专题01 有理数-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（沪科版2024）

专题01 有理数 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：有理数的概念与性质 1.有理数的概念：能够化成分数形式的数称为有理数，不能化成分数的形式的数称为无理数。 （1）非负数：指正数和0；非正数：指负数和0； 2.有理数的分类 （1）按定义分： （2）按性质分： 3.带“非”字的有理数 （1）非负数：指正数和0；非正数：指负数和0； （3）非负整数：是指正整数和0；非正整数：是指负整数和0. 4.数轴 （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度； （2）数轴上的点表示有理数： ①有理数都可以在数轴上进行表示，数轴上的点并不都是有理数； ②用数轴表示有理数时，先在数轴上用实心点标出来，再在数轴的上方表示出有理数； ③表示有理数时，对含有多重符号或绝对值的有理数不要化简； ④同时表示多个有理数时，不要遗漏，同时要求排序的，不要忘记从小到大或从大到小进行排序。 （3）数轴上表示两点之间的距离：用右边点表示的有理数减去左边点表示的有理数。 （4）数轴上表示动点对应的数：先找到动点的起始点对应的有理数，在计算出动点运动的路程，如果动点向右运动，则用起始点对应的有理数加上动点运动的路程；如果动点向左运动，则用起始点对应的有理数减去动点运动的路程。 （5）数轴上a和b两点中点对应的数可表示为。 5.相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数。注意：与互为相反数，与互为相反数。 （2）相反数的性质：互为相反数的两个数和为0，不为0的两个相反数相除的结果为（-1）. （3）多重符号的化简：多重符号的化简要看负号的个数，如果绝对值的前面有偶数个负号，则化简的结果为正；如果绝对值的前面有奇数个负号，则化简的结果为负，即偶正奇负。 6.绝对值 （1）绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，称为a的绝对值，记为。 （2）绝对值的代数意义：正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对等于它的相反数。 （3）绝对值的非负性：任何一个数的绝对值都大于等于0，即。 （4）两点间的距离：数轴上表示数a的点为A，表示数b的点为B，则A与B之间的距离可表示为。 （5），当时，；当时，； 知识点 2 ：有理数的运算 1.有理数的加减法 （1）有理数的加法：同号两数相加，取与加数相同的符号作为和的符号，再把他们的绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。即：若；若；若； 若。 （2）有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即； （3）有理数加法运算律：（交换律）；（结合律） 2.有理数的乘除法 （1）有理数的乘法：同号得正，异号得负，再把它们的绝对值相乘，即若； 若；若；若。 （2）倒数：乘积为1的两个数互为倒数，即若，则与互为倒数；倒数的求解：将一个数的分子和分母颠倒即可，即的倒数为。 （3）有理数的除法：同号得正，异号得负，再把它们的绝对值相除，或者除以一个数等于乘以这个数的倒数，即。 （4）有理数乘法的运算律：（交换律）；（结合律）；（分配律）。 3.有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：；其中叫作底数，叫作指数。 （2）底数为负数或分数时，底数要加括号。例如表示个相乘，表示个2相乘的相反数。 （3）正数的次方为正，负数的偶次方为正，负数的奇数次方为负；的偶次方为1，的奇数次方为。即，。 4.科学记数法 （1）把一个较大的数写成的形式，其中。 （2）的确定方法： ①整数数位减1； ②小数点移动法，即将小数点向左移动到第一个不是0的数后面，小数点移动几位，就等于几。 5.有理数的混合运算 在有乘方运算的有理数混合运算中，先对乘方进行运算，再对乘除法进行运算，最后计算加减法，有括号的，先算括号里的。 题型归纳 【考点01 相反意义的量】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升50米，记作米，则水位下降30米，记作 米． 【答案】 【解析】解：若水位上升50米，记作米，则水位下降30米，记作米， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向东运动，那么表示 ． 【答案】这个物体向西运动 【解析】解：∵表示一个物体向东运动， ∴表示一个物体向西运动； 故答案为：这个物体向西运动． 3．（24-25七年级上·广东茂名·期中）某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为 L． 【答案】 【解析】解：节约的水记为， 浪费的水记为， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·山东济南·期末）大自然的鬼斧神工孕育了我国恢宏壮阔的地形，珠穆朗玛峰在海平面上，记为，吐鲁番盆地在海平面下155米，记为 ． 【答案】 【解析】珠穆朗玛峰在海平面上，记为，吐鲁番盆地在海平面下155米，记为 故答案为：． 【考点02有理数的分类】 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列各数既是分数又是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：既是分数又是负数 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）在，2，，0，0.0123中，非负数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：在，2，，0，0.0123中，非负数有2，0，0.0123共3个； 故选C． 3．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．是自然数也是正数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【解析】解：A、3.14是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、0不带“”号，但不是正数，故B不符合题意； C、0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故C不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级上·广东佛山·期中）将下列各数填入相应的集合内：，0，，4，，，． (1)分数集合：{__________________…}； (2)整数集合：{__________________…}； (3)非负数集合：{__________________…}． 【答案】(1)3.5，，， (2)，0，4 (3)0，3.5，4，， 【解析】（1）解：分数集合：{3.5，，，}； （2）解：整数集合：{，0，4}； （3）解：非负数集合：{0，3.5，4，，}． 【考点03数轴的三要素及其画法】 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列各图中所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、没有单位长度，故该选项不符合题意； B、没有正方向，故该选项不符合题意； C、数轴的左侧负数顺序错误，故该选项不符合题意； D、满足数轴的三要素，故该选项符合题意； 故选：D 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、单位长度不相等，故表示错误； B、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误； C、没有原点，故表示错误； D、符合数轴的定定义，故表示正确； 故选D． 3．（21-22七年级上·河北保定·期末）如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】解：A、单位长度不均匀，故错误；B、正确；C、数据顺序不对，故错误；D、没有正方向，故错误．故选：B． 4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【解析】解：数轴三要素：原点，正方向，单位长度，①错误． 每个有理数都能用数轴上一个点表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一个点，②④正确． 不是有理数，且可以在数轴上表示出来，③错误． 故选：B． 【考点04用数轴上表示有理数】 1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）若，则数a在数轴上对应的点的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， 只有D选项符合， 故选：D． 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，数轴上点表示的数为 ． 【答案】 【解析】解：数轴上点表示的数为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广西贵港·期中）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是 ． 【答案】13 【解析】解：根据数轴可知，被墨迹盖住的整数有，，，，，，，，，0，1，2，3，一共13个，故答案为：13． 4．（24-25七年级上·广西南宁·期中）点A、点B在数轴上分别表示，点A，点B（含A、B两点）之间有 个整数． 【答案】5 【解析】解：点，点在数轴上分别表示， 则点，点之间有，，0，1，2共5个整数， 故答案为：5． 【考点05利用数轴比较有理数的大小】 1．（24-25七年级上·四川广安·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由数轴得， ∴， ∴， 故选：C 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：由数轴得 ∴，，， 故选：A 3．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）数，，在数轴上的位置如图所示，其中b，c到原点的距离相等，请你写出一个你认为正确的结论 ．（可以用语言描述，也可以用式子表示） 【答案】（答案不唯一） 【解析】解：由图可知：， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级上·广东茂名·期中）在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来． ， ， ， ， 0． 【答案】见解析， 【解析】解：， 如图： ． 大小关系如下：． 【考点06相反数的定义】 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，故选：B． 2．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如果和互为相反数，那么表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：和互为相反数， ， 故选：A． 3．（24-25七年级上·广西柳州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．和 C．与 D．和 【答案】C 【解析】A. ，不是互为相反数，故不符合题意； B. 和，不是互为相反数，故不符合题意； C. 与，是互为相反数，故符合题意； D. 和，不是互为相反数，故不符合题意； 故选C． 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若m、n为相反数，且满足，则m的值为 ． 【答案】3 【解析】解：、为相反数， 则， ， ∴ 解得， 故答案为：3． 【考点07绝对值的意义】 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）绝对值不大于的整数有 个． 【答案】 【解析】解：绝对值不大于的整数有，，，，，，， 共有个， 故答案为：． 2．（24-25七年级上·河南安阳·期中）如果，那么 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴． 故答案为： 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】解：， 之间距离小于3， ， 原点可以是N或P． 当原点在 M 时，，当原点在R时，，此时都不符合题意， 故原点只能是N或P． 故选：C． 4．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【解析】（1）解：当点在线段上时，有最小值，最小值是， 故答案为：； （2）①表示到和的距离之和，当在和之间时，有最小值， 的最小值为， 故答案为：； ②代数式的最小值是， ， 解得：或； （3）如图所示，、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为， 由题意得：当在线段上时，、到的距离之和最小，当在线段上时，、到的距离之和最小， 当在线段上时，、、、到的距离之和最小， 、、、到的最小距离之和为： 当在线段上时，、、、到的距离之和最小，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为． 【考点08有理数的加法运算】 1．（23-24七年级上·天津·期末）计算的结果是（   ） A． B． C．5 D．1 【答案】A 【解析】解：，故选：A． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）点A在数轴上表示，B点距离A点2个单位长度，则B点所表示的数为（　　） A． B．3 C．1 D．1或 【答案】D 【解析】解：①当点在点的左边时，， ②当点在点的右边时，， 所以点所表示的数是或1． 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江·期中）一条数轴上有两点与，已知点到原点的距离为3个单位，点在点的右侧且到点的距离为5个单位，则点所表示的数可能是（   ） A．8 B．2 C．或2 D．8或2 【答案】D 【解析】∵点A到原点的距离是3个单位， ∴点A对应的数可能是3或． ∵点B在点A的右侧且到点A的距离为5个单位长度， ∴点B所表示的数为或． 故选：D． 4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在学习有理数的加法时，为了更加直观地展示加法的运算原理，可以用表示，表示．小明画出下图解释了一个式子，这个式子及其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：这个式子及其结果是，故选D． 【考点09有理数加法运算中的符号问题】 1．（24-25七年级上·海南海口·期中）把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原式 ． 故选：A． 2．（24-25七年级上·天津和平·期中）如图，数轴上的点A、分别对应实数、，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：由数轴可知，，， ， 、，， ，故本选项不符合题意； 、， ，故本选项不符合题意； 、， ，故本选项符合题意； 、， ，故本选项不符合题意； 故选：． 3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．由数轴图可知，故A选项错误，不符合题意； B．由数轴图可知，，故，故B选项正确，符合题意； C．由数轴图可知，故C选项错误，不符合题意； D．由B选项知，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 4．（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【解析】解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 【考点10有理数的减法运算】 1．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）如果a与b互为相反数，则下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵a、b互为相反数， ∴，，， 若，则，故错误的是选项B， 故选：B． 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字，由此推断当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是（   ） A．9 B．7 C． D． 【答案】C 【解析】解：北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字， 故数轴上的原点表示某地2024年10月25日上午0时， ∴当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是， 故选C． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）若x的相反数是2，，且，则的值是 【答案】 【解析】由题意得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 4．（24-25七年级上·青海西宁·期中）现规定一种新运算“”：，如，计算 ． 【答案】 【解析】解：根据题意，得， 故答案为：． 【考点11有理数的加减混合运算】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算． 【答案】 【解析】解：原式 ． 2．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）计算： 【答案】 【解析】解： ． 3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）计算：． 【答案】 【解析】解：原式 ． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）计算：． 【答案】． 【解析】解： ． 【考点12有理数的乘法运算】 1．（24-25七年级上·浙江·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由图可知：，， A、因为，，所以，故原说法正确，该选项不符合题意； B、因为，，所以，故原说法错误，该选项符合题意； C、因为，，所以，，所以，故原说法正确，该选项不符合题意； D、因为，，所以，，，所以，故原说法正确，该选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，满足，则下列各式：①；②；③；④ 若b比a小2，则，其中正确的个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】解：由图可知：，且 ∴，，，故①正确； ∴，；故②错误， ∵， ∴；故③正确； 若b比a小2，则：， ∴；故④正确； 故选B． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则a b（填“”“”“”号）． 【答案】 【解析】解：因为， ， 所以． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：，例：当，时，．若，，则的最大值为 ． 【答案】4 【解析】解：∵，， ∴或，或． 分类讨论：①当时，； ②当，时，； ③当，时，； ④当时，． 综上可知若，，则的最大值为4． 故答案为：4． 【考点13有理数的除法运算】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意得，，， ∴，，，， ∴四个选项中只有B选项正确，符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）若是最大的负整数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：是最大的负整数， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25七年级上·山东临沂·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论：①②，③，④一定成立的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：，根据数轴可知， 或 ∴①，正确； ② ，正确； ③ 当时，； 当时，，③错误； ④当时，；当，无意义， 当时，，④错误． 则正确的有2个， 故选：B． 4．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点，，三个点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点，，所对应的数的和是． (1)若表示的数是，则数轴上点所表示的数为：______； (2)若以为原点，求的值； (3)若表示的数是8，将数轴折叠，使点与点重合，求折痕点表示的数． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）解：若A表示的数是，则数轴上点B所表示的数为：； 故答案为：； （2）解：因为为原点，点到点的距离为3， 所以，数轴上点所表示的数为； 又因为，点到点的距离为8， 所以，数轴上点所表示的数为8， 所以，； （3）因为点表示的数是8， 所以，点表示的数是0，点表示的数是； 所以，当点与点重合时，折痕点表示的数为． 【考点14有理数的乘除混合运算】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【解析】解： ． 2．（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：． 【答案】 【解析】解： ． 3．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）计算：． 【答案】9 【解析】解：原式． 4．（22-23七年级上·吉林延边·期末）计算：； 【答案】 【解析】解： = = 【考点15有理数的乘方运算】 1．（24-25七年级上·广东茂名·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、∵， ∴A不正确； B、∵， ∴B不正确； C、∵， ∴C不正确； D、∵， ∴D正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 【答案】B 【解析】 ， ∴十进制数字70写为二进制数字1000110， ∴十进制数字70是二进制下的7位数， 故选：B． 4．（24-25七年级上·重庆·期中）对于有理数、，若满足，则式子 ． 【答案】 【解析】解：∵，，， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【考点16科学记数法】 1．（24-25七年级上·江西赣州·期中）每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常遥远，它距地球的距离约为千米，将千米用科学记数法表示为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【解析】解：将千米用科学记数法表示为千米． 故选：D． 2．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）月球与地球之间的距离约为千米，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 故选：B． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）黔灵山公园是贵阳著名的级景区，集自然风光、文物古迹、民俗风情和休闲娱乐为一体，面积约为平方米．可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：将一个数表示为，其中，为整数， 故， 故选C． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）2024年9月26日，全世界最大的城市公园骆岗公园开园一周年，累计接待游客1600万人次，将1600万用科学记数法表示应为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：1600万， 故选：A． 【考点17近似数】 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 【答案】B 【解析】解：A、非0有理数的倒数是，故原说法错误，不符合题意； B、若，则，正确，符合题意； C、几个不为0的数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正，故原说法错误，不符合题意； D、数a的近似数为，那么a的真实值的范围是，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是(   ) A．精确到 B．精确到百分位 C．精确到千分位 D．精确到 【答案】D 【解析】解：A、 精确到，故该选项正确，不符合题意；     B、 精确到百分位，故该选项正确，不符合题意； C、 精确到千分位，故该选项正确，不符合题意；     D、 精确到，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）近似数精确到 位． 【答案】十 【解析】解：近似数精确到十位， 故答案为：十． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）将精确到千位的近似数是（结果用科学记数法表示） ． 【答案】 【解析】解：， ， 故答案为：． 【考点18有理数的实际应用】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某食品厂生产袋装食品，每袋标准质量为，从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 袋数 3 1 2 1 2 1 (1)如果每袋的质量与标准质量的误差在以内，则为优等品，这10袋中，优等品共有多少袋？ (2)求抽样检测的10袋食品的总质量是多少? 【答案】(1)优等品共有4袋； (2)抽样检测的10袋食品的总质量是． 【解析】（1）解：（袋）， 答：优等品共有4袋； （2）解： ， 答：抽样检测的10袋食品的总质量是． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）某检修小组乘车沿一条东西向公路检修线路，约定向东行驶为正．某天从A地出发到收工时，行驶记录（单位：千米）为： ，，，，，，，，，． (1)求收工时，检修小组在A地哪一边？距离A地多远？ (2)若所乘车辆每千米耗油0.07升，问从A地出发到收工，共耗油多少升？ 【答案】(1)检修小组在A地的东边19千米处 (2)共耗油4.13升 【解析】（1）解：， 答：收工时，检修小组在A地的东边19千米处； （2）解：升， 答：共耗油4.13升． 3．（24-25七年级上·广东佛山·期中）某航空公司规定每名旅客随身携带的行李不能超过．李叔叔一家人携带的行李情况如下（正数表示行李超过限额，负数表示行李低于限额）： ，，，，． (1)李叔叔一家携带的行李总质量是多少？ (2)如果李叔叔一家想再多随身携带行李，那么总质量是否超过人携带行李限额之和？ 【答案】(1)千克 (2)总质量超过人携带行李限额之和 【解析】（1）解： ， 答：李叔叔一家携带的行李总质量是千克； （2）， ∵， 又∵， ∴总质量超过人携带行李限额之和． 答：总质量超过人携带行李限额之和． 4．（24-25七年级上·山西临汾·期中）某工艺厂计划每天生产工艺品100个，实际生产量与计划相比有出入．下表是该厂某星期的生产情况（超出计划生产量部分记为正、不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际生产 (1)该厂一周日产量最多的一天比最少的一天多多少个工艺品？ (2)本周实际产量达到计划量了吗？请通过计算说明． (3)若该厂实行每周按生产数量计算工资，每生产一个工艺品得40元，如果超额完成任务，则超过部分每个另外奖励20元，少生产一个则扣60元，那么该厂这一周应付工资总额多少元？ 【答案】(1)26个 (2)达到了，见解析 (3)28960元 【解析】（1）解：（个）， 答：该厂一周日产量最多的一天比最少的一天多26个工艺品； （2）解：（个）， ， 答：本周实际产量达到了计划量； （3）解： =28960（元）． 答：该厂这一周应付工资总额28960元． 【考点19绝对值的几何意义与动点问题】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 【答案】（1），；（2）点对应的数为，点对应的数为；（3）点到点之间的距离与的大小无关，为定值8． 【解析】解：（1）由题意可得： 点B对应的数为：， 又∵， ∴点A对应的数为：， 故答案为：，1； （2）由题意可得：， 又∵，， ∴， ∴点M对应的数为：，点N对应的数为：； （3）的长度与t无关，理由如下： ∵， ∴点Q对应的数为：， ∴， ∴点M到点Q之间的距离与t的大小无关，为定值8． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和；． (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 【答案】(1)①，；② (2)①；②或；③ 【解析】（1）解：①∵点A与点B的距离为， ∴； 点A与点C的距离为单位长度； ②， 即点A，B，C所表示的数的和为170； （2）解：①∵刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，， ∴数轴的1个单位长度为， ∴当刻度尺上时，代表数轴上2个单位长度， ∴B表示，A在B的左边且相距， 则A在B的左边且相距10个单位长度， 则； ②∵A表示的数为，C表示的数为200， 则A、C相距230个单位长度，即，②或； ∴A、D的距离为，即115个单位长度， ∴D所表示的数为或； ③B表示的数为，C表示的数为200， 则B、C的距离为， ∴， ∵要用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离， ∴，即k的最小整数值为3． 3．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 【答案】(1)，； (2)或 【解析】（1）解：点，分别表示，， 在图1上，个单位长度， 在图2中，， 数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的， 由图2 知 ，， ，在数轴上的距离为个单位长度， 点所对应的数， 故答案为：，；； （2），， ， 点所表示的数为， 设点表示的数为， 则， 解得：或， 点表示的数为或． 4．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合． 【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】（1）；（2）；；（3）岁 【解析】解：（1）由数轴观察知，三根木棒长是：， ∵ ∴木棒的长为； （2）图中点所表示的数为：，点所表示的数为：， 故答案为：；； （3）如图，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，      爷爷和小红这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， 小红和爷爷这么大时看作当点移动到点时， 此时点所对应的数为， ∴爷爷比小红大：， ∴爷爷的年龄为（岁）， 答：爷爷现在的年龄是岁． 过关检测 一、单选题 1．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据题意可知，净含量，表示这种食品净含量最多是，最少是， 故选：． 2．（23-24七年级上·安徽六安·期末）下列说法：①互为相反数的两数和为；②互为相反数的两数商为；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【解析】解：互为相反数的两数和为，正确，符合题意； 当互为相反数的两数为时，两数商无意义，故错误，不合题意； 若，则，正确，符合题意； 当时，，但不一定相等，故②错误，不合题意； ∴正确的结论有， 故选：． 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）如果，，且，那么（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【解析】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，，，则有（    ） A．，，绝对值较大 B．，，绝对值较大 C．，，绝对值较大 D．，，绝对值较大 【答案】A 【解析】解：∵， ∴异号， ∵， ∴正数的绝对值大， ∵， ∴，，绝对值较大． 故选：A． 5．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）在数轴上表示有理数，，的点如图所示，若，，，则下面四个结论：①；②；③；④，其中一定成立的结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】解：，， ， ， ， 故，故①不符合题意； ∵的大小无法确定，故不一定成立，故②不符合题意； ∵， ，故③一定成立，符合题意； ∵， ∴原点在点B和点之间， ∵表示点与点之间的距离，表示点到原点距离， ∴，故④不成立，不符合题意； 综上：一定成立的结论有③，共1个， 故选：A． 6．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）在，0，，，，中，负有理数的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】解：，，， ∴负有理数有，，共有2个； 故选：B． 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）2024年8月1日，在巴黎奥运会女子竞走20公里的比赛中，杨家玉以1小时25分54秒完赛夺金，20公里＝20000米，数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，故选：B． 8．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】由题意知， ∵， ∴，，，，…， 由此可知，从开始，这列数按4，，，重复出现， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）比大2025的数是 ． 【答案】 【解析】解：， ∴比大2025的数是， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹査了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 【答案】30 【解析】解： ． ∴*代表的数是30． 故答案为：30． 11．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）第十四届国际数学教育大会（ICME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份，则八进制数2025换算成十进制数是 （注：）． 【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 12．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】5或1 6 【解析】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 三、解答题 13．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)(2)(3)(4)11 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．（23-24七年级上·安徽池州·期中）已知，，且， (1)n的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)或 【解析】（1）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． （2）由（1）得：，， ∴当，时，， 当，时，， 综上：或． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：，，，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_____，异号得_____，并把绝对值_____；一个数与0相“乘加”等于_____； (2)根据法则计算：_____；_____； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： 【答案】(1)正，负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3) 【解析】（1）解：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 16．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）国庆假期，某公园举办灯会，同时联动开展了科创、文创、观赏消费体验，吸引大批游客前来观赏．记9月30日前来灯会的游客人数为万人，接下来的七天假期中，每天的游客人数变化如下表（正号表示游客人数比前一天上升，负号表示游客人数比前一天下降）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数（万人） (1)第三天与9月30日的游客人数相比，是增加了还是减少了？增加（减少）了多少万人？ (2)求七天假期中平均每天的游客数； (3)这七天内游客人数最多的是10月______日． 【答案】(1)10月3日的人数增多了，增加万人； (2)七天假期中平均每天的游客数为：万人； (3)6 【解析】（1）解：由题意，10月1日的人数为：万人； 10月2日的人数为：万人； 10月3日的人数为：万人； ∴， 故10月3日的人数增多了，增加万人； （2）解：由题意，10月1日的人数为：万人； 10月2日的人数为：万人； 10月3日的人数为：万人； 10月4日的人数为：万人； 10月5日的人数为：万人； 10月6日的人数为：万人； 10月7日的人数为：万人； ∴七天假期中平均每天的游客数为： （万人）； （3）解：由（2）得：七天内游客人数最多的是10月6日，万人． 17．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与__________是关于2的平衡数． (2)若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于2的平衡数．若为正整数，求非负整数的值． 【答案】(1) (2)与是关于2的平衡数，理由见解析 (3)0或1或3 【解析】（1）解：， 3与是关于2的平衡数， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∴a与b是关于2的平衡数； （3），，c与d是关于2的平衡数， ， x为正整数，k是非负整数， 或或， k的值为0或1或3． 18．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码（如图1）来表示不同的信息，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某校一次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图2，是王芳同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码组合到一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“12”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13． (1)若图3是本次考试张亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101 ，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)若本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，图4是赵军自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【答案】(1)21 (2)见详解 (3)该编号识别系统不能一直适用，理由见详解 【解析】（1）解：根据题意有，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）解：∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 19．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 20．（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 【答案】(1)6 (2)或 (3)①3；1；②1275 【解析】（1）解：和5关于4的“友谊数”为： ； （2）解：∵和1关于3的“友谊数”为4， ∴， ∴， ∴， 解得：或； （3）解：①∵和关于1的“友谊数”为1， ∴， ∴在数轴上可以看作数到1的距离与数到1的距离和为1， ∴，， ∴当，均在上时，取最大值，且最大值为3； 当，均在上时，取最小值，且最大值为1； ②由题意可知：， ∴， ∴当，均在上时，取最小值，且最小值； ， ∵ ∴当，均在上时，的最小值为； 同理，，的最小值为； ，的最小值； ， 的最小值； ∴的最小值为： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 有理数 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 知识点 1 ：有理数的概念与性质 1.有理数的概念：能够化成分数形式的数称为有理数，不能化成分数的形式的数称为无理数。 （1）非负数：指正数和0；非正数：指负数和0； 2.有理数的分类 （1）按定义分： （2）按性质分： 3.带“非”字的有理数 （1）非负数：指正数和0；非正数：指负数和0； （3）非负整数：是指正整数和0；非正整数：是指负整数和0. 4.数轴 （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度； （2）数轴上的点表示有理数： ①有理数都可以在数轴上进行表示，数轴上的点并不都是有理数； ②用数轴表示有理数时，先在数轴上用实心点标出来，再在数轴的上方表示出有理数； ③表示有理数时，对含有多重符号或绝对值的有理数不要化简； ④同时表示多个有理数时，不要遗漏，同时要求排序的，不要忘记从小到大或从大到小进行排序。 （3）数轴上表示两点之间的距离：用右边点表示的有理数减去左边点表示的有理数。 （4）数轴上表示动点对应的数：先找到动点的起始点对应的有理数，在计算出动点运动的路程，如果动点向右运动，则用起始点对应的有理数加上动点运动的路程；如果动点向左运动，则用起始点对应的有理数减去动点运动的路程。 （5）数轴上a和b两点中点对应的数可表示为。 5.相反数 （1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数。注意：与互为相反数，与互为相反数。 （2）相反数的性质：互为相反数的两个数和为0，不为0的两个相反数相除的结果为（-1）. （3）多重符号的化简：多重符号的化简要看负号的个数，如果绝对值的前面有偶数个负号，则化简的结果为正；如果绝对值的前面有奇数个负号，则化简的结果为负，即偶正奇负。 6.绝对值 （1）绝对值的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，称为a的绝对值，记为。 （2）绝对值的代数意义：正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对等于它的相反数。 （3）绝对值的非负性：任何一个数的绝对值都大于等于0，即。 （4）两点间的距离：数轴上表示数a的点为A，表示数b的点为B，则A与B之间的距离可表示为。 （5），当时，；当时，； 知识点 2 ：有理数的运算 1.有理数的加减法 （1）有理数的加法：同号两数相加，取与加数相同的符号作为和的符号，再把他们的绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。即：若；若；若； 若。 （2）有理数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即； （3）有理数加法运算律：（交换律）；（结合律） 2.有理数的乘除法 （1）有理数的乘法：同号得正，异号得负，再把它们的绝对值相乘，即若； 若；若；若。 （2）倒数：乘积为1的两个数互为倒数，即若，则与互为倒数；倒数的求解：将一个数的分子和分母颠倒即可，即的倒数为。 （3）有理数的除法：同号得正，异号得负，再把它们的绝对值相除，或者除以一个数等于乘以这个数的倒数，即。 （4）有理数乘法的运算律：（交换律）；（结合律）；（分配律）。 3.有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：；其中叫作底数，叫作指数。 （2）底数为负数或分数时，底数要加括号。例如表示个相乘，表示个2相乘的相反数。 （3）正数的次方为正，负数的偶次方为正，负数的奇数次方为负；的偶次方为1，的奇数次方为。即，。 4.科学记数法 （1）把一个较大的数写成的形式，其中。 （2）的确定方法： ①整数数位减1； ②小数点移动法，即将小数点向左移动到第一个不是0的数后面，小数点移动几位，就等于几。 5.有理数的混合运算 在有乘方运算的有理数混合运算中，先对乘方进行运算，再对乘除法进行运算，最后计算加减法，有括号的，先算括号里的。 题型归纳 【考点01 相反意义的量】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若水位上升50米，记作米，则水位下降30米，记作 米． 2．（24-25七年级上·山西晋中·期中）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向东运动，那么表示 ． 3．（24-25七年级上·广东茂名·期中）某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为 L． 4．（22-23七年级上·山东济南·期末）大自然的鬼斧神工孕育了我国恢宏壮阔的地形，珠穆朗玛峰在海平面上，记为，吐鲁番盆地在海平面下155米，记为 ． 【考点02有理数的分类】 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列各数既是分数又是负数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）在，2，，0，0.0123中，非负数有（    ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（22-23七年级上·安徽阜阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．是自然数也是正数 D．整数和分数统称为有理数 4．（24-25七年级上·广东佛山·期中）将下列各数填入相应的集合内：，0，，4，，，． (1)分数集合：{__________________…}； (2)整数集合：{__________________…}； (3)非负数集合：{__________________…}． 【考点03数轴的三要素及其画法】 1．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列各图中所画数轴正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级上·河北保定·期末）如图是一些同学在作业中所画的数轴，其中，画图正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   4．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【考点04用数轴上表示有理数】 1．（24-25七年级上·广西柳州·期中）若，则数a在数轴上对应的点的位置是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）如图，数轴上点表示的数为 ． 3．（24-25七年级上·广西贵港·期中）一滴墨水洒在数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数个数是 ． 4．（24-25七年级上·广西南宁·期中）点A、点B在数轴上分别表示，点A，点B（含A、B两点）之间有 个整数． 【考点05利用数轴比较有理数的大小】 1．（24-25七年级上·四川广安·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河北秦皇岛·期中）数，，在数轴上的位置如图所示，其中b，c到原点的距离相等，请你写出一个你认为正确的结论 ．（可以用语言描述，也可以用式子表示） 4．（24-25七年级上·广东茂名·期中）在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来． ， ， ， ， 0． 【考点06相反数的定义】 1．（24-25七年级上·河北唐山·期中）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如果和互为相反数，那么表示的数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广西柳州·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．和 C．与 D．和 4．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）若m、n为相反数，且满足，则m的值为 ． 【考点07绝对值的意义】 1．（24-25七年级上·山东淄博·期中）绝对值不大于的整数有 个． 2．（24-25七年级上·河南安阳·期中）如果，那么 ． 3．（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（24-25七年级上·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【考点08有理数的加法运算】 1．（23-24七年级上·天津·期末）计算的结果是（   ） A． B． C．5 D．1 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）点A在数轴上表示，B点距离A点2个单位长度，则B点所表示的数为（　　） A． B．3 C．1 D．1或 3．（24-25七年级上·浙江·期中）一条数轴上有两点与，已知点到原点的距离为3个单位，点在点的右侧且到点的距离为5个单位，则点所表示的数可能是（   ） A．8 B．2 C．或2 D．8或2 4．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）在学习有理数的加法时，为了更加直观地展示加法的运算原理，可以用表示，表示．小明画出下图解释了一个式子，这个式子及其结果是（   ） A． B． C． D． 【考点09有理数加法运算中的符号问题】 1．（24-25七年级上·海南海口·期中）把写成省略加号和的形式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·天津和平·期中）如图，数轴上的点A、分别对应实数、，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·广西南宁·期中）如图，有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【考点10有理数的减法运算】 1．（24-25七年级上·安徽宿州·期中）如果a与b互为相反数，则下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图所示，已知北京时间2024年10月25日上午8时对应数轴上的数字8，多伦多时间2024年10月24日晚20时对应数轴上的数字，由此推断当纽约时间是2024年10月24日晚19时时，对应数轴上的数字是（   ） A．9 B．7 C． D． 3．（24-25七年级上·广东广州·期中）若x的相反数是2，，且，则的值是 4．（24-25七年级上·青海西宁·期中）现规定一种新运算“”：，如，计算 ． 【考点11有理数的加减混合运算】 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）计算． 2．（24-25七年级上·湖北荆州·期中）计算： 3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）计算：． 4．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）计算：． 【考点12有理数的乘法运算】 1．（24-25七年级上·浙江·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川眉山·期中）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，满足，则下列各式：①；②；③；④ 若b比a小2，则，其中正确的个数有（　　）个． A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知，则a b（填“”“”“”号）． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）定义：，例：当，时，．若，，则的最大值为 ． 【考点13有理数的除法运算】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期中）若是最大的负整数，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·山东临沂·期中）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论：①②，③，④一定成立的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有点，，三个点，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点，，所对应的数的和是． (1)若表示的数是，则数轴上点所表示的数为：______； (2)若以为原点，求的值； (3)若表示的数是8，将数轴折叠，使点与点重合，求折痕点表示的数． 【考点14有理数的乘除混合运算】 1．（23-24七年级上·吉林长春·期末）计算：． 2．（23-24七年级上·北京顺义·期末）计算：． 3．（23-24七年级上·甘肃庆阳·期末）计算：． 4．（22-23七年级上·吉林延边·期末）计算：； 【考点15有理数的乘方运算】 1．（24-25七年级上·广东茂名·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制，只需将该数写为若干个的数字之和，依次写出1或0的系数即可，如十进制数字19可以写为二进制数字10011，因为，32可以写为二进制数字100000，因为，则十进制数字70是二进制下的（　　） A．6位数 B．7位数 C．8位数 D．9位数 4．（24-25七年级上·重庆·期中）对于有理数、，若满足，则式子 ． 【考点16科学记数法】 1．（24-25七年级上·江西赣州·期中）每天供给地球光和热的太阳与我们的距离非常遥远，它距地球的距离约为千米，将千米用科学记数法表示为（   ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 2．（24-25七年级上·湖北恩施·期中）月球与地球之间的距离约为千米，将用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）黔灵山公园是贵阳著名的级景区，集自然风光、文物古迹、民俗风情和休闲娱乐为一体，面积约为平方米．可用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）2024年9月26日，全世界最大的城市公园骆岗公园开园一周年，累计接待游客1600万人次，将1600万用科学记数法表示应为（  ） A． B． C． D． 【考点17近似数】 1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是(   ) A．精确到 B．精确到百分位 C．精确到千分位 D．精确到 3．（24-25七年级上·湖北黄石·期中）近似数精确到 位． 4．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）将精确到千位的近似数是（结果用科学记数法表示） ． 【考点18有理数的实际应用】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某食品厂生产袋装食品，每袋标准质量为，从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数，记录如下表： 与标准质量的差值/g 0 1 2 3 袋数 3 1 2 1 2 1 (1)如果每袋的质量与标准质量的误差在以内，则为优等品，这10袋中，优等品共有多少袋？ (2)求抽样检测的10袋食品的总质量是多少? 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）某检修小组乘车沿一条东西向公路检修线路，约定向东行驶为正．某天从A地出发到收工时，行驶记录（单位：千米）为： ，，，，，，，，，． (1)求收工时，检修小组在A地哪一边？距离A地多远？ (2)若所乘车辆每千米耗油0.07升，问从A地出发到收工，共耗油多少升？ 3．（24-25七年级上·广东佛山·期中）某航空公司规定每名旅客随身携带的行李不能超过．李叔叔一家人携带的行李情况如下（正数表示行李超过限额，负数表示行李低于限额）： ，，，，． (1)李叔叔一家携带的行李总质量是多少？ (2)如果李叔叔一家想再多随身携带行李，那么总质量是否超过人携带行李限额之和？ 4．（24-25七年级上·山西临汾·期中）某工艺厂计划每天生产工艺品100个，实际生产量与计划相比有出入．下表是该厂某星期的生产情况（超出计划生产量部分记为正、不足记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 实际生产 (1)该厂一周日产量最多的一天比最少的一天多多少个工艺品？ (2)本周实际产量达到计划量了吗？请通过计算说明． (3)若该厂实行每周按生产数量计算工资，每生产一个工艺品得40元，如果超额完成任务，则超过部分每个另外奖励20元，少生产一个则扣60元，那么该厂这一周应付工资总额多少元？ 【考点19绝对值的几何意义与动点问题】 1．（24-25七年级上·陕西榆林·期中）如图，已知点，，是数轴上三点，为原点．点表示的数为3，点与点之间的距离为2，点与点之间的距离为6． 【问题提出】 （1）点表示的数是________，点表示的数是________； 【问题探究】 （2）动点，分别同时从点，处出发，分别以每秒8个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点在点和点之间，且点到点的距离与点到点的距离相等，点在点和点之间，且点到点之间的距离是点到点之间距离的4倍，当运动时间为时，用含的代数式表示点，对应的数； 【问题解决】 （3）在（2）的条件下，点到点之间的距离是否与的大小有关？若有关，用含的代数式表示点到点之间的距离；若无关，请求出点到点之间的距离． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知点A，B，C从左到右依次在数轴上所表示的数分别为x，，200，现将一把最小刻度为的刻度尺放到数轴上，测得点A与点B的距离为． (1)若数轴的1个单位长度为． ①x的值为______；点A与点C的距离为______个单位长度； ②求点A，B，C所表示的数的和；． (2)若数轴的1个单位长度不是，且刻度尺上表示“8”和“10”的刻度分别对应数轴上的，． ①求x的值； ②若点D在数轴上，且点A与点C的距离是点A与点D的距离的2倍，求点D所表示的数； ③若刻度尺的最大刻度为，将数轴的单位长度变为原来后，用刻度尺能测量出数轴上点B与点C的距离，直接写出k的最小整数值． 3．（24-25七年级上·广东汕头·期中）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，．某同学将刻度尺按如图2所示的方式放置，使刻度尺上的数字对齐数轴上的点，发现点对齐刻度，点对齐刻度． (1)在图1的数轴上，_____个单位长度，点所对应的数为_____；数轴上的一个单位长度对应刻度尺上的． (2)若是数轴上一点，且满足，通过计算，求点所对应的数． 4．（24-25七年级上·山东临沂·期中）如图，把一根木棒放在数轴上，数轴的个单位长度为，木棒的左端点与数轴上的点重合，右端点与数轴上的点重合． 【问题探究】 （1）若将木棒沿数轴水平向右移动，则当它的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为；若将木棒沿数轴水平向左移动，则当它的右端点移动到点处时，它的左端点在数轴上对应的数为，由此可得到木棒的长为多少？ （2）图中点表示的数为____，点表示的数为___； 【问题解决】 （3）根据（1）（2），请你借助“数轴”这个工具帮助轩轩解决如下问题； 一天，轩轩问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要年才出生；你若是我现在这么大，我已经岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 过关检测 一、单选题 1．（22-23七年级上·安徽芜湖·期中）食品包装袋上的 “”表示这种食品的标准质量是，那么这种食品净含量最少为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽六安·期末）下列说法：①互为相反数的两数和为；②互为相反数的两数商为；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）如果，，且，那么（    ） A． B． C．或 D．或1 4．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）若，，，则有（    ） A．，，绝对值较大 B．，，绝对值较大 C．，，绝对值较大 D．，，绝对值较大 5．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）在数轴上表示有理数，，的点如图所示，若，，，则下面四个结论：①；②；③；④，其中一定成立的结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）在，0，，，，中，负有理数的个数是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）2024年8月1日，在巴黎奥运会女子竞走20公里的比赛中，杨家玉以1小时25分54秒完赛夺金，20公里＝20000米，数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·安徽六安·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是的“伴随数”是，已知是的“伴随数”是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于（   ） A． B． C． D．4 二、填空题 9．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）比大2025的数是 ． 10．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）小莹在计算时，由于粗心将墨水滴在了算式上，是被墨水污染的地方，小莹査了一下答案是12，那么*代表的数是 ． 11．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）第十四届国际数学教育大会（ICME－14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份，则八进制数2025换算成十进制数是 （注：）． 12．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 三、解答题 13．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 14．（23-24七年级上·安徽池州·期中）已知，，且， (1)n的值． (2)求的值． 15．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：，，，，，，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_____，异号得_____，并把绝对值_____；一个数与0相“乘加”等于_____； (2)根据法则计算：_____；_____； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： 16．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）国庆假期，某公园举办灯会，同时联动开展了科创、文创、观赏消费体验，吸引大批游客前来观赏．记9月30日前来灯会的游客人数为万人，接下来的七天假期中，每天的游客人数变化如下表（正号表示游客人数比前一天上升，负号表示游客人数比前一天下降）． 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数（万人） (1)第三天与9月30日的游客人数相比，是增加了还是减少了？增加（减少）了多少万人？ (2)求七天假期中平均每天的游客数； (3)这七天内游客人数最多的是10月______日． 17．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）定义：若，则称与是关于2的平衡数． (1)3与__________是关于2的平衡数． (2)若，，判断与是否是关于2的平衡数，并说明理由． (3)若，，且与是关于2的平衡数．若为正整数，求非负整数的值． 18．（24-25七年级上·安徽安庆·期中）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码（如图1）来表示不同的信息，它是用某种待定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图是某校一次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图2，是王芳同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码组合到一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“12”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13． (1)若图3是本次考试张亮同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101 ，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)若本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，图4是赵军自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 19．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 20．（24-25七年级上·安徽铜陵·期中）对于有理数x，y，a，t，若，则称x和y关于a的“友谊数”为t，例如，，则2和3关于1的“友谊数”为3． (1)和5关于4的“友谊数”为________； (2)若和1关于3的“友谊数”为4，求k的值； (3)若和关于1的“友谊数”为1，和关于2的“友谊数”为1，和关于3的“友谊数”为1，…和于51的“友谊数”为1； ①的最大值为____；最小值为_____． ②的最小值为____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$