (1)求多项式的表达式； (2)请你帮助这名同学求出正确的结果． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：因为， 所以 ； （2）解： ． 4．（24-25七年级上·福建三明·期中）已知，． (1)求； (2)若，，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解析】（1）解： . （2）解： 当，时， 原式 （3）解： 因为的值与y的取值无关， 所以， 所以． 【考点10 整式加减的应用】 1．（23-24七年级上·陕西安康·期末）从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意，得：这个长方形的面积为 ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图1、图2两种不同方式放置于同一个长方形中，则图1与图2中的阴影部分周长的差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设图1中阴影部分周长为，图2中阴影部分周长为， 由图1知，大长方形的长为， 由图2知，大长方形的宽为， 长方形的周长为， ， ， ． 故选：B 3．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）对于两个有理数a，b的大小比较，有下面的方法： 若，则；若，则；若，则；我们把这种比较两个数大小的方法叫做“作差法”． (1)分别求出图1中长方形A的周长和图2中长方形B的周长； (2)若，请用“作差法”比较，的大小； (3)若，，直接写出图1与图2中长方形的周长之和______． 【答案】(1)，， (2) (3)60 【解析】（1）解：依题意，长方形A的周长， 长方形B的周长， （2）解：由（1）得，， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴图1与图2中长方形的周长之和为60． 故答案为：60． 4．（24-25七年级上·广东茂名·期中）阅读理解： 已知；若A的值与字母x的取值无关，则，解得． ∴当时，A的值与字母x的取值无关． 知识应用： （1）已知，．若的值与字母m的取值无关，求x的值； 知识拓展： （2）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共20件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1050元；乙种羽绒服每件进价500元，销售利润率为60%．购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金a元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服x件，当销售完这20件羽绒服的利润与x的取值无关时，求a的值． 【答案】（1）；（2）50 【解析】解：（1）∵，， ∴ ， 又∵的值与字母m的取值无关， ∴， ∴； （2）如果购进甲种羽绒服x件，那么购进乙种羽绒服件，当购进的20件羽绒服全部售出后，所获利润为： 元； 若当销售完这20件羽绒服的利润与的取值无关时，则， 解得：， 答：a的值是50． 【考点11 图形类规律的探究】 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）观察下列“蜂窝图”，第1个图案中有4个“  ”， 第2个图案中有7个“  ”，第3个图案中有个“”，第4个图案中有个“”，…，按照这样的方法排列下去，第个图案中有 个“”． 【答案】 【解析】第1个图案中有个“”， 第2个图案中有个“”， 第3个图案中有个“”， 第4个图案中有个“”， 第个图案中有个“ ”， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·山东济南·期中）王老师为调动学生参加班级活动的积极性，给每位学生设计了一个如图所示的面积为1的圆形纸片，若在活动中表现优胜者，可依次用彩色纸片覆盖圆面积的，，，……请你根据数形结合的思想，依据图形的变化，推断当n为整数时， ． 【答案】 【解析】解：由题意和图可知：剩余的空白的面积为，的和可以看作用彩色纸片覆盖的面积等于圆的总面积减去剩余的空白的面积， ∴； 故答案为：． 3．（24-25七年级上·上海·期中）小明利用便利贴拼成一棵圣诞树图案，圣诞树图案共有10层，每一层由三行便利贴拼成，前3层如图所示．若同一层中每一行都比前一行多2张，且每一层第一行都比前一层第一行多2张，则此圣诞树图案需要便利贴 张． 【答案】360 【解析】解：根据题意可得，第一层有便利贴：（张）， 第二层有便利贴：（张）， 第三层有便利贴：（张）， …… 第n（n为正整数）层有便利贴：（张）， ∵ ∴当时，（张）， ∴此宝塔形图案是由张便利贴拼成的． 故答案为：360． 4．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律组成的． (1)观察图形，填写下表： 图形序号 ① ② ③ 正方形的个数 9 图形的周长 16 (2)推测第n个图形中，正方形的个数为_______，周长为_______；（都用含n的代数式表示） (3)写出第2020个图形的周长． 【答案】(1)从上到下、从左往右依次填：14；22；19；28 (2) (3) 【解析】（1）解：第①个图形中正方形的个数为：（个）； 第②个图形中正方形的个数为：（个）； 第③个图形中正方形的个数为：（个）； 第①个图形的周长为：； 第②个图形的周长为：； 第③个图形的周长为：； 故答案为：14，19；22，28． （2）解：根据前面的规律，得第n个图形中，正方形的个数为：； 周长为， 故答案为：． （3）解：时， ， 故第2020个图形的周长为12130． 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）下列结论中正确的是（ ） A．单项式的系数是，次数是 B．单项式的系数是，次数是 C．单项式的次数是，没有系数 D．多项式是三次三项式 【答案】D 【解析】解：、单项式的系数是，次数是，该选项结论错误，不合题意； 、单项式的系数是，次数是，该选项结论错误，不合题意； 、单项式的次数是，系数是，该选项结论错误，不合题意； 、多项式是三次三项式，该选项结论正确，符合题意； 故选：． 2．（24-25六年级上·山东淄博·期中）三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，的形式，也可以表示为0，，的形式，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】解：由题意可知，这两组数分别对应相等， 当，则， 那么，，， ； 当， 若与三个互不相等的有理数矛盾， 若，则不成立， 当，则与三个互不相等的有理数矛盾， 故选：D． 3．（24-25七年级上·吉林·期中）已知，则的值是（   ） A．14 B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】解：， ， 原式， 故选D． 4．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期中）如图是一个运算程序的示意图，如果第一次输入x的值为256；那么第2025次输出结果为（   ） A．64 B．16 C．4 D．1 【答案】C 【解析】解：由题意知，第1次输入x的值为256时， 第1次输出的结果为：， 第2次输出的结果为：， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， 第7次输出的结果为：， 第8次输出的结果为：， …… 以此类推可知，从第3次输出结果开始，奇数次输出结果为4，偶数次输出结果为1， 因此第2025次输出的结果为4． 故选C． 5．（23-24七年级上·福建泉州·期中）观察下列单项式：，，，，，，，则第个单项式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：观察可知，第个单项式为；故选D． 6．（24-25七年级上·福建厦门·期中）某校开展了丰富多彩的社团活动，每位学生可以选择自己最感兴趣的一个社团参加．已知参加体育类社团的有m人，参加文艺类社团的人数比参加体育类社团的人数多6人，参加科技类社团的人数比参加文艺类社团人数的多2人，则参加三类社团的总人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意知，参加体育类社团的有人，参加文艺类社团的人数为人，参加科技类社团的人数为人， ∴参加三类社团的总人数为人， 故选：D． 7．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）如图，在年月的日历表中用优美的“”形框住五个数，框出2，8，，，五个数，它们的和为，移动“”的位置又框出五个数，则框出五个数的和不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：设从小到大框出的最小的数为，则依次从小到大为，，，，， ∴框出五个数的和为， 令， 解得，， ∴A不符合要求； 令， 解得，， ∴B不符合要求； 令， 解得，， ∵是最后一列数，则为第8列数，不满足日历， ∴C符合要求； 令， 解得，， ∴D不符合要求； 故选：C． 8．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）有前后依次排列的两个整式，，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为，用整式与前一个整式B求和后得到新的整式，用整式与前一个整式作差后得到新的整式，……，依次进行“作差、求和”的交替操作得到新的整式．下列说法： ①当时，； ②整式与整式结果相同； ③当时，； ④．其中，正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意依次计算可得： 当时，，故①错误； 整式与结果相同，故②正确； 当时， ∴，故③正确； ，， ， ，故④正确． 故选：C． 二、填空题 9．（24-25七年级上·山东·期末）已知，，且，求的值 ． 【答案】或0 【解析】解∶， 或．或， 解得或．或． ， ，或， ， 或． 综上所述，的值为或0． 故答案为∶或0． 10．（24-25七年级上·陕西宝鸡·期中）若，则的值为 . 【答案】 【解析】解：， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·山西·期中）定义：若一个多项式有两项且两项的次数相同，则这样的多项式就叫做“齐次二项式”．若关于，的多项式是“齐次二项式”，在数轴上表示的点在表示的点的右侧距离5个单位长度处，则 ． 【答案】8 【解析】解：∵多项式是“齐次二项式”， ∴， 解得：， ∵表示的点在表示的点的右侧距离5个单位长度处， ∴， ∴， 故答案为：8． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）有下列说法： ①若单项式与是同类项，则． ②已知是不为0的有理数且，，则的值为或． ③已知有理数满足，且，则的值为． ④若，，则化简的结果为． 其中正确的说法有 ．（请填写序号） 【答案】①②④ 【解析】解：①∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∴，故①正确； ②∵，， ∴b，c同号， （i）当，时，原式； （ii）当，时，原式； 综上所述，的值为或，故②正确； ③∵， ∴，， 当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 的值为或，故③错误； ④∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ ，故④正确， 综上所述，其中正确的说法有①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题 13．（24-25七年级上·湖北荆门·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，2 【解析】（1）解： ； 当时，原式； （2）解： ； 当时，原式． 14．（24-25七年级上·重庆·期中）已知，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2或 (2)或35 【解析】（1）解：∵，， ，． ， ，异号， ，或，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是2或； （2）解：∵， ， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是或35． 15．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）已知，均为有理数，现定义一种新运算“*”，满足：． (1)求的值． (2)化简，并求出当，时整式的值． 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）解： ； （2）解： ； 将，代入得： 原式． 16．（24-25七年级上·广东中山·期中）如图，三个圆柱形容器内部的底面积分别为，，，分别往这三个容器中注入的水， (1)三个容器中水的高度分别是多少厘米? (2)分别用x（单位：）和y（单位：）表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示y与x的关系，y与x成什么关系？ 【答案】(1)四个容器中水的高度分别为，， (2)，即y与x成反比例关系 【解析】（1）∵，，， ∴四个容器中水的高度分别为，，； （2）由题意知，， ∴，即y与x成反比例关系． 17．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）2024年东港市某中学计划添置100张课桌和x把椅子，现经调查发现，某家具厂的每张课桌定价170元，每把椅子定价70元，而厂方在开展促销活动期间，向客户提供了两种优惠方案： 方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子； 方案二：课桌和椅子都按定价的付款． (1)用含x的代数式分别表示方案一与方案二各需付款多少元？ (2)当时，通过计算说明该中学选择哪种购买方案更省钱？ 【答案】(1)方案一付款元 方案二付款元 (2)方案二 【解析】（1）解：方案一：元， 方案二：元， 故答案为：方案一：元；方案二：元， （2）解：当时， 方案一：元， 方案二：元， ∵， ∴该中学选择方案二更省钱． 18．（24-25七年级上·河南周口·期中）为弘扬优秀传统文化，传承国学经典，某学校书法社团准备购买一批毛笔和字帖．已知毛笔每支定价30元，字帖每本定价4元，文具专卖店向书法社团提供以下两种优惠方案： 方案A：毛笔和字帖都按定价的九折付款． 方案B：买一支毛笔送一本字帖． 书法社团计划购买毛笔40支，字帖本． (1)书法社团按方案A购买，需付款______元；按方案B购买，需付款______元（用含x的代数式表示） (2)当时，试通过计算说明此时按哪种方案购买较划算． (3)若A，B两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】(1)； (2)方案B (3)1380元 案即可． 【解析】（1）解：书法社团按方案A购买，需付款， 按方案B购买，需付款， 故答案为：；． （2）当时，方案A： （元）． 方案B： （元）．因为， 所以按方案B购买较划算． （3）最省钱的购买方案：先按方案B购买40支毛笔送40本字帖，再按方案A购买50本字帖． 需付款： （元）． 19．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）； ①；②；③；④；⑤ (2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； (3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 【答案】(1)①④ (2)（答案不唯一） (3)，是对称式 【解析】（1）解：根据对称式的定义可知：、是对称式，、、不是对称式． 故答案为：①④． （2）解：∵只含有字母m，n，单项式是对称式，且次数为8， ∴单项式可以是：（答案不唯一）． （3）解：∵， ∴ ， ． 由根据对称式的定义可知，是对称式， ∴是对称式． 20．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）小颖同学在学习整式的加减时用到这样一道题：“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”这个问题中，和的值不能单独求出来，于是聪明的小颖同学想到了把作为一个整体求解，得到如下的解题过程： 原式． 整体思想是中学数学解题的一种重要思想方法，请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： 【简单应用】 （1）已知，则的值为 ； 【联系推广】 （2）已知，求的值； 【拓展提高】 （3）已知，，求的值． 【答案】（1）2026（2）（3） 【解析】解：（1）， ， 故答案为：2026； （2）， ； （3），， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$